专题08解直角三角形的应用-2024-2025学年九年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题08解直角三角形的应用 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)5米；(2)17.1米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，设，， ∵，∴，解得， 答：点D到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ，解得：， 米，塔高约为米． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米；(2)能，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ，能通过． 3．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） (1)无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； (2)求教学楼的高度． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用， （1）延长交直线于点H，由题意知，用三角函数解即可求出； （2）先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， ∵ ∴在中， ∴ ∴ ∴无人机在点处时距离教学楼底端点的距离为； （2）解：在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ． 4．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离；(2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 5．（24-25九年级上·山东威海·期中）小明和小亮两人玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，终点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点A到地面的距离； (2)当小明用力将小亮从C处推出后到最高点D处，此时，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （）过点作，解直角三角形，求出，即可求解； （）过点作，解直角三角形，求出，根据即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得， 过点作， 在中， ， ， ， ， ∴点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中， ， ∴， ， ， ∴． 6．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【答案】(1)点到岛的距离为海里；(2)能 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键时添加辅助线，构造直角三角形： （1）过点作，分别解，求出的长即可； （2）过点作，设，分别解，求出的值，比较巡航船2小时行驶的路程与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作，则：， 由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴点到岛的距离为海里； （2）过点作，设，则：， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达． 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在公主岭南站的公主故里广场，有一尊标志性的大清固伦和敬公主雕像．某“数学综合与实践”小组通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息： 信息一：测量点离雕塑底的距离米． 信息二：在处用测角仪测得雕像最高点仰角，雕塑底座最高点的仰角为． 信息三：点、、在垂直地面的同一条直线上． 信息四：参考数据，． 请根据以上信息，求公主雕像的高度（精确到1米） 【答案】公主雕像的高度为12米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角、仰角问题，在中，利用得出，在中，利用得出，再根据即可得出答案，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：在中， ， 米， 在中，， 米， （米）， 答：公主雕像的高度为12米． 8．（山东省烟台南部（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． (1)求小明从点到点的过程中上升的高度； (2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 【答案】(1)小明从点到点的过程中上升的高度为米；(2)大树的高度是米． 【分析】（）过点作于点，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （）过点作于点，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 由题意知米， ∵斜面的坡比为， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小明从点到点的过程中上升的高度为米； （2）解：过点作于点，设米， 由（）得：（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， ∵， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：大树的高度是米． 9．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） (2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】(1)62海里；(2)0.08小时 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【详解】（1）解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ，    在中，， ，   ，     （海里）．   答：游艇每小时航行62海里． （2）解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ，       在中，，    ，    ， ，          （小时）．    答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，小知想测量自家小区居民楼下一棵大树的高度，由于大树旁边还有其他灌木无法直接到达大树下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的高度为28m，接着在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求大树的高度．结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用，矩形的性质与判定，相似三角形的实际应用，过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形， ∴，， 设，则， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵在C处测得A的俯角为， ∴， ∴，解得， 答：大树的高度约为． 11．（24-25九年级上·重庆·期中）2024“中国国家队公益服务大行动”重庆站活动在重庆凤鸣山中学开展，小凤与小鸣精心规划，为奥运冠军们设计了两条欢迎通道．如图，点是校门所在的位置，点是奥运冠军宣讲活动的主会场“风凌体育馆”．小风设计的欢迎通道是，小鸣设计的欢迎通道是为；已知点位于点的南偏东方向，且米；点位于点的南偏西方向，且米；点位于点的西南方向上，同时点也位于点的正西方向．（参考数据：，，） (1)求道路的长度（结果精确到个位）； (2)若小凤带队经过通道的速度为米/分钟，小鸣带队经过通道的速度为米/分钟，若他们同时从点处出发，并保持匀速游览，请通过计算说明哪条路线能更快到达体育馆． 【答案】(1)道路的长度为米；(2)小鸣的路线先到达体育馆，理由见解析 【分析】本题主要考查了特殊角的函数值求法，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，方位角，读懂题意，作出辅助线是解答关键． （1）过点作交的延长线于点，由含角的直角三角形的性质求出和，然后再利用等腰直角三角形的性质求解； （2）作于点，由含角的直角三角形的性质求出，用特殊角的函数值求出，再用勾股定理求出，结合（1）的结论求得小凤和小鸣各自到达的时间来求解． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 在中，，米，， 米，米， ， 是等腰直角三角形， 米 （米） 即道路的长度为米． （2）解：作于点， 在中，，米，， （米），（米） 米， （米）， 小鸣的游览速度为米分， 小鸣到达出口的时间是（分）， 由可得，（米）， 小凤的游览速度为米分， 小凤到达出口的时间是（分）． ，小鸣的路线先到达体育馆． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，． (1)求点到水平地面的高度； (2)求点与点之间的水平距离． （结果精确到1．参考数据：，，，） 【答案】(1)点到水平地面的高度是150米． (2)点与点之间的水平距离1049米． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，准确识图，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解决问题的关键． （1）过点作于，过点作于，交延长线于，解得米，米，由此可得出答案； （2）解得米，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，交延长线于，如图所示： 在中，，， ，，，， （米），（米）， 答：点到水平地面的高度是150米． （2）解：在中，，米，， ， （米）， 又米，（米）， 答：点与点之间的水平距离1049米． 13．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 【答案】(1)步道AB的长度为米；(2)小莹先到达景点A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）过点M作于M，则，证明为等腰直角三角形，得到（米），（米），即可得到答案； （2）求出路线②的路程，得到小莹到达景点A的时间，求出路线①的路程，得到小明到达景点A的时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴， 过点M作于M，则， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：步道的长度为米； （2）∵米，，， ∴（米），（米）， ∴路线②的路程为（米）， ∴小莹到达景点A的时间为（分钟）， ∵路线①的路程为（米）， ∴小明到达景点A的时间为（分钟）， ∵， ∴小莹先到达景点A． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点离桌面的高度为； (2)当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【分析】本题考查解直角三角形的应用．作合适的辅助线构建直角三角形是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； （2）解：过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； ； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 15．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； (2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 【答案】(1)；(2)能，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键． （1）过点P作于A，于B，先解，求得，再证明，从而得出，然后解，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点P作于A，于B，如图， 根据题意，得，，，， 在中，∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 答：驿站，驿站之间的距离约为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】；【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用，过点作于，先得到，在中，根据正切的定义列式求出，进而得到．掌握锐角三角函数的定义，数形结合列式求解是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则四边形为矩形，，， ，， ，， ， 在中，，， ，则， ， 答：旗杆的高度约为． 17．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米；(2)飞机距离地面的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解； （2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， 米； （2）解：，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ，解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 18．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析；(2)37.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴，两楼的间距符合规定； （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 19．（河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A期中测试题）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． (1)求斜坡l的坡度； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可得的长，再根据坡度的定义求解即可得； （2）过点作于点，作于点，则，，再解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵点到地面的距离为， ∴， ∵， ∴， 则斜坡的坡度为． （2）解：如图，过点作于点，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，， ∴，， ∴， 答：点与点的高度差为． 20．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米；(2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵，∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）；即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 试卷第16页，共26页 试卷第15页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08解直角三角形的应用 1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 3．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为；再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为．（结果均精确到，参考数据：，，） (1)无人机在点处时距离教学楼底端点的距离； (2)求教学楼的高度． 4．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 5．（24-25九年级上·山东威海·期中）小明和小亮两人玩荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，终点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点A到地面的距离； (2)当小明用力将小亮从C处推出后到最高点D处，此时，求点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 6．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在公主岭南站的公主故里广场，有一尊标志性的大清固伦和敬公主雕像．某“数学综合与实践”小组通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息： 信息一：测量点离雕塑底的距离米． 信息二：在处用测角仪测得雕像最高点仰角，雕塑底座最高点的仰角为． 信息三：点、、在垂直地面的同一条直线上． 信息四：参考数据，． 请根据以上信息，求公主雕像的高度（精确到1米） 8．（山东省烟台南部（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． (1)求小明从点到点的过程中上升的高度； (2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 9．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） (2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，小知想测量自家小区居民楼下一棵大树的高度，由于大树旁边还有其他灌木无法直接到达大树下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的高度为28m，接着在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求大树的高度．结果精确到，参考数据：，，） 11．（24-25九年级上·重庆·期中）2024“中国国家队公益服务大行动”重庆站活动在重庆凤鸣山中学开展，小凤与小鸣精心规划，为奥运冠军们设计了两条欢迎通道．如图，点是校门所在的位置，点是奥运冠军宣讲活动的主会场“风凌体育馆”．小风设计的欢迎通道是，小鸣设计的欢迎通道是为；已知点位于点的南偏东方向，且米；点位于点的南偏西方向，且米；点位于点的西南方向上，同时点也位于点的正西方向．（参考数据：，，） (1)求道路的长度（结果精确到个位）； (2)若小凤带队经过通道的速度为米/分钟，小鸣带队经过通道的速度为米/分钟，若他们同时从点处出发，并保持匀速游览，请通过计算说明哪条路线能更快到达体育馆． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，． (1)求点到水平地面的高度； (2)求点与点之间的水平距离． （结果精确到1．参考数据：，，，） 13．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 15．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； (2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 16．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 17．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 18．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 19．（河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A期中测试题）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． (1)求斜坡l的坡度； (2)求点M与点N的高度差． 20．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$