1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动-【金版教程】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册创新导学案教用Word（人教版2019）

物理　选择性必修·第二册[RJ] 3．带电粒子在匀强磁场中的运动 1．理解带电粒子在匀强磁场中的运动规律。2.掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径公式和周期公式及应用。 一　带电粒子在匀强磁场中的运动 1．沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子，由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个平面内运动。 2．洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。 3．沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 二　带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．一个电荷量为q的粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动，洛伦兹力提供向心力，则qvB＝m，可解得圆周运动的半径r＝。可以看出，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。 2．带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝。由此可见，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。 判一判 (1)带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动。(　　) (2)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关。(　　) (3)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动。(　　) (4)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关。(　　) 提示：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 探究1　带电粒子在匀强磁场中运动的基本规律 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：在现代科学技术中，常常要研究带电粒子在磁场中的运动。如果沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子(如图甲)，请猜想这束粒子在匀强磁场中的运动径迹，猜想的依据是什么？ 提示：由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个平面内运动。 洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。由于粒子速度的大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变，洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。所以，可以猜想，沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。 活动2：图乙是洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。观察丙、丁两图，图中现象说明了什么？ 提示：电子质量很小，所受重力可以忽略不计，如果没有磁场，电子被加速后做直线运动，如果加上与速度方向垂直的磁场，电子束将做圆周运动。即活动1的猜想正确。 活动3：如图甲，假设一个电荷量为q的粒子，以速度v垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，圆周运动的半径r和周期T分别是多大？ 提示：带电粒子所受的洛伦兹力为F＝qvB，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，由此可解得圆周运动的半径r＝。匀速圆周运动的周期T＝，将r＝代入，可得T＝。 活动4：在图丁中，首先保持出射电子的速度不变，改变磁感应强度。然后保持磁感应强度不变，改变出射电子速度的大小。观察实验现象，定性检验圆周运动的半径表达式。 提示：观察发现，当电子束出射速度不变，磁感应强度变大时，轨迹圆的半径变小；当磁感应强度不变，电子束出射速度变大时，轨迹圆的半径变大。这个结果符合活动3得出的圆周运动的半径表达式。 1．带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中时： (1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动； (2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动； (3)当v与B既不垂直也不平行时，带电粒子做螺旋运动。 2．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径和周期 (1)轨道半径公式r＝ 洛伦兹力方向总与速度方向垂直，洛伦兹力充当向心力。根据牛顿第二定律，qvB＝m，解得r＝。 (2)周期公式T＝ 圆周运动的周期T＝，将r＝代入，解得T＝，故周期与速度和轨道半径无关。 例1　如图所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m，电荷量为e。重力不计，则(　　) A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里 B．质子做螺旋线运动的半径为 C．质子做螺旋线运动的周期为 D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为 [实践探究]　v与B不垂直，应该如何解题？ 提示：将初速度沿磁场方向和垂直磁场方向分解。 [规范解答]　将质子的初速度分解，垂直于磁场方向的速度v1＝vsinθ，沿磁场方向的速度v2＝vcosθ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，根据运动的合成，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行于磁场方向，A错误；由洛伦兹力提供向心力，有ev1B＝m，则质子做螺旋线运动的半径为r＝＝，B错误；质子做螺旋线运动的周期为T＝＝，C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x＝v2T＝，D正确。 [答案]　D [变式训练1]　(多选)已知氖22原子核的质量与氖20原子核的质量之比为22∶20，均带10个元电荷，它们以相同的速度经狭缝垂直磁场方向射入匀强磁场，如图所示。设它们在磁场中运动的轨道半径之比和周期之比分别为x、y，下列判断正确的是(　　) A．x＝11∶10 B．x＝10∶11 C．y＝11∶10 D．y＝10∶11 答案　AC 解析　两原子核在磁场中均做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，T＝，可得r＝，T＝。根据题意可知，两原子核的电荷量q和射入磁场的速度v均相同，在同一磁场中，B相同，则它们在磁场中运动的轨道半径之比和周期之比都等于其质量之比，即x＝y＝22∶20＝11∶10，故A、C正确，B、D错误。 探究2　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：图甲中确定轨迹圆心的依据是什么？ 提示：轨道半径和速度垂直，两个半径的交点必然是圆心。 活动2：图乙中确定轨迹圆心的依据是什么？ 提示：速度的垂线必过圆心，弦的中垂线必通过圆心，两线交点必为圆心。 活动3：图丙中各个角度之间的关系是什么？ 提示：粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍。 1．轨迹圆心的确定 (1)圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)圆心一定在弦的中垂线上 已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．轨道半径的确定 方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨道半径r＝； 方法二(由几何关系求)：以甲、乙、丙三图为例，一般由数学知识通过计算来确定，解直角三角形是最常用的方法。 3．运动时间的确定 方法一(由圆心角求)：t＝·T； 方法二(由弧长求)：t＝。 4．要正确地识别或作出图像必须注意“4点、6线、3角” 4点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。 6线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线。 3角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图丙所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。 例2　如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A． B． C． D． [实践探究]　(1)要求粒子在磁场中的运动时间，首先要求什么？ 提示：首先要画出粒子的轨迹，求出粒子在两个象限中轨迹的圆心角。 (2)题中隐含了什么条件？ 提示：粒子穿过y轴时速度的大小和方向不变。 [规范解答]　带电粒子在不同磁场中做圆周运动，其速度大小不变，由r＝知，第一象限内的轨迹圆半径是第二象限内的轨迹圆半径的2倍，如图所示，由几何知识可知，粒子在第二象限内轨迹所对圆心角为90°，在第一象限内轨迹所对圆心角为60°。粒子在第二象限内运动的时间t1＝＝＝，粒子在第一象限内运动的时间t2＝＝＝，则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝，B正确。 [答案]　B 带电粒子在匀强磁场中做匀速 圆周运动问题的解题三步法 [变式训练2]　如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则为(提示：若粒子沿直径射入圆形匀强磁场区域，则离开磁场时速度的反向延长线一定过磁场区域圆心)(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　根据题意作出粒子的轨迹圆如图所示。设圆形磁场区域的半径为R，粒子速度大小为v1、v2时在磁场中的轨道半径分别为r1、r2，则根据几何关系有r1＝R，r2＝R。根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，所以＝＝，故B正确。 [名师点拨]　带电粒子在圆形边界匀强磁场区域运动的特点 (1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)。 证明：如图甲，因为OA＝OB，O1A＝O1B，所以△O1OA≌△O1OB，所以∠OBO1＝90°，vB沿OB方向。 (2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ。 证明：如图乙，因为OM＝ON，O1M＝O1N，所以△O1OM≌△O1ON，则∠ONO1＝∠OMO1，又因为∠O1MO2＝90°，∠O1NO2＝90°，所以∠ONO2＝∠OMO2＝θ。 课后课时作业 1．(轨道半径公式与周期公式)(多选)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置。如图所示，云室中有方向垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，将含有大量正、负带电粒子及不带电粒子的气体以大小相同的速度喷入云室里，观察到有两个粒子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反。则下列说法正确的是(　　) A．粒子①受到的洛伦兹力可能指向右侧 B．粒子②一定带正电 C．粒子①和②的质量一定相等 D．粒子①和②的周期一定相等 答案　BD 解析　由运动径迹可知，粒子①受到的洛伦兹力指向左侧，粒子②受到的洛伦兹力指向右侧，由左手定则可知，粒子①一定带负电，粒子②一定带正电，故A错误，B正确；由题意知两个粒子的径迹弯曲程度相同，即它们做匀速圆周运动的半径相等，又qvB＝m，所以r＝，由题意知两粒子的速率相同，故它们的比荷相等，但质量不一定相等，故C错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，两粒子r和v相等，则周期相等，D正确。 2．(轨道半径公式与周期公式)MN是匀强磁场中的一块薄金属板，一带电粒子(不计重力)在磁场中运动并穿过金属板后，速率将会减小，电荷量保持不变，若其运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．粒子带正电 B．粒子的运动方向是edcba C．粒子的运动方向是abcde D．粒子通过上半周所用时间比下半周所用时间短 答案　B 解析　带电粒子(不计重力)在匀强磁场中运动，根据qvB＝m，解得r＝，穿过金属板后粒子速率变小，则粒子的轨迹半径将减小，故粒子是由下到上穿过金属板，运动方向为edcba，根据左手定则可知，粒子带负电，A、C错误，B正确；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，粒子运动过程中质量m、电荷量q与磁感应强度B都不变，则粒子做圆周运动的周期不变，粒子在上半周与下半周运动时间都是半个周期，运动时间相等，D错误。 3．(轨道半径公式)高纬度地区的高空，大气稀薄，常出现美丽的彩色“极光”。极光是由太阳发射的高速带电粒子受地磁场的影响，进入两极附近时，撞击并激发高空中的空气分子和原子引起的。假如我们在北极地区仰视，发现正上方如图所示的弧状极光，已知此处的磁场可看作匀强磁场，则关于这一现象中高速粒子的说法正确的是(　　) A．高速粒子带负电 B．粒子轨道半径逐渐增大 C．仰视时，粒子沿逆时针方向运动 D．仰视时，粒子沿顺时针方向运动 答案　D 解析　高速粒子运动过程中，因撞击空气分子、原子致使动能逐渐变小，速度逐渐减小，根据qvB＝m，得r＝，则粒子轨道半径逐渐减小，故B错误。根据上述分析及题图可知，仰视时，带电粒子沿顺时针方向运动，而北极上空有竖直向下的磁场，则由左手定则得粒子带正电，故A、C错误，D正确。 4．(轨道半径的确定和运动时间比较)(多选)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置。云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。关于a、b、c三条径迹判断正确的是(　　) A．a、b、c都是负电子的径迹 B．c径迹对应的粒子轨迹半径最大 C．a径迹对应的粒子动量最大 D．c径迹对应的粒子运动时间最长 答案　AB 解析　带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，故A正确；由图可知ra<rb<rc，B正确；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，a、b、c三个粒子都是负电子，q和m相同，都在同一磁场中运动，B相同，根据动量p＝mv＝qBr，可知pa<pb<pc，故C错误；带电粒子在磁场中运动的周期T＝＝，所以Ta＝Tb＝Tc，粒子在磁场中运动的时间t＝T，其中α为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，故D错误。 5．(轨迹圆心与弧长的确定)(多选)如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a(0，2L)。一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法正确的是(　　) A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为 C．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L) D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－L) 答案　AC 解析　由题意画出电子的轨迹如图，其中O′为电子在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知电子的偏转角为，做圆周运动的半径为r＝4L，故电子在磁场中运动的时间为t＝＝，A正确，B错误；由几何关系知O′的坐标为(0，－2L)，所以C正确，D错误。 6．(带电粒子在有界磁场中运动的综合分析)(多选)空间虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出，如图所示。已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　) A．该匀强磁场的方向是垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹相同 C．速率大于v0的电子在磁场中运动的时间较长 D．所有电子的速度方向都改变了2θ 答案　AD 解析　由图知，电子在P点受到的洛伦兹力方向为P→O，根据左手定则判断得知，该匀强磁场的方向是垂直纸面向里，故A正确。电子进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由轨道半径公式r＝知，轨道半径与电子的速率成正比，速率不同，轨道半径不同，则轨迹不同，故B错误。根据圆的对称性可知，所有电子离开磁场时速度方向与PQ线的夹角都是θ，则所有电子的速度方向都改变了2θ，由几何知识得知，所有电子轨迹对应的圆心角都是2θ，由周期公式T＝可知所有电子的周期相同，则所有电子在磁场中运动的时间都相同，故C错误，D正确。 [名师点拨]　粒子进出磁场的边界为同一直线时，出射速度与边界的夹角等于入射速度与边界的夹角。 7．(轨道半径公式和周期公式)如图所示，A和B之间的距离为0.1 m，电子在A点的速度v0＝1.0×107 m/s。已知电子的电荷量e＝1.6×10－19 C，电子质量m＝0.91×10－30 kg。 (1)要使电子沿半圆周由A运动到B，求所加匀强磁场的磁感应强度的大小和方向； (2)电子沿半圆周从A运动到B需要多少时间？ 答案　(1)1.1×10－3 T　垂直纸面向里 (2)1.57×10－8 s 解析　(1)要使电子沿半圆周由A运动到B， 则电子运动半径r＝0.05 m 根据洛伦兹力提供向心力得：ev0B＝m 代入数据解得：B＝1.1×10－3 T， 根据左手定则可以判断磁场方向垂直纸面向里。 (2)根据题意可知，电子运动半个周期，所以运动时间为：t＝×＝1.57×10－8 s。 8．(轨迹圆心与轨道半径的确定)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A．kBl，kBl B．kBl，kBl C．kBl，kBl D．kBl，kBl 答案　B 解析　若电子从a点射出，运动轨迹如图中①，有qvaB＝m，Ra＝，解得va＝＝＝；若电子从d点射出，运动轨迹如图中②，有qvdB＝m，R＝＋l2，解得vd＝＝＝。B正确。 9．(综合)(多选)静止在匀强磁场中的某放射性元素的原子核衰变放出一个α粒子(即氦4原子核)，其速度方向与磁场方向垂直。测得α粒子与反冲核轨道半径之比为30∶1，如图所示。已知原子核衰变过程动量守恒，电荷守恒，α粒子带2个单位元电荷，相对原子质量是4，则(　　) A．反冲核的原子序数为62 B．原放射性元素的原子序数是62 C．反冲核与α粒子的周期之比为1∶62 D．α粒子和反冲核的动量大小相等、方向相反 答案　BD 解析　静止的原子核发生衰变，由动量守恒定律可知，反冲核与α粒子的动量大小相等，方向相反，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，解得r＝＝，由题意知rα∶r反＝30∶1，则反冲核的电荷量q反＝30qα＝60e，反冲核的原子序数为60，由电荷守恒可知原放射性原子核的电荷量为q＝qα＋q反＝62e，则它的原子序数为62，故A错误，B、D正确；粒子在磁场中的周期T＝＝，因不知道反冲核与α粒子的质量之比，所以二者周期之比也不确定，故C错误。 14 学科网（北京）股份有限公司 $$