专题04 三角函数（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题04三角函数 1．角的概念 (2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 ①弧度与角度的换算： ②弧长公式： ③扇形面积公式： 说明：②③公式中的必须为弧度制，角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．三角函数的概念 (1)定义：设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点． ①把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数． (2)三角函数定义的推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则 (3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦) 4．特殊角的三角函数值表 － － 利用三角函数的定义求时对应的三角函数值. 5．同角三角函数的基本关系 平方关系 ；； 商数关系 6．诱导公式 公式一 ；； 公式二 ；； 公式三 ；； 公式四 ；； 公式五 ； 公式六 ； 7．正弦函数、余弦函数的图像和性质 函数 正弦函数 余弦函数 定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 最小正周期 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 题型一:任意角和弧度制 例1 下列命题中正确的是（ ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 变式训练 1 下列与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2 下列各角终边在y轴上的是（    ） A． B． C．0 D． 3 设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则 A． B． C． D． 4 化为弧度是（ ） A． B． C． D． 5 弧度的角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6 用角度制可表示为（    ） A． B． C． D． 题型二:任意角的三角函数 例2 已知为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 变式训练 1 （    ） A． B． C． D． 2 已知，且，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3 的值等于（    ） A． B． C． D． 4 设角a是第四象限角，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不存在 5 已知角a的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 6 若点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 7 若，则角的终边在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 8 若，且，则角是第（    ）象限角． A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 9 角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 题型三:同角三角函数的基本关系 例3 若，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 若，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 2 若，则等于（    ） A．0 B．1 C． D． 3 已知，且是第二象限的角，则（   ）． A． B． C． D． 4 已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5 已知，，则（ ） A． B． C．​ D． 6 化简（    ） A． B． C． D． 7 函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 8 已知，则（　　） A． B． C． D． 9 已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型四:诱导公式 例4 （    ） A． B． C． D． 变式训练 1 若点在角的终边上，则（    ）. A． B． C． D． 2 已知，则（    ） A． B． C． D． 3 （    ） A． B． C． D．1 4 （    ） A． B． C． D． 5 （    ） A． B． C． D． 6 已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7 计算（    ） A． B． C． D． 8 若点是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 9 若，，则（    ） A． B． C． D． 题型五:三角函数图像与性质 例5 已知函数的最小正周期为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 1 函数的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2 函数是（   ） A．奇函数 B．既奇又偶函数 C．非奇非偶函数 D．偶函数 3 已知函数，下列说法错误的是（   ） A．值域为 B．最小正周期为 C．振幅为3 D．经过点 4 下列选项正确的是（   ）． A． B． C． D． 5 函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6 下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（   ） A． B． C． D． 7 函数 的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象过点 C．函数在上单调递减 D．当时， 8 已知函数，则 的最小正周期为 ，最大值为 （   ）. A． B． C． D． 9 已知函数，则（   ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 10 函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 11 函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 12 函数的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04三角函数 1．角的概念 (2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 ①弧度与角度的换算： ②弧长公式： ③扇形面积公式： 说明：②③公式中的必须为弧度制，角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．三角函数的概念 (1)定义：设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点． ①把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数． (2)三角函数定义的推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则 (3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦) 4．特殊角的三角函数值表 － － 利用三角函数的定义求时对应的三角函数值. 5．同角三角函数的基本关系 平方关系 ；； 商数关系 6．诱导公式 公式一 ；； 公式二 ；； 公式三 ；； 公式四 ；； 公式五 ； 公式六 ； 7．正弦函数、余弦函数的图像和性质 函数 正弦函数 余弦函数 定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 最小正周期 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 题型一:任意角和弧度制 例1 下列命题中正确的是（ ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【答案】C 【分析】根据锐角、钝角、终边相同的角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项即可求解. 【详解】对A，因为是第一象限角，但是负角，故A错误. 对B，因为小于，但不是锐角，故B错误. 对C，因为钝角是大于且小于的角，所以钝角一定在第二象限，故C正确. 对D，因为和终边相同，但它们不相等，故D错误． 故选：C. 变式训练 1 下列与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的概念即可得出结论. 【详解】，所以与终边不相同，故A错误. ，所以与终边不相同，故B错误. ，所以与终边不相同，故C错误. ，所以与终边相同，故D正确. 故选：D. 2 下列各角终边在y轴上的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据终边在y轴上的角的集合即可得出结论. 【详解】角终边在y轴上的集合为， 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 故D选项正确，A、B、C选项错误. 故选：D. 3 设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解. 【详解】终边在y轴的负半轴上的角的集合为： 或. 故选：C 【点睛】本题考查了终边相同角的表示，属于基础题. 4 化为弧度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将角度化为弧度即可解得. 【详解】， 故选：B. 5 弧度的角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先找到与弧度的角终边相同的角，再判断其所在的象限. 【详解】∵，∴的终边与的终边相同. 又∵，∴弧度的角的终边在第二象限． 即，弧度的角的终边在第二象限． 故选：B． 6 用角度制可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由弧度制和角度制的换算规则进行计算即可. 【详解】. 所以用角度制可表示为. 故选：C. 题型二:任意角的三角函数 例2 已知为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数在各象限的符号求解. 【详解】因为为第二象限角， 所以， 即， 所以ABD错误，选项C正确， 故选：C. 变式训练 1 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】. 故选：B. 2 已知，且，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据正弦及正切函数值在各象限的正负情况判断即可. 【详解】由可知，角的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴， 由可知，角的终边在第一象限或第三象限， 综上，角的终边第三象限. 故选：. 3 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解. 【详解】 故选：C. 4 设角a是第四象限角，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由角所在的象限确定三角函数的正负即可. 【详解】因为角是第四象限角， 所以，存在且. 故B选项正确，A、C、D选项错误. 故选：B. 5 已知角a的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的正弦函数的定义求值即可. 【详解】已知角a的终边经过，则， 所以， 故选：C. 6 若点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合二倍角的余弦公式，即可求解． 【详解】因为点在角的终边上，所以， 则， 故选：B． 7 若，则角的终边在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解. 【详解】因为， 所以异号，即在所在的象限一正一负， 所以角的终边在第三、四象限. 故选：. 8 若，且，则角是第（    ）象限角． A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 【答案】D 【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限. 【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角 所以为第三象限角，即， ， 为第二或第四象限角. 故选：D. 9 角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边上的坐标求正弦值即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以在第二象限， 即有， 故选：C. 题型三:同角三角函数的基本关系 例3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子分母同除以，再代入求值即可. 【详解】根据题意得： 故选：C. 变式训练 1 若，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合三角函数在各象限的符号，即可化简求值． 【详解】因为，所以， 所以． 故选：B． 2 若，则等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数平方关系，将两边平方化简单计算即可. 【详解】， ， . 故选：A． 3 已知，且是第二象限的角，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的正弦与余弦的平方和为一即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以， 因为， 所以. 故选：. 4 已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的范围判断，再根据同角三角函数的平方关系得到，即可求解. 【详解】∵，∴， 而，故. 即，. 故选：B. 5 已知，，则（ ） A． B． C．​ D． 【答案】B 【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以​​， 即​，所以​， 又​，所以​，即​， 则​， 故选：B. 6 化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系式进行化简即可得解. 【详解】， 所以， 故选：. 7 函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简题设函数，再利用正弦函数的周期公式即可得解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为. 故选：A. 8 已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边进行平方，利用正弦二倍角公式即可得解. 【详解】因为，则， 所以即， 故选：. 9 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系式及象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】因为，， 又，所以，即，又所以， 故选：. 题型四:诱导公式 例4 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：B． 变式训练 1 若点在角的终边上，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义与诱导公式即可得解. 【详解】因为点在角的终边上，所以， 则. 故选：A. 2 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：C． 3 （    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】． 故选：C. 4 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案. 【详解】. 故选：B 5 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式转化角即得. 【详解】. 故选：D. 6 已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位圆上点的坐标求三角函数值以及诱导公式求解即可. 【详解】因为角的终边上的点， 所以， 又因为，所以. 故选：C. 7 计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】由诱导公式可得， ． 故选：A． 8 若点是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可得解. 【详解】点是角终边上一点， 由定义可得， 所以. 故选：． 9 若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，再利用三角函数的倍角公式即可得解. 【详解】因为，， 所以，， 则， 所以. 故选：D. 题型五:三角函数图像与性质 例5 已知函数的最小正周期为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，解得. 故选：D. 变式训练 1 函数的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 所以函数的最大值是3. 故选：D. 2 函数是（   ） A．奇函数 B．既奇又偶函数 C．非奇非偶函数 D．偶函数 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断 【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以， 所以函数是奇函数. 故选：A. 3 已知函数，下列说法错误的是（   ） A．值域为 B．最小正周期为 C．振幅为3 D．经过点 【答案】B 【分析】分析正弦型函数的解析式，根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】对A：因为，所以，则函数的值域为，故A项正确； 对B：函数的最小正周期为，故B项错误； 对C：由函数可知，振幅为3，故C项正确； 对D：在函数中，当时，，所以函数经过点，故D项正确. 故选：B. 4 下列选项正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦和余弦函数的单调性及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】对A：因为，又函数在单调递增，所以，故A项正确； 对B：因为，又函数在单调递减，所以，故B项错误； 对C：因为，所以，故C项错误； 对D：因为，所以，故D项错误. 故选：A. 5 函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式将函数化为，再根据正弦函数的图象和性质可判断结果. 【详解】由于函数， 故函数的值域为，故A、B选项错误； 当时，，当时，， 故C选项正确，D选项错误. 故选：C 6 下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倍角公式，两角和与差的公式，正余弦函数的性质即可求解. 【详解】对A，是正弦函数，是奇函数，最小正周期为，故A错误. 对B，是余弦函数，是偶函数，最小正周期为，故B错误. 对C，，最小正周期为，故C错误. 对D，，是奇函数，最小正周期是，故D正确. 故选：D. 7 函数 的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．函数的周期是 B．函数的图象过点 C．函数在上单调递减 D．当时， 【答案】A 【分析】根据正弦函数图像求解析式，然后利用正弦型函数的性质进行判断即可. 【详解】由图可知函数最小值为，则最大值为，则， 由图可知从到为个周期，则，则， 将代入解析式则，，则， 因为，则， 则， 因为周期为，故A错误； 将代入解析式，则，故B正确； 由正弦函数性质可知函数，在为减区间， 即在为减区间， 当时，为区间，而区间为区间的子集，故C正确； 将代入解析式得，，即， 因为，结合正弦函数性质可知， 即，当时为，即， 所以当时，，故D正确； 故选：A. 8 已知函数，则 的最小正周期为 ，最大值为 （   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式进行化简整理为，再由周期公式求周期，根据的值确定最值即可. 【详解】由， 得， 即，其中，， 所以的最小正周期为，最大值为. 故选：A． 9 已知函数，则（   ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【分析】利用余弦二倍角公式化简解析式，然后根据余弦函数性质求最值周期即可. 【详解】根据题意有， 所以函数的最小正周期为， 当时取得最大值， 最大值为， 故选：B. 10 函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简题设函数，再利用正弦函数的周期公式即可得解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为. 故选：A. 11 函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的范围可求得的范围，进而可求得函数的值域. 【详解】因为，即， 所以， 所以， 因此函数的值域为：. 故选：. 12 函数的最小值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由二倍角的余弦公式将函数化为类二次函数，再由余弦函数和二次函数的性质求最小值. 【详解】函数， 令，则， 则，对称轴为， 所以在上单调递增， 故时，取最小值，最小值为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$