专题08 立体几何（下）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题8 立体几何（下） 全国联赛真题汇编 1．（2022·全国联赛A卷）若四棱锥的棱的长均为，其他各条棱长均为1，则该四棱锥的体积为_____． 【答案】 【详解】设为在底面上的射影，． 由于，故，则为圆内接四边形． 又，故是以为对称轴的等形，于是有为中点，从而，解得． 所以该四棱锥的体积为． 2．（2022·全国联赛A1卷）已知四面体满足，且该四面体的体积为6，则异面直线与所成的角的大小为_____． 【答案】或 【详解】作平面于点，则四面体的体积． 由，得，所以． 又，故． 由，得平面，所以． 构造正方形，则在直线上，且由平面知． 由于，故为异面直线与所成角的平面角． 若(如左图)，则，此时；若(如右图)，则，此时． 因此，所求角的大小为或． 3．（2022·全国联赛A2卷）在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】如图，设分别与的延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，则截面为五边形． 不妨设正方体的棱长为3． 易知，则．同理有．结合，可知四边形为平行四边形，． 又，所以在顶点处的内角的余弦值为 4．（2022·全国联赛B卷）若正四棱锥的各条棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】取的中点，则，故异面直线与所成的角的大小为(或其补角)． 不妨设正四棱锥的各条棱长均为2． 易知，故，于是． 又，故，即所求值为． 5．（2022·全国联赛B1卷）已知正三棱柱的所有棱长都相等，棱的中点分别为，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】如图，连接，则，故异面直线与所成的角为(或其补角)． 不妨设正三棱柱的所有棱长都为2．在中，显然有，又由平面知，故．由余弦定理得 即所求的余弦值为． 6．（2023·全国联赛A卷）已知三棱柱的9条棱长均相等．记底面所在平面为．若的另外四个面(即面)在上投影的面积从小到大重排后依次为，求的体积． 【答案】 【详解】设点在平面上的投影分别为，则面，在上的投影面积分别为． 由已知及三棱柱的性质，为正三角形，且均为平行四边形． 由对称性，仅需考虑点位于内的情形(如图所示)． 显然此时有． 由于，故必为的排列，，进而，得的边长为4，即正三棱柱的各棱长均为4． 不妨设，则． 取射线与线段的交点，则，故．因此 而，故． 于是的高． 又，故的体积． 各省预赛试题汇编 7．（2024·吉林预赛）在正四面体中，棱的中点和面的中心的连线为，棱的中点和面的中心的连线为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设棱长为，如图，取，取的中点为，连接， 可得， 故，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以MN与PQ所成角为（或其补角）， 连接，在中，， 由余弦定理得，， 又在中，， 由余弦定理得，， 所以与所成角的余弦值为， 故选：A． 8．（2023·吉林预赛）边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作交于点，连接． 则，于是． 设，则． 从而 故选． 9．（2022·贵州预赛）平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】如图，考虑的法向量，过作长方体各面与原长方体各面平行，则与长方体各面所成角的余弦和即为所求．由于． 同理可验证当与长方体部分表面平行时，结论也成立．所以选． 10．（2022·重庆预赛）在半径为1的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新融成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，设，则， 于是 设圆柱底面半径为，高为，则， 表面积， 等号成立时． 所以圆柱表面积的最小值为． 11．（2022·新疆预赛）已知二面角的平面角为为直线上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于_____． 【答案】 【详解】如图，取，则． 设 ． 于是在中， 12．（2022·浙江预赛）在棱长为1的正方体中，是的中点，是的中点，则到过三点的平面的距离为_____． 【答案】 【详解】如图，作平面，则， 又． 则， 于是， 从而． 所以到过三点的平面的距离为． 13．（2022·江西预赛）边长为1的正四面体在水平面上的正投影面积的最大值为_____． 【答案】 【详解】正四面体共有4个顶点，任意两点间的距离均为1，所以当正四面体有两条对棱与水平面平行于时，射影面积最大，且最大面积为． 14．（2022·福建预赛）为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则二面角的正切值为_____． 【答案】2 【详解】如图，设为上、下底面的中心，则，于是．过作于，过作于，连接． 则为二面角的平面角． 由． 15．（2022·甘肃预赛）半径为的球内部装有4个半径为的小球，则小球的半径的最大值为_____．(用含的式子表示) 【答案】 【详解】如图，正四面体的棱长为，则的外接球半径为，于是 所以小球的半径的最大值为． 16．（2022·苏州预赛）已知半径为2的半球面碗中装有四个半径均为的小球，碗壁和球的表面都是光滑的，且每个小球均与碗口平面相切，则的值为_____． 【答案】 【详解】如图，是四个半径为的小球的球心，， 则． 17．（2022·吉林预赛）在棱长均为2的直四棱柱中，分别为棱的中点，则四面体的体积为_____． 【答案】 【详解】如图，设的中点为，则 ，连接，平面，且，所以． 18．（2023·新疆预赛）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在棱上．当空间四边形的周长最小时，二面角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】延长至点，点和点关于点对称， 则等号成立时四点共线． 于是． 作于点，连接，则为二面角的平面角． 在中，， 所以二面角的余弦值为． 19．（2023·浙江预赛）已知四面体，点为的重心，在线段上，满足．连接交所在的平面于点，则_____． 【答案】 【详解】延长交于点，则为的中点，平面平面，从而三点共线． 则， 于是为的重心，所以． 20．（2023·重庆预赛）棱长为的正四面体中，已知，若点为的重心，则四面体的体积为_____． 【答案】 【详解】如图，设 设，则． 于是 21．（2023·四川预赛）在直三棱柱中，，点是平面上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，在平面内直线的异侧作直线，使，作交于点，则 当三点共线，即过点作直线的垂线，此时取得最小值 由最小角原理，当点在直线上时，最小．于是在中，设边上的高为，则． 综上，的最小值为． 22．（2023·苏州预赛）如图，在面积为2的矩形中，点为边的中点，将和分别沿边翻折，使得重合于点，则三棱锥体积的最大值为_____． 【答案】 【详解】如图，平面． 设，则． 于是， 设， 则在上单调递增，在上单调递减，即． 所以三棱锥体积的最大值为． 23．（2023·广西预赛）设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离．设是以点为球心的球面，它与外切并与相切．令为满足上述条件的球心构成的集合，设平面与平行且在上有中的点，设是平面与之间的距离，求的最小值． 【答案】 【详解】如图，设为平面，．依题意，过作平面于点． 令，在的延长线上取点，满足，则 点在以为焦点，为准线的抛物线上．该抛物线的顶点为的中点，于是是该抛物线绕轴旋转一周形成的曲面，为的顶点． 综上，的最小值． 24．（2022·甘肃预赛）四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且面交于点． (1)求证：直线面； (2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】(1)连接，则面，又面． (2)设与交于点，连接．设，， 则，等号成立时． 由面得 此时， 于是， 所以四棱锥的表面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题8 立体几何（下） 全国联赛真题汇编 1．（2022·全国联赛A卷）若四棱锥的棱的长均为，其他各条棱长均为1，则该四棱锥的体积为_____． 2．（2022·全国联赛A1卷）已知四面体满足，且该四面体的体积为6，则异面直线与所成的角的大小为_____． 3．（2022·全国联赛A2卷）在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为_____． 4．（2022·全国联赛B卷）若正四棱锥的各条棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 5．（2022·全国联赛B1卷）已知正三棱柱的所有棱长都相等，棱的中点分别为，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 6．（2023·全国联赛A卷）已知三棱柱的9条棱长均相等．记底面所在平面为．若的另外四个面(即面)在上投影的面积从小到大重排后依次为，求的体积． 各省预赛试题汇编 7．（2024·吉林预赛）在正四面体中，棱的中点和面的中心的连线为，棱的中点和面的中心的连线为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·吉林预赛）边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．（2022·贵州预赛）平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．6 10．（2022·重庆预赛）在半径为1的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新融成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为_____． 11．（2022·新疆预赛）已知二面角的平面角为为直线上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于_____． 12．（2022·浙江预赛）在棱长为1的正方体中，是的中点，是的中点，则到过三点的平面的距离为_____． 13．（2022·江西预赛）边长为1的正四面体在水平面上的正投影面积的最大值为_____． 14．（2022·福建预赛）为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则二面角的正切值为_____． 15．（2022·甘肃预赛）半径为的球内部装有4个半径为的小球，则小球的半径的最大值为_____．(用含的式子表示) 16．（2022·苏州预赛）已知半径为2的半球面碗中装有四个半径均为的小球，碗壁和球的表面都是光滑的，且每个小球均与碗口平面相切，则的值为_____． 17．（2022·吉林预赛）在棱长均为2的直四棱柱中，分别为棱的中点，则四面体的体积为_____． 18．（2023·新疆预赛）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在棱上．当空间四边形的周长最小时，二面角的余弦值为_____． 19．（2023·浙江预赛）已知四面体，点为的重心，在线段上，满足．连接交所在的平面于点，则_____． 20．（2023·重庆预赛）棱长为的正四面体中，已知，若点为的重心，则四面体的体积为_____． 21．（2023·四川预赛）在直三棱柱中，，点是平面上一动点，则的最小值为_____． 22．（2023·苏州预赛）如图，在面积为2的矩形中，点为边的中点，将和分别沿边翻折，使得重合于点，则三棱锥体积的最大值为_____． 23．（2023·广西预赛）设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离．设是以点为球心的球面，它与外切并与相切．令为满足上述条件的球心构成的集合，设平面与平行且在上有中的点，设是平面与之间的距离，求的最小值． 24．（2022·甘肃预赛）四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且面交于点． (1)求证：直线面； (2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$