26.1.2（第2课时）反比例函数的图象和性质的综合运用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第26章 反比例函数 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 26.1.2 （第2课时） 反比例函数的图象 和性质的综合运用 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 解析式 图象 所在象限 渐进性 k>0， 一、三象限 双曲线 k﹤0， 二、四象限 当k>0时,在每一象限内, y随x的增大而减小 当k< 0时,在每一象限内, y随x的增大而增大 增减性 双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点 对称性 既是轴对称图形也是中心对称图形 或 或 x y o x y o 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 下列四个点中，与( 2,3 )在同一条双曲线上的是哪个点？ ① ( -6,1 ) ②( 1,6 ) ③ ( 2,-3 ) ④ ( 3,-2 ) 解：设这个双曲线解析式为 ，因为点 (2，3)在其图象上，所有 ， 解得 k = 6. 对于①：-6×1=-6 (不符合k的要求)，所以点①与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 对于②：1×6= 6 (符合k的要求)，所以点②与( 2,3 )在同一条双曲线上. 对于③：2×-3=-6 (不符合k的要求)，所以点③与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 对于④：3×-2=-6 (不符合k的要求)，所以点④与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 综上所述，只有(1,6)与( 2,3 )在同一条双曲线上. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足， 所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ O x y 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以m－5＞0， 解得m＞5. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上， y 都随 x 的增大而减小， 因此当x1＞x2时，y1＜y2. O x y BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 已知反比例函数 ，当 1<x<2 时，y 的取值范围是( ) A. 0<y<5 B. 1<y<2 C. 5<y<10 D. y>10 C 在第一象限内，y 随 x 的增大而减小 y=10 y=5 反比例函数 (1<x<2)的大致图象如右图所示： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 已知一次函数和反比例函数值的大小关系， 根据图象确定自变量取值范围的方法 (1)定点：确定两个函数图象的交点坐标； (2)选段：当横坐标一致时，函数图象在上方的函数值大于函数图象在下方的函数值； (3)确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 在反比例函数 (k<0)的图象上有三点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若 x1<x2<0<x3，则下列结论正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2 B 解：因为 k<0，所以反比例函数的图象在 第二、第四象限， 如图所示，在图中描出符合条件的三个点， 观察图象可知 y3<y1<y2. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 x y O x y O x y O x y O k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 k1 >0 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得k＞0 由一次函数与y轴交点知－k＞0， 则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y=k1x， y=，其中，为常数，且均不为零.由于这两个函数的图象交于点P（-3，4），则点 P（-3，4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此4=×（-3）， 4= .解得=， =-12. 因此，这两个函数表达式分别为y= -x和y= -，它们的图象如图所示. y x O -2 -4 -6 6 4 2 6 4 2 -2 -4 -6 P y= -x y= - BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 反比例函数函数y＝ 和二次函数y＝kx²+k在同一直角坐标系中的 图象可能是 ( ) A 解：当k＞0时，函数y＝kx²+k开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， 函数y= 经过第一、三象. 当k＜0时，函数y＝kx²+k开口朝下，与y轴交点在y轴负半轴， 函数 y= 经过第一、三象限.观察可知，A选项正确. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 如图，反比例函数 的图象经过点A(2,1)，若y≤1，求x的取值范围. 解：由图得： 处于直线y=1及以下的部分， 对应的x的取值范围为x ＜ 0或 x ≥ 2 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例10 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例10 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例10 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例11 解：（1）因为反比例函数y=的图象经过点M（-2，2）， 即点M的坐标满足这一函数表达式，因而2=， 解得k=-4. 因此，这个反比例函数的表达式为y= -. 已知反比例函数y=的图象经过点M（-2，2）. （1）求这个函数的表达式； （2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例11 已知反比例函数y=的图象经过点M（-2，2）. （2）判断点A（-4，1），B（1，4）是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？ （2）把点A，B的坐标分别代入y= -，可知点A的坐标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上. （3）因为k＜0，所以这个反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 反比例函数的图像和性质的综合运用 图象 性质 与一次函数的综合 画法 形状 图象位置 增减性 列表、描点、连线 双曲线 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.已知反比例函数y=的图象经过点（2，-1），下列说法正确的是（　　） A. 点（-4，2）在它的图象上 B. 它的图象分布在一、三象限 C. 当x>0时，y随x的增大而增大 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 C C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3. 已知，反比例函数 的图象上两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，若 x1＞x2，则 y1 与 y2 的大小关系为 （ ） A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6. 已知反比例函数 ，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在此函数上，且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是_________. O x y 解：画出此函数的大致图象，如右图： 我们已知x1<0<x2<x3， 所以y1>0，y2<0，y3<0. 又因为由图可以看出在第四象限，y随着 x的增大而增大， 因为x2<x3， 所以y2<y3， 所以y2<y3<y1. y2<y3<y1 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.已知在反比例函数y=的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，求m的取值范围.如果点M（-2，y1），N（-4，y2）是该图象上的两点，试比较函数值y1， y2的大小. 解：由题意可知反比例函数y=的图象位于第二、四象限， 所以m+3<0. 所以m<-3. 又y=的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，M（-2，y1）和N（-4，y2）的自变量-4＜-2，所以y2<y1. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点的纵坐标为3.求当x=-4时，反比例函数y=的对应函数值. 解：由题意可知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象均过点（3，3）， 所以3=，所以k=9， 所以反比例函数为y=. 当x=-4时，反比例函数y== -. BY YUSHEN BY YUSHEN 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (1)其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为点P，若点P的纵坐标是2，求k的值； 解：由题意，设点P的坐标为(m，2)． ∵点P在正比例函数y＝x的图象上， ∴2＝m，即m＝2. ∴点P的坐标为(2，2)． ∵点P在反比例函数y＝(k为常数，k≠1)的图象上， ∴2＝，解得k＝5. 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； 解：（2）∵在反比例函数y＝(k为常数，k≠1)图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴k－1＞0，解得k＞1. 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小． 解：（3）∵反比例函数y＝(k为常数，k≠1)图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上y随x的增大而增大． ∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2， ∴x1＞x2. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示．(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分) (1) 开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较， 何时学生的注意力更集中？ 解：设线段AB所在的直线的表达式为 y1＝k1x＋20(k1≠0)， 把B(10，40)的坐标代入得，k1＝2， ∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 解：设线段AB所在的直线的表达式为y1＝k1x＋20(k1≠0)， 把B(10，40)的坐标代入得，k1＝2，∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 设C，D所在双曲线的表达式为y2＝(k2≠0)， 把C(25，40)的坐标代入得，k2＝1 000， ∴y2＝(25≤x≤40)． 当x＝5时，y1＝2×5＋20＝30， 当x＝30时，y2＝＝， ∴y1＜y2. ∴第30分钟时注意力更集中． (2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：令y1＝36，∵36＝2x1＋20，∴x1＝8. 令y2＝36，∵36＝，∴x2＝≈27.8. ∴27.8－8＝19.8(分钟)>19(分钟)， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 1．对于函数y＝，下列说法错误的是(　　) A．这个函数的图象位于第一、三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小 4．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的最小整数值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－2或x＞2 B．x＜－2或0＜x＜2 C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2 $$