专题03 一次方程与方程组（考点串讲，6大考点+7大题型突破+6大易错）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 一次方程与方程组 沪科版（2024） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析 六大易错易混经典例题 精选9道期末真题对应考点练 考点1 一元一次方程及其解 1. 下列方程中是一元一次方程的是(　B　) A. 2 x ＝3 y B. 7 x ＋5＝6( x －1) C. x2＋ x ＝1 D. ＋ x ＝3 B 考点透视 2. [2023武汉]若( a2－4) x2＋( a ＋2) x ＋3＝0是关于 x 的一元一次方程，则2 a ＋1的值为(　A　) A. 5 B. －3 C. －3或5 D. 2 A 3. 【新考法·整体代入法2024长沙月考】已知 x ＝1是关于 x 的方程3 x － m ＝ x ＋2 n 的解，则式子 m ＋ n ＋2 024的值为 ⁠. 2 025　 考点2 等式的性质 4. 下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　B　) A. 如果 a ＋5＝5－ b ，那么 a ＝ b B. 若 ＝ ，则 a ＝ b C. 若2 x ＝2 a － b ，则 x ＝ a － b D. 若 x2＝6 x ，则 x ＝6 B 5. 如图所示的3个天平左盘中“ ”“ ”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ⁠. 10　 6. [2024大连九中月考]能否从等式(2 a －1) x ＝3 a ＋5得到 x ＝ ，为什么？反过来，能否从 x ＝ 得到(2 a －1) x ＝3 a ＋5，为什么？ 解： 不能从等式(2 a －1) x ＝3 a ＋5得到 x ＝ . 理由：当2 a －1＝0时，无意义.能从 x ＝ 得到(2 a －1) x ＝3 a ＋5. 理由：方程的两边都乘(2 a －1). 考点3 解一元一次方程 7. [2024邯郸邯山区期末]下列方程变形中，正确的是(　D　) A. 方程3 x －2＝2 x ＋1，移项，得3 x －2 x ＝－1＋2 B. 方程3－ x ＝2－5( x －1)，去括号，得3－ x ＝2－5 x －1 C. ＝ －1，去分母，得4( x ＋1)＝3 x －1 D. 方程－ x ＝4，未知数系数化为1，得 x ＝－10 D 8. 小明同学在解方程5 x －1＝ mx ＋3时，把数字 m 看错了，解得 x ＝－ ，则该同学把 m 看成了(　C　) A. 3 B. － C. 8 D. －8 C 10. 若关于 x 的方程 ＋ ＝1与 x － ＝ a 的解相同，则 a ＝ . 　 9. [2024宁波期末]若关于 x 的方程( k －2 024) x －2 022＝6－2 024( x ＋1)的解是整数，则整数 k 的取值个数是(　C　) C A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 11. [2024东营胜利一中月考]已知关于 x 的方程2 a ( x －1)－(5－ a ) x ＝3 b 有无数多个解，求常数 a ， b 的值. 解： 化简，得2 ax －2 a －5 x ＋ ax ＝3 b ， 整理，得(3 a －5) x ＝2 a ＋3 b . 因为关于 x 的方程2 a ( x －1)－(5－ a ) x ＝3 b 有无数多个解， 所以3 a －5＝0，2 a ＋3 b ＝0， 解得 a ＝ ， b ＝－ . 12. 解下列方程： (1)4( x －1)＋1＝2 x －6； 解： x ＝－ (2) － ＝1. 解： x ＝－7 考点4 一元一次方程的应用 13. 【新考向·数学文化】我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设换了清酒 x斗，那么可列方程为(　A　) A A. 10 x ＋3(5－ x )＝30 B. 3 x ＋10(5－ x )＝30 C. ＋ ＝5 D. ＋ ＝5 14. [教材P131习题T12变式]从甲地到乙地，水路比陆路近40千米，上午10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1点，一辆汽车从甲地开往乙地，它们同时到达乙地，轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，那 么从甲地到乙地水路与陆路各是多少千米？ 解： 设从甲地到乙地陆路长为 x 千米，则水路长为( x －40)千米. 由题意，得 ＝ ＋3，解得 x ＝280. 所以 x －40＝240. 答：从甲地到乙地的水路长为240千米，陆路长为280千米. 15. [2024南京金陵汇文学校期末]某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品.现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成.已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件. (1)求这批纪念品共有多少件？ 解： (1)设这批纪念品共有 x 件，依题意，得 － ＝5，解得 x ＝3 600. 所以这批纪念品共有3 600件. (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品.在生产该纪念品的过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11 000元，每天支付给乙工厂的费用是16 000元，且每天的其它支出费用是1 000元.求该外贸公司为生产这批纪念品所支出的费用总和. 解： (2)设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要 y 天完成，依题意，得 (240＋360) y ＝3 600，解得 y ＝6. (11 000＋16 000＋1 000)×6＝168 000(元). 所以该外贸公司为生产这批纪念品所支出的费用总和是168 000元. 16. [2024日照期末]某社区超市第一次用6 000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的 多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表.(注：获利＝售价－进价) 甲 乙 进价 / (元/件) 22 30 售价 / (元/件) 29 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ 解： (1)设该超市第一次购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品 件，根据题意，得22 x ＋30 ＝6 000，解得 x ＝150. 所以 x ＋15＝ ×150＋15＝90. 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件. (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得多少利润？ 解： (2)(29－22)×150＋(40－30)×90＝1 950(元). 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后，一共可获得利润1 950元. (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍，甲种商品按原价销售，乙种商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后，获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的？ 解： (3)设第二次乙种商品是按原价打 y 折销售的，根据题意，得 (29－22)×150＋ ×90×3＝1 950＋180，解得 y ＝8.5. 答：第二次乙种商品是按原价打八五折销售的. A C 1 题型1 解方程在一元一次方程与方程组定义中的应用 1. 若方程( a －1) x｜ a｜－1＝0是关于 x 的一元一次方程，则 a ＝ ⁠. －1　 易错题型 2　 题型2 解方程在一元一次方程与方程组的解中的应用 3. 【新考法·同解同求法】已知关于 x 的方程 ＋ ＝ x －4与方程 ( x －16)＝－6的解相同，求 m 的值. 解： 解方程 ( x －16)＝－6，得 x ＝4. 将 x ＝4代入 ＋ ＝ x －4，得 ＋ ＝0， 解得 m ＝－6. 题型2 解方程在一元一次方程与方程组的解中的应用 -2　 16　 题型3 解方程在错解问题中的应用 6. [2024上海宝山区模拟]小明在解关于 x 的方程3( x ＋ a )＝2 x ＋4，在去括号时，将 a 漏乘了3，得到方程的解是 x ＝3. (1)求 a 的值； 解： (1)由题意可知 x ＝3是方程3 x ＋ a ＝2 x ＋4的解， 所以3×3＋ a ＝2×3＋4，解得 a ＝1. (2)求此方程正确的解. 解： (2)把 a ＝1代入原方程，得3( x ＋1)＝2 x ＋4，解得 x ＝1. 题型3 解方程在错解问题中的应用 题型3 解方程在错解问题中的应用 题型4解方程在解新定义问题中的应用 8. 【新视角·新定义题】“△”表示一种新运算，其意义是 a △ b ＝3 a ＋2 b . 若 x △6＝18，则 x ＝ ⁠. 点拨：根据题中的新运算得3 x ＋12＝18，解得 x ＝2. 2　 题型4 解方程在解新定义问题中的应用 题型5整体求解法在解方程中的应用 10. [2024成都七中育才学校模拟]解方程： 20－4(2 x ＋3)－3( x －2)＝8( x －2)－2(2 x ＋3). 解： 把2 x ＋3， x －2分别看成一个整体，进行移项、合并同类项，得 11( x －2)＋2(2 x ＋3)＝20.去括号，得11 x －22＋4 x ＋6＝20. 移项，得11 x ＋4 x ＝20＋22－6.合并同类项，得15 x ＝36. 系数化为1，得 x ＝ . 题型5整体求解法在解方程中的应用 题型5整体求解法在解方程中的应用 题型6 解方程在解数轴上动点问题中的应用 12. [2024泰兴济川初级中学月考]如图，数轴上点 A 表示的数为－3，点 B 表示的数为4，阅读并解决相应问题. (1)问题发现：若在数轴上存在一点 P ，使得点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和等于 n ，则称点 P 为点 A ， B 的“ n 节点”.如图①，若点 P 表示的数为1，点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为4＋3＝7，则称点 P 为点 A ， B 的“7节点”. 填空：①若点 P 表示的数为－2，则 n 的值为 ⁠；②数轴上表示整数的点称为整点，若整点 P 为 A ， B 的“7节点”，则这样的整点 P 共有 个. 7　 8　 点拨：设点 P 表示的数为 x . 则点 P 到点 A 的距离为｜ x －(－3)｜＝｜ x ＋3｜，点 P 到点 B 的距离为｜ x －4｜. 当 x ＋3＞0，且 x －4＞0，即 x ＞4时，因为｜ x ＋3｜＞7， 所以｜ x ＋3｜＋｜ x －4｜＞7，不符合题意； 当 x ＋3≥0，且 x －4≤0，即－3≤ x ≤4时， ｜ x ＋3｜＋｜ x －4｜＝ x ＋3＋4－ x ＝7，符合题意； 当 x ＋3＜0，且 x －4＜0，即 x ＜－3时，因为｜ x －4｜＞7， 所以｜ x ＋3｜＋｜ x －4｜＞7，不符合题意.所以－3≤ x ≤4. 因为 P 为整点，所以 P 表示的数为－3或－2或－1或0或1或2或3或4. 所以整点 P 共有8个. (2)类比探究：如图②，若点 P 为数轴上一点，且点 P 到点 A 的距离为1，请你求出点 P 表示的数及 n 的值. 解： (2)因为点 P 到点 A 的距离为1，点 A 表示的数为－3，所以点 P 表示的数为－4或－2. 当点 P 表示的数为－4时，点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为 1＋8＝9，即 n ＝9； 当点 P 表示的数为－2时，点 P 到点 A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为 1＋6＝7，即 n ＝7. (3)拓展延伸：若点 P 在数轴上运动，满足点 P 到点 B 的距离等于点 P 到点 A 的距离的 ，且此时点 P 为点 A ， B 的“ n 节点”，请写出点 P 表示的数及 n 的值. 解： (3)设点 P 表示的数为 y .根据题意，得 ×｜ y ＋3｜＝｜ y －4｜. 当 y ＋3＞0，且 y －4＞0，即 y ＞4时， ( y ＋3)＝ y －4，解得 y ＝25. 当 y ＋3≥0，且 y －4≤0，即－3≤ y ≤4时， ( y ＋3)＝4－ y ，解得 y ＝1. 当 y ＋3＜0，且 y －4＜0，即 y ＜－3时， (－ y －3)＝4－ y ，解得 y ＝25(不符合题意，故舍去). 所以 y ＝25或 y ＝1，即点 P 表示的数为25或1. 当点 P 表示的数为25时， n ＝｜25－(－3)｜＋｜25－4｜＝49； 当点 P 表示的数为1时， n ＝｜1－(－3)｜＋｜1－4｜＝7. 1. [2024上海浦东新区期末]已知下列方程：① ＝－2；②0.2 x ＝1； ③9－3＝8－2；④ x2－4－3 x ；⑤ x ＝0；⑥ x － y ＝6. 其中一元一次方程有(　B　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 B 押题预测 2. [2024黄冈期末]下面是小丽在学习一元一次方程时对四个等式进行的变形，其中正确的是　(　D　) A. 若 a ＝ b ，则 a ＋ c ＝ b － c B. 若 a ＝ b ，则 ＝ C. 若 x ＋2 m ＝ y ＋2 m ，则 x ＋ y ＝0 D. 若( m2＋2) a ＝－( m2＋2)，则 a ＝－1 D 3. [2024济南期末]在解方程 － ＝1的过程中，变形正确的是(　C　) A. 2( x －1)－( x ＋2)＝1 B. 2( x －1)－ x ＋2＝1 C. 2( x －1)－( x ＋2)＝6 D. 2( x －1)－ x ＋2＝6 C 4. [2024北京石景山区期末]已知某商店有两件进价不同的商品都卖了60元，其中一件盈利20％，另一件亏损20％，在这次买卖中，这家商店(　B　) A. 盈利5元 B. 亏损5元 C. 不盈不亏 D. 亏损10元 B 0 -3 7. [2023黄石期末]解方程： (1)4－3(2－ x )＝5 x ； 解： x ＝－1 (2) －1＝ － . 解： x ＝3 【知识点04】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点05】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【知识点06】二元一次方程（组）应用的 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 考点5 二元一次方程（组）的概念 17.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18.（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 19.（23-24七年级下·全国·期末）已知 是方程 的一个解，那么k的值是 ． 考点6 解二元一次方程组 20.（24-25八年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程组： (1) ； (2) ． 考点7 二元一次方程组的应用 21.（23-24八年级上·陕西榆林·期末）2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买 两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支 种钢笔的总价格比1支 种钢笔的价格多20元，3支 种钢笔和2支 种钢笔的总价格共135元，求每支 种钢笔和每支 种钢笔的价格分别为多少元？ 【详解】设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元， 根据题意，得： ，解得： ， 答：A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元． 2．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程 是关于x、y的二元一次方程．则 ． （23-24七年级下·吉林·期末）已知 是二元一次方程 的一组解，则式子 的值是 ． （23-24七年级下·重庆万州·期末）若关于x，y的方程组 和 的解相同，则 ． 7.（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得： 得： ③……（1） 得： ……（2） 将 代入②得： ……（3） 所以该方程的解是 ……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【详解】（1）解：第（1）步 未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； 故答案为：（1），（2）； （2）解： 得： ③ 得： ，解得： ； 将 代入②得： ； 所以该方程组的解是 ． 9．（23-24七年级下·全国·期末）对于有理数 和 ，定义新运算： ，其中 、 是常数，已知 ， ． (1)求 、 的值； (2)若 ， ，求 的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 得， ， 整理得， ，解得， ， 把 代入①得， ， 解得， ，∴ ； （2）根据题意得， ，解得 ． 11．（23-24七年级下·河南许昌·期末）在解方程组 时，发现 ， 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下： ① ②得 ，所以 ③， 得： ，解得 ， 把 代入③，得 ， 所以原方程组的解是 ． 请你模仿本题的解法解方程组 ． 【详解】解： 得 得： ③ 得： ， 解得： 把 代入③得： 所以原方程组的解是 ． 5.（23-24八年级上·四川达州·期末）若方程 是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 6.（23-24八年级上·四川达州·期末）已知 是二元一次方程 的解，则 的值是 ． 8.（23-24七年级下·全国·期末）解方程组： (1) ； (2) ． 9．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元． (1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？ (2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了 ，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加 m元，销量下降了 最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值． 【详解】（1）解：设该该店2021年12月围巾的销售单价为 元，手套的销售单价为 元， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元； （2）解： ， 整理得 ， 解得： ． $$