专题三 带电粒子在复合场中的运动-【金版教程】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册创新导学案教用Word（人教版2019）

物理　选择性必修·第二册[RJ] 专题三　带电粒子在复合场中的运动 探究1　带电粒子在组合场中的运动 1．组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。 2．两种场力的特点 (1)静电力的方向与电场方向相同或相反，静电力做功与路径无关，静电力做的功等于电势能的减小量。 (2)洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关，方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力始终不做功。 3．运动特点 分阶段运动，带电粒子可能依次通过几个情况不同的场区，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几个不同的运动阶段组成。 4．“电偏转”和“磁偏转”的比较 内容项目 垂直进入匀强磁场 (磁偏转) 垂直进入匀强电场 (电偏转) 情景图 受力 F洛＝qv0B，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，F洛为变力 F电＝qE，大小、方向不变，为恒力 运动规律 匀速圆周运动，r＝，T＝ 类平抛运动，vx＝v0，vy＝t，L＝v0t，y＝t2 运动时间 t＝T＝ t＝ 动能 不变 变化 例1　如图在第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第二、三、四象限内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场。一带正电粒子从x轴上的M点以速度v0沿与x轴正方向成60°角射入第二象限，恰好垂直于y轴从N点进入匀强电场，从x轴上的P点再次进入匀强磁场，且在P点速度v＝v0，已知磁场的范围足够大，ON＝h，OM＝h，粒子的比荷为k，不计粒子重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)粒子从P点进入匀强磁场后再次到达x轴的位置与M点的距离以及经历的时间。 [规范解答]　(1)粒子从M点运动到N点做匀速圆周运动，轨迹如图中①所示，设轨迹圆的半径为r1，根据洛伦兹力提供向心力有 qv0B＝m 由几何关系有r1sin60°＝h 联立解得B＝＝。 (2)粒子从N点运动到P点做类平抛运动，轨迹如图中②所示，在P点沿y轴负方向的分速度vy＝＝v0 则从N点到P点，沿y轴负方向有v＝2ah 其中加速度a满足qE＝ma 联立解得E＝＝。 (3)粒子从P点进入磁场至再次到达x轴的运动轨迹如图中③所示 设粒子从P点进入磁场时速度与x轴正方向夹角为θ，则有tanθ＝＝1 得θ＝45° 设粒子从N到P的运动时间为t，由匀变速直线运动规律有＝h 又v0t＝OP 解得OP＝2h 由qvB＝m 解得粒子再次进入磁场后运动的轨迹半径 r2＝＝2h 由几何关系知，过P点作速度v的垂线与y轴交点O2即为粒子之后做圆周运动的圆心，设粒子再次回到x轴到达P′点，可得P′与P关于原点O对称，故OP′＝2h P′点与M点的距离 s＝OP′－OM＝(2－)h 粒子从P点进入磁场后，做圆周运动的周期 T＝＝ 从P点到P′点运动轨迹所对应的圆心角α＝270° 所经历的时间t′＝T＝。 [答案]　(1)　(2) (3)(2－)h　 带电粒子在组合场中运动的几点注意 (1)基本思路：明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律，然后找出两种场分界线上两种运动的联系(一般是粒子经过分界线时速度不变)，利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理。 (2)关键点：画出轨迹示意图。 (3)具体解决方案 [变式训练1]　“太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图所示。辐射状的加速电场区域Ⅰ边界为两个同心平行扇形弧面，O1为圆心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U0，M为外圆弧的中点。在紧靠O1右侧有一圆形匀强磁场区域Ⅱ，圆心为O2，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且磁感应强度大小为B＝，在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ。已知MO1O2和PNQ为两条平行线，且与O2N连线垂直。假设太空中散布着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面上，经电场从静止开始加速，然后从O1进入磁场，并最终到达PNQ板被收集。忽略一切万有引力和粒子之间的作用力。 (1)求粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小； (2)求从M点出发的粒子在磁场中运动的半径R； (3)假设所有粒子从AB弧面同时出发，则最先到达收集板的是从哪一点出发的粒子？求出该粒子从O1至收集板的时间。 答案　(1)　(2)L (3)A点　 解析　(1)带电粒子在电场中加速的过程，根据动能定理有：qU0＝mv2－0 解得：v＝。 (2)从M点出发的粒子到达O1点后水平进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：qvB＝ 解得：R＝L。 (3)所有从AB弧面同时出发的粒子，同时到达O1点，在磁场中运动的速度大小相等，做匀速圆周运动的半径均为L，则所有粒子在磁场中的入射点、出射点、轨迹圆心与O2的连线均构成菱形，即它们经过磁场偏转后都从磁场边界垂直于PNQ射出，最终到达PNQ板被收集，轨迹如图所示。 从各个粒子的运动轨迹可以看出，轨迹1的长度最小，所以从A点出发的粒子运动的时间最短，最先到达收集板；根据图形以及几何知识可知，该粒子在磁场中偏转了30°，所以在磁场中运动的时间为： t1＝T＝·＝ 出磁场后匀速运动的时间为： t2＝＝＝ 该粒子从O1至收集板的时间为： t＝t1＋t2＝。 [名师点拨]　本题带电粒子在磁场中的运动是“磁发散”模型和“磁聚焦”模型： (1)“磁发散”模型(点入平出)：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图1所示。 (2)“磁聚焦”模型(平入点出)：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图2所示。 探究2　带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中的常见运动 带电粒子在叠加场中运动时，其运动状态是由粒子所受静电力、洛伦兹力和重力的共同作用来决定的，对于有轨道约束的运动，还要考虑弹力、摩擦力对运动的影响。带电粒子在叠加场中的常见运动情况如下： 静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态 匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力合力为零时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 变速直线运动 一般是在有轨道约束的情况下，在垂直于速度方向上洛伦兹力与其他力平衡 较复杂的曲线运动　 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线 例2　空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　) [规范解答]　在xOy平面内，电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电的粒子在电场力作用下开始向y轴正方向运动；最初带正电的粒子速度方向沿y轴正方向，又磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则可知，带正电的粒子所受洛伦兹力沿x轴负方向，则粒子开始向x轴负方向偏转，故该粒子的运动轨迹的初始部分必然在第二象限，A、C错误。开始一段时间内，电场力对该粒子做正功，该粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，不做功，但会一直改变该粒子的速度方向，则开始一段时间粒子的速度增大，且该粒子逆时针偏转；当速度方向变为沿x轴负方向时，该粒子受到的洛伦兹力沿y轴负方向，此后粒子将向y轴负方向偏转，此过程电场力对该粒子做负功，该粒子速度减小；由于匀强电场方向沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势线，由动能定理可知，该粒子再次回到x轴时的速度刚好为0，即其不会进入第三象限，此后将在第二象限重复上述运动，故B可能正确，D错误。 [答案]　B 带电粒子在叠加场中运动问题的一般分析方法 此外，要注意分析题中的隐含条件，比如带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做圆周运动，则带电粒子所受的重力和静电力的合力为零，该圆周运动为匀速圆周运动，洛伦兹力提供粒子做该匀速圆周运动的向心力。 [变式训练2]　如图所示，在xOy坐标系第Ⅰ象限，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为B＝1.0 T；电场方向水平向右，电场强度大小为E＝ N/C。一个质量m＝2.0×10－7 kg、电荷量q＝2.0×10－6 C的带正电粒子从x轴上P点以速度v0射入第Ⅰ象限，恰好在xOy平面中做匀速直线运动。0.10 s后改变电场强度大小和方向，带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，取g＝10 m/s2。求： (1)带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v0的大小和方向； (2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小和方向； (3)若粒子做匀速圆周运动时未离开第Ⅰ象限，x轴上入射点P应满足什么条件？ 答案　(1)2 m/s　方向斜向上与x轴正方向夹角为60° (2)1.0 N/C　方向竖直向上 (3)P点离O点的距离至少为0.27 m 解析　(1)粒子在叠加场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零。根据平衡条件可知粒子所受洛伦兹力的方向如图1所示，则v0垂直于F洛斜向上。 重力mg＝2.0×10－6 N静电力F电＝qE＝2×10－6 N 故洛伦兹力 F洛＝＝4.0×10－6 N 由F洛＝qv0B 得v0＝2 m/s 设v0与x轴正方向的夹角为θ， 则tanθ＝＝ θ＝60°。 (2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时，静电力必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力。 故电场强度E′＝＝1.0 N/C，方向竖直向上。 (3)如图2，带电粒子做匀速圆周运动恰好未离开第Ⅰ象限时，圆弧左边与y轴相切于N点； 粒子在PQ段做匀速直线运动，PQ＝v0t＝0.2 m 做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，qv0B＝m 代入数据得R＝0.2 m。 由几何知识得OP＝R＋Rsin60°－PQcos60°＝0.27 m 则x轴上入射点P离O点的距离至少为0.27 m。 课后课时作业 1．如图所示，环型对撞机是研究高能粒子的重要装置。正、负离子由静止经过电压为U的直线加速器加速后，沿圆环切线方向注入对撞机的真空环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两种带电粒子将被局限在环状空腔内，沿相反方向做半径相等的匀速圆周运动，从而在碰撞区迎面相撞。为维持带电粒子在环状空腔中的匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　) A．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷越大，磁感应强度B越大 B．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷越大，磁感应强度B越小 C．对于给定的带电粒子，加速电压U越大，粒子运动的周期越大 D．对于给定的带电粒子，不管加速电压U多大，粒子运动的周期都不变 答案　B 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可知：qvB＝m，解得：R＝，而粒子在电场中被加速，有：mv2＝qU，联立可得：R＝。由于粒子均须沿真空环状空腔运动，故匀速圆周运动的半径相同，则当加速电压一定时，粒子的比荷越大，磁感应强度越小，故A错误，B正确；当粒子的比荷一定时，加速电压越大，磁感应强度越大，根据T＝可得，粒子运动的周期越小，故C、D错误。 2．(多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是(　　) A．该微粒一定带负电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强为 答案　AC 解析　若该微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的静电力qE和斜向右下方的洛伦兹力qvB，可知微粒不能做直线运动，据此可知该微粒一定带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE和斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线从O运动到A，可知微粒应做匀速直线运动，则A正确，B错误；由平衡条件得cosθ＝，tanθ＝，得该磁场的磁感应强度B＝，该电场的场强E＝，故C正确，D错误。 3．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴竖直向上。第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场(图中未画出)。一带电微粒以速度v从x轴上的A点经过，恰好从P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q点距O点的距离为d，重力加速度为g。根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．圆周运动的速度是v B．可以求出微粒在第Ⅳ象限运动的时间 C．可以求出磁感应强度大小 D．可以求出电场强度的大小和方向 答案　B 解析　在第Ⅳ象限微粒做圆周运动，故微粒所受重力不可忽略，且静电力与重力平衡。微粒在第Ⅲ象限运动时，洛伦兹力不做功，从A点到P点的过程，由动能定理知：mgd＝mv－mv2，由此可求出微粒做圆周运动的速度vP＝>v，A错误；微粒在第Ⅳ象限运动的时间t＝T＝×＝，B正确；在第Ⅳ象限，微粒做圆周运动，则有mg＝qE，由于m、q未知，不能求出电场强度的大小，由d＝知，不能求出磁感应强度大小，C、D错误。4.(多选)如图所示是选择不同纳米颗粒的一种装置。待选纳米颗粒的密度相同，均带正电且电荷量与其表面积成正比。待选颗粒从小孔O1进入时可认为速度为零，加速电场区域Ⅰ的板间电压为U，颗粒通过小孔O2射入正交的匀强电磁场区域Ⅱ，其中磁场的磁感应强度大小为B，左右两极板间距为d。区域Ⅱ出口小孔O3与O1、O2在同一竖直线上。若半径为r0、质量为m0、电荷量为q0的颗粒刚好能沿直线通过，不计颗粒重力，则(　　) A．区域Ⅱ中电场强度与磁感应强度的比值为 B．区域Ⅱ中电场强度与磁感应强度的比值为 C．若纳米颗粒的半径r>r0，则刚进入区域Ⅱ的粒子将不能沿直线通过 D．若纳米颗粒的半径r>r0，则刚进入区域Ⅱ的粒子仍将沿直线通过 答案　BC 解析　带电颗粒在区域Ⅰ中加速过程，有q0U＝m0v2－0，在区域Ⅱ中刚好能沿直线通过两个小孔，有q0vB＝Eq0，所以区域Ⅱ中电场强度与磁感应强度的比值为＝v＝，A错误，B正确；带电颗粒的比荷为＝＝，若纳米颗粒的半径r>r0，则比荷<，在区域Ⅱ中受力不再平衡，故不能沿直线通过，C正确，D错误。 5．(多选)如图甲所示，在xOy平面内存在方向、大小随时间呈周期性变化的磁场和电场(电场未画出)，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向)。在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带负电粒子(不计所受重力)。已知v0、t0、B0、E0，且E0＝，粒子的比荷＝，x轴上有一点A，坐标为。下列选项正确的是(　　) A．时刻，带电粒子的位置坐标为 B．带电粒子在运动过程中偏离x轴的最大距离为v0t0＋ C．带电粒子在运动过程中偏离y轴的最大距离为 D．粒子经过32t0通过A点 答案　AB 解析　在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qB0v0＝m，解得轨迹半径r1＝＝，周期T＝＝2t0，则粒子在时间内转过的圆心角为α＝，结合左手定则，可知在时刻，带电粒子的位置坐标为，故A正确；在0～t0时间内粒子转过的角度为π，在t0～2t0时间内，粒子在电场中沿y轴负方向做匀加速运动，设粒子经电场加速后的速度为v，则有v＝v0＋t0＝2v0，沿y轴负方向运动的位移为y1＝t0＝v0t0，在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径为r2＝＝2r1＝，转过的角度为π，在3t0～4t0时间内，粒子做t0～2t0时间内运动的逆运动，4t0时刻 回到x轴且速度大小为v0，0～4t0时间内运动轨迹如图所示，之后粒子重复上述运动，故粒子偏离x轴的最大距离为h＝y1＋r2＝v0t0＋，粒子偏离y轴的距离无最大值，故B正确，C错误；粒子在xOy平面内做周期性运动的周期为4t0，一个周期内向右运动的距离为d＝2r1＋2r2＝，AO间的距离为＝9d＋2r1，所以粒子运动至A点所用的时间为t＝9×4t0＋t0＝37t0，故D错误。 6．如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 答案　(1)　(2)(或60°) (3)图见解析 解析　(1)设板间距离为d，则板长为d，两板间的电场强度为E＝ 设粒子在板间运动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得qE＝ma 设粒子在板间的运动时间为t0，根据类平抛运动的规律得＝at d＝v0t0 联立解得U＝。 (2)设粒子射出电场时与水平方向的夹角为α，则有tanα＝ 解得α＝ 则射出电场时粒子的速度大小为 v＝＝v0 粒子射出电场后沿直线匀速运动，接着进入磁场，洛伦兹力提供粒子做匀速圆周运动所需的向心力，有qvB＝m 解得粒子做圆周运动的半径r＝ 已知圆形磁场区域半径为R＝， 则＝ 画出粒子在磁场中运动的轨迹如图1，由几何关系可得tan＝ 解得θ＝(或60°)。 (3)带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为r＝R，根据几何关系可知，带电粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。则相对应的运动轨迹和弦以及磁场圆心M的位置如图2所示。 8 学科网（北京）股份有限公司 $$