期末押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：沪教版必修第一册全部内容） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第一册）

2024-2025学年高一上学期期末押题数学检测卷（提高卷） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可 【详解】因为，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据根式、分式以及对数的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，试用，表示 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得小于等于的最大值即可. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以在上有解， 所以小于等于的最大值， 令，， 则， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复合函数的性质“同增异减”即可得到结果. 【详解】令，则，且为减函数． 函数在上是严格减函数， 则，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数（且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是 . 【答案】 【分析】令指数部分为，求出的值及对应函数值，由此可知定点坐标. 【详解】令，则，所以， 所以的图象经过定点， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【分析】根据给定条件，利用韦恩图阴影部分表示的集合意义列出表达式. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：，再变量分离得到，原不等式在区间，上有解，即小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数的取值范围． 【详解】不等式，即， 原不等式可化为， 移项得， 两边都除以，得 不等式在区间有解，即式的右边的最大值大于， 在,上是一个减函数 当时，的最大值为 因此，得实数的取值范围是， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【答案】（3）（4） 【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）. 【详解】对于（1），由得， 则成立且， 故，即成立，因此（1）为真命题； 对于（2），当不成立时，有成立，即或，故（2）为真命题； 对于（3），， 显然，当时，不成立，故（3）为假命题； 对于（4），假设，，此时，满足，不满足，故（4）为假命题； 故答案为：（3）（4） 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）若点同时满足以下两个条件：（1）点都在函数上；（2）点关于原点对称；则称点对是函数的一个“姐妹点对”.已知函数，则函数的“姐妹点对”是 . 【答案】 【分析】先求解出时的图象关于原点对称的函数图象的解析式，然后联立与时的解析式可求结果. 【详解】当时，，其关于原点对称的函数图象的解析式为， 即关于原点的对称点为，所以，即， 所以，所以； 令，解得或（舍去），所以， 所以“姐妹点对”是， 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 【答案】6 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海黄浦·期中）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，则不等式成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式求法先求出的范围，然后结合已知定义即可求解． 【详解】由可得， 所以， 所以，结合选项，只需寻找的真子集即可，B选项满足题意. 故选：B． 14．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 15．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 16．（24-25高一上·上海黄浦·期中）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解． 【详解】由题意可得，则， 即，对称轴在轴左侧，知该函数在上单调递增， 又，，， 若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为， ①不成立； 又的最小正整数的值为， 可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立． 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 18．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）时不等式为，求解即可； （2）时方程为，讨论未知数的系数是否为0，求解即可； （3）讨论的取值范围，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）时，不等式为，即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）时，方程为，即， 当时，方程的解不存在，解集为； 当时，方程的解为，解集为； （3）当时，不等式可化为，即， 若，则不等式为，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得值； （2）由（且），，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围； （3）由求得的值，可得 的解析式，令，可知为增函数，，令，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于，求得的值. 【详解】（1）∵是定义域为的奇函数， ∴，∴，∴， 经检验，，是奇函数，故； （2）（且）， ∵，∴，又且，所以， ∵单调递减，单调递增，故在上单调递减． 不等式化为，∴， 即恒成立，∴，解得 所以的取值范围为； （3）∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，解得， 若，当时，，解得(舍去)， 综上所述：． 20．（24-25高一上·上海·期中）教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线，围成或围成四边形．请完成以下问题： (1)如图1，围成，两边之和，且，求的面积的最大值； (2)如图2，围成平行四边形，且，求平行四边形的面积的最大值． 【答案】(1)18 (2)18 【分析】转化为二次函数的值域问题解决. 【详解】（1）设，则，， 则（当时取“”）. 所以的最大值为18. （2）设，则，. 则（当且时取“”）. 所以的最大值为18. 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示． (1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式； (2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式； (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天） 【答案】(1) (2)， (3)从2月1日开始的第50天时，西红柿纯收益最大.理由见详解. 【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （2）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （3）结合（1）（2）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值． 【详解】（1）由已知条件，设， 当时，，． 当时，，． 故图（1）表示的函数关系式为 （2）设，则，所以． 所以图（2）表示的函数关系式为 ，． （3）设时刻的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100． 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5． 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100． 此时，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一上学期期末押题数学检测卷（提高卷） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，试用，表示 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是 . 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数（且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是 . 7．（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 9．（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）若点同时满足以下两个条件：（1）点都在函数上；（2）点关于原点对称；则称点对是函数的一个“姐妹点对”.已知函数，则函数的“姐妹点对”是 . 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为 ．（参考数据：，） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海黄浦·期中）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，则不等式成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 15．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（24-25高一上·上海黄浦·期中）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求关于的方程的解集； (3)当时，求不等式的解集. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 20．（24-25高一上·上海·期中）教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线，围成或围成四边形．请完成以下问题： (1)如图1，围成，两边之和，且，求的面积的最大值； (2)如图2，围成平行四边形，且，求平行四边形的面积的最大值． 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示． (1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式； (2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式； (3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天） 学科网（北京）股份有限公司 $$