2025年九年级中考数学一轮复习教材考点整合课件：与圆有关的位置关系

　与圆有关的位置关系 教材考点梳理 考点1　点与圆的位置关系 如图，设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d. 点与圆的三种位置关系如下： (1)点在圆外⇔d______r.(如图中点C) (2)点在圆上⇔d______r.(如图中点B) (3)点在圆内⇔d______r.(如图中点A) ＞ ＝ <  方法技巧　平面内一点，无论这点在圆外、圆上还是圆内，它到圆上距离最大和最小的点都在该点与圆心所连的直线上． 考点2　直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d.直线与圆的三种位置关系如下： (1)直线与⊙O________公共点，则直线与⊙O相离⇔d______r.如图1，直线l与⊙O相离． 没有 ＞ 图1 (2)直线与⊙O只有________公共点，则直线与⊙O相切⇔d______r.如图2，直线l与⊙O相切． 一个 (3)直线与⊙O有________公共点，则直线与⊙O相交⇔d______r.如图3，直线l与⊙O相交． 图2 图3 ＝ 两个 <  考点3　圆的切线的性质与判定 1．切线的性质 (1)切线与圆只有_____个公共点，这个点叫做切点． (2)切线到圆心的距离等于圆的________． (3)切线垂直于经过切点的________．(定理) (4)推论1：经过圆心且________于切线的直线经过切点． (5)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过________． 1 半径 半径 垂直 圆心 2．切线的判定 (1)经过________外端，且__________________的直线是圆的切线.(判定定理) (2)圆心到直线的距离等于圆的半径． (3)圆与直线有且只有一个公共点． 半径 注意　两种常见的证明切线的方法：①连半径证垂直；②作垂直证半径． 垂直于这条半径 3．切线长 (1)定义：过圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间的线段的长度叫做切线长.如图，过⊙O外一点P引圆的两条切线，切点分别为点A，B，则线段PA，PB的长度都是切线长． (2)定理：从圆外一点向圆引两条切线，它们的切线长________，这一点与圆心的连线________两条切线的夹角．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，则PA＝PB，∠1＝∠2. 相等 平分 考点4　圆与圆的位置关系 设两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆的位置有如下之间的关系： 两圆的位置关系 d与r1，r2之间的关系 图示 外离 d______r1＋r2 外切 d______r1＋r2 ＞ ＝ 两圆的位置关系 d与r1，r2之间的关系 图示 相交 r2－r1______d______r1＋r2 内切 d______r2－r1 内含 d______r2－r1 <  <  ＝ <  考点5　三角形外接圆与内切圆的性质 类型 外接圆 内切圆 图形 圆心名称 外心：三角形三边中垂线的交点 内心：三角形角平分线的交点 性质 外心到三角形三个顶点的距离________，即OA＝OB＝OC 内心到三角形三条边的距离________，即OD＝OE＝OF 相等 相等 【*拓展知识】 1．直角三角形的外接圆半径R＝，内切圆半径r＝或r＝ (a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，等面积法可得)． 2．若任意△ABC的三边长分别为a，b，c，内切 圆的半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r. 核心考点突破 突破点1　直线与圆的位置关系 【例1】如图，∠C＝30°，O为BC上一点，且CO＝6 cm.以点O为圆心，r＝5 cm为半径的圆与直线CA的位置关系是________． 解析　如图，过点O作OD⊥CA于点D． 在Rt△COD中，∵∠C＝30°，OC＝6 cm， ∴OD＝OC＝3 cm. ∵r＝5 cm，∴OD<r. 故以点O为圆心，r为半径的圆与直线CA的位置关系是相交． 答案　相交 1．(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　　) A．2 B．5 C．6 D．8 2．(2023·镇江)已知一次函数y＝kx＋2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O.若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx＋2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为_____． B 2 3．(2024·镇江)如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：BC与⊙O相切．理由如下： 如图，连接OD． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA． 由折叠的性质，得 ∠CAD＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥BC． ∵OD是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切． 突破点2　切线的性质与判定 【例2】(推理能力)(2022·西藏)如图，已知BC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F. (1)求证：AD是⊙O的切线； 解答 (1)证明：如图，连接OD，OE，BE. ∵点D为的中点， ∴＝， ∴∠COD＝∠EOD． 又∵CO＝EO， ∴DO⊥CE. 又∵DG∥CE， ∴OD⊥AG. ∵OD是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线． (2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长． (2)解：∵DG∥CE， ∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB． ∵tan∠GDB＝2， ∴tan∠BFE＝2. 在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝， ∴BE＝6. ∵EF＝3，CF＝5， 解答 ∴CE＝EF＋CF＝8， ∴BC＝＝10， ∴OD＝OC＝5. 在Rt△BCE中，sin∠ECB＝＝＝， ∴sin A＝sin∠ECB＝. 在Rt△AOD中，sin A＝＝，OD＝5， ∴OA＝， ∴AC＝OA－OC＝. 方法技巧 1．证明圆的切线思路 (1)若直线过圆上的某个点时，“连半径，证垂直”． (2)若直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径长即可，即“作垂直，证半径”，此时常利用“角平分线的性质——角平分线上的点到角两边的距离相等”． 2．求线段的思路 (1)当解决与圆的切线有关的求线段长的问题时，一般会在直角三角形中，用勾股定理求线段的长度；在此过程中，往往需要构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形是常用的途径之一． (2)利用直角三角形的边角关系求解：在圆的综合题中，当含有直角三角形或已知条件为三角函数值时，常利用直角三角形的边角关系求出相关的线段长，有时需运用同弧所对的圆周角相等进行角之间的转化求解. (3)利用相似三角形求解：圆的综合题中往往需要利用切线的性质与圆周角定理推论相结合找出等角，再利用等角之间的等量关系代换出所求线段相关的两个三角形相似是解题的关键，另外对圆周角定理的灵活运用也非常重要． (4)运用等面积公式，也可求解点到直线的距离问题． 4．(2024·山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．50° D 5．(2024·包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为________. 105° 6．(2024·西藏)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E. (1)求证：CE是⊙的切线； (1)证明：∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠DCO.又∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO.在⊙O中，∠A＝∠D，∴∠DCO＝∠D，∴CO∥DE.又∵CE⊥DB，∴CE⊥OC，OC为半径，∴EC是⊙O的切线． (2)若⊙O的半径为5，sin D＝，求BD的长． (2)连接OD．∵OA＝5，∴AB＝2OA＝10.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝sin D＝，∴BC＝AB·sin A＝10×＝6，∴AC＝ ＝8.∵OA＝OB＝OD，∠ACO＝∠DCO，∴∠A＝∠ACO＝∠DCO＝∠ODC，∴△AOC≌△DOC，∴DC＝AC＝8.∵sin D＝， ∴CE＝CD·sin D＝8×＝，∴DE＝＝.∵∠BCE＋∠OCB＝90°，∠AOC＋∠OCB＝90°，∴∠BCE＝∠ACO＝∠A．∴sin ∠BCE＝sin A＝，∴BE＝BC·sin ∠BCE＝6×＝.∴BD＝DE－BE＝＝. 7．(2024·兰州)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA． (1)求证：ED是⊙O的切线； (1)证明：连接OD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA＝∠BDA＝90°，OB＝OD， ∴∠DBA＝∠BDO. 在Rt△BCA和Rt△BDA中， ∴Rt△BCA≌Rt△BDA(HL)， ∴∠CBA＝∠DBA． ∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO， ∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO. ∵∠BDO＋∠ADO＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＋∠ADO＝90°， 即ED⊥OD． ∵OD为⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线． (2)若BO＝4，tan∠CBA＝，求ED的长． (2)解：∵BO＝4， ∴AB＝2OB＝8， ∴EB＝AE＋AB＝AE＋8. ∵tan ∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA， ∴tan ∠DBA＝. 在Rt△ABD中，tan ∠DBA＝＝. ∴设AD＝a，BD＝2a. ∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E， ∴△EAD∽△EDB． ∴ED∶EB＝AE∶ED＝AD∶BD＝1∶2， ∴AE∶ED＝1∶2，即AE＝ED， ED∶(AE＋8)＝1∶2，即2ED＝AE＋8. ∴2ED＝ED＋8， ∴ED＝. 8．(2023·西藏)如图，已知AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD． (1)求证：CD是⊙O的切线； (1)证明：连接OC，OC为半径(如图1)， ∴OC＝OA， ∴∠ACO＝∠OAC． ∵AC平分∠BAD， 图1 ∴∠CAD＝∠CAO， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴CO∥AD． 又∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． (2)若AC＝8，BC＝6，求DE的长． 图2 (2)连接BC，EC(如图2)． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝10. 在△ABC和△ACD中， ∠ACB＝∠ADC＝90°， ∠CAD＝∠BAC， ∴△ABC∽△ACD， ∴＝，即＝， ∴CD＝. ∵AC平分∠DAB， ∴＝， ∴CE＝BC＝6. 在Rt△CDE中， DE＝＝＝. 突破点3　三角形的内切圆 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°.点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为(　　) A．120° B．110° C．115° D．130° 解析　∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ACB＝∠ABC＝70°. ∵点O是△ABC的内心， ∴∠OBC＝∠ABC＝35°， ∠OCB＝∠ACB＝35°， ∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝110°. 答案　B 方法技巧　圆中求角度或证明角相等的思路： (1)利用切线构造直角三角形． (2)利用圆周角定理及其推论，替换角． (3)利用圆周角定理和勾股定理得到一组平行线，通过圆中相等的角代换可得角的大小． 9．(2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　　) A．15° B．17.5° C．20° D．25° C 10．(2024·内江)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点．连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为_______． 2 11．(2024·自贡改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)直接写出图中三组相等的线段； 解：(1)由切线长定理可知，过A，B，C三点的三组切线长相等， 故有AF＝AD，BD＝BE，CE＝CE三组相等的线段. (2)若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径． 解：(2)连接OE，OF(如图)． ∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． 在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5. 设OE＝OF＝CF＝EC＝x，则有BE＝4－x，AF＝AD＝3－x，BD＝5－AD＝2＋x. 又∵BD＝BE，∴4－x＝2＋x. ∴x＝1. ∴OE＝1，即⊙O半径长为1. 谢谢观看！ $$