8.5-8.6空间中平行和垂直的判定练习卷-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

章节练习卷（十一） 8.4空间点直线、平面的位置关系 8.5空间直线、平面的平行 8.6空间直线、平面的垂直 1..平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α ⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ⇒a∥b 4.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 5.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 6.异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， (2)范围：. 把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 7.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平 (2)范围：. 面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和 平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (8.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的范围：[0，π]. (3)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. 一、练习 1. 在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 2. 如图的正方体中，异面直线与所成的角是（ ） 3. 如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 4. 已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ） A. B. C 平面 D. 平面 5. 如图，长方体，，. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：平面. 6. 如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积. 7. 如图，在三棱锥中，平面平面 （1）求证：PA； （2）若，求三棱锥的体积. 8. 如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6． （1）求三棱锥的体积； （2）若，且为锐角，求证：平面． 9. 如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求三棱锥的体积． 10．如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，且，． （1）求四棱锥的体积； （2）若E，F分别是棱PC，AB的中点，则EF与平面PAD的位置关系是__________． 在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由． ①平面PAD； ②平面PAD； ③EF与平面PAD相交． 11、如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，E为DD1的中点 （1）求证：BD1∥平面AEC； （2）若 ，则平面AEC⊥平面BB1D1D 试在三个条件“①四边形ABCD是平行四边形；②四边形ABCD是矩形；③四边形ABCD是菱形”中选取一个，补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并证明之 A B C D A1 B1 C1 D1 E 数学章节练习卷（十一）答案 1.对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断； 2.【详解】在正方体中，平面，平面，异面直线与所成的角是.故选：D. 3.由题意，面，面，所以平面，D对. 4. 对于A选项，因为平面，平面，则，因为四边形为正方形，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，则，故为锐角，A错；对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 5. 【小问1】解：在长方体中，平面，且，因为，，则，，因此，三棱锥的体积为.【小问2】证明：在长方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，因此，平面. 6. 【小问1】因为E，F分别是AB，AP的中点，所以EF是三角形ABP的中位线， 所以EF//PB，因为平面，平面，所以平面. 【小问2】若三棱锥的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为 7. 【小问1】证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以PA；【小问2】 解：由（1）知平面，所以，又，所以， 因为，所以所以 所以，所以. 8. 【小问1】面面，，面面，面， 所以面，又的面积为6，所以体积为. 【小问2】由题设，即，又为锐角， 所以，由，故，所以，由（1）知面，面，故，，面，故平面. 9. 【小问1】因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，所以, 又,所以平面【小问2】因为△ABC和△PBC为正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面积为，所以. 10．解：（1）因为平面ABCD，所以．（2）②理由如下：取PD的中点C，连接GA，CE．因为E，G分别为PC，PD的中点，所以，．因为F为AB的中点，所以，又矩形ABCD中，，且，所以，且，所以四边形AFEG是平行四边形．所以． 又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD． 11、 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$