2.2 法拉第电磁感应定律-【金版教程】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册创新导学案课件PPT（人教版2019）

第二章　电磁感应 2.法拉第电磁感应定律 目录 1 2 课前自主学习 课堂探究评价 3 课后课时作业 1．知道什么是感应电动势。2.掌握法拉第电磁感应定律的内容和表达式，会用法拉第电磁感应定律解答有关问题。3.掌握导线切割磁感线产生的感应电动势的公式E＝Blvsinθ的推导及意义，会用此关系式解答有关问题。4.了解动生电动势的产生以及它与洛伦兹力的关系，知道导线切割磁感线产生感应电流时，通过克服安培力做功把其他形式的能转化为电能。 3 课前自主学习 一　电磁感应定律 1．感应电动势 (1)电路中有感应电流，就一定有__________。如果电路没有闭合，这时虽然没有感应电流， __________依然存在。 (2)感应电动势：在__________现象中产生的电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于__________ 。 电动势 电动势 电磁感应 电源 课前自主学习 5 2．法拉第电磁感应定律 (1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的__________成正比。 (2)公式：E＝__________ 。若闭合电路是一个匝数为n的线圈，而且穿过每匝线圈的磁通量总是相同的，则整个线圈中的感应电动势E＝__________ 。 (3)单位：在国际单位制中，电动势E的单位是伏(V)，且1 V＝1 Wb/s。 变化率 课前自主学习 6 二　导线切割磁感线时的感应电动势 1．电动势表达式 (1)导线垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图甲，E＝ __________ 。 (2)导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ时，如图乙，则E＝__________ ＝__________ 。 Blv Blv1 Blvsinθ 课前自主学习 7 2．电磁感应现象中的洛伦兹力 (1)动生电动势：如果感应电动势是由于导体________而产生的，它也叫作动生电动势。 (2)动生电动势中的“非静电力”：自由电荷因随导体棒运动而受到___________，非静电力与____________有关。 3．导体棒切割磁感线产生感应电流时会受到安培力的作用，安培力的方向与推动导体棒运动的力的方向________，导体棒克服________做功，把其他形式的能转化为电能。 运动 洛伦兹力 洛伦兹力 相反 安培力 课前自主学习 8 1．判一判 (1)在电磁感应现象中，有感应电动势，就一定有感应电流。(　　) (2)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。(　　) (3)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。(　　) (4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。(　　) (5)对于E＝Blv中的B、l、v，三者必须相互垂直。(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5) √ 　 提示 课前自主学习 9 2．想一想 (1)导体棒运动速度越大，产生的感应电动势一定越大吗？ 提示：导体棒切割磁感线时，若导体棒的运动方向与导体棒本身垂直，产生的感应电动势的大小与垂直磁感线方向的速度大小有关。速度大，垂直磁感线方向的速度不一定大，所以，导体棒运动速度越大，产生的感应电动势不一定越大。　 提示 课前自主学习 10 (2)如图所示，一边长为L的正方形导线框abcd垂直于磁感 线，以速度v在匀强磁场中向右运动。甲同学说：由法拉第电磁 感应定律可知，这时穿过线框的磁通量的变化率为零，所以线 框中感应电动势应该为零。 乙同学说：线框中ad和bc边均以速度v做切割磁感线运动，由E＝BLv可知，这两条边都应该产生电动势且Ead＝Ebc＝BLv。他们各执一词，到底谁说的对呢？ 提示：用法拉第电磁感应定律求出的是整个回路的感应电动势，为零，而用E＝BLv求出的是回路中做切割磁感线运动的那部分导体产生的电动势。事实上ad边和bc边在回路中产生的电动势方向相反，总和为零。　 提示 课前自主学习 11 课堂探究评价 探究1　法拉第电磁感应定律的理解与应用 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 13 活动1：穿过闭合导体回路的磁通量发生变化，回路中就有感应电流。从电路方面分析，回路中产生感应电流的原因是什么？ 活动2：在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势。回路电阻一定时，电磁感应的情况不同，感应电流的大小不同，这说明了什么？ 提示：回路中存在电动势。 　 提示 提示：电磁感应的情况不同，感应电动势的大小不同。 课堂探究评价 14 活动3：我们可以用图甲装置测量感应电动势的大小。线圈两端与电压表相连，将强磁体从长玻璃管上端由静止下落，穿过线圈。试用已学知识判断，磁体进入和穿出线圈的过程，线圈两端的电势差的正负是否相同？ 活动4：将图甲电压表替换成电压传感器，可在电脑屏幕上显示线圈两端电势差随时间变化的图像，如图乙。逐次增加线圈距离上管口的高度，可观察到电压传感器输出的峰值逐次增大。这说明感应电动势的大小与什么有关？ 提示：根据楞次定律可知，磁体进入和穿出线圈的过程，线圈中的感应电流方向相反，而线圈相当于电源，则线圈两端的电势差的正负相反。 　 提示 提示：逐次增加线圈距离上管口的高度，则磁体进入(穿出)线圈的速度逐次增大，穿过线圈的磁通量变化量不变，所用时间逐次变短，这说明磁通量变化量不变时，感应电动势的大小与磁通量变化一定量所需的时间有关。 　 课堂探究评价 15 活动5：逐次更换大小形状相同、磁性更强的磁体，使磁体均从管口由静止释放，可观察到电压传感器输出的峰值逐次增大。这说明感应电动势的大小与什么有关？ 活动6：逐次增加线圈匝数，保持线圈位置不变，可观察到电压传感器输出的峰值逐次增大。这说明感应电动势的大小与什么有关？ 提示：逐次更换大小形状相同、磁性更强的磁体，磁体进入(穿出)线圈所用时间不变，穿过线圈的磁通量变化量逐次增大，感应电动势的大小与一定时间内磁通量变化量的大小有关。 　 提示 提示：逐次增加线圈匝数，穿过线圈的磁通量变化量不变，磁体进入(穿出)线圈所用时间不变，这说明感应电动势的大小与线圈匝数有关。 课堂探究评价 16 课堂探究评价 17 课堂探究评价 18 课堂探究评价 19 答案 课堂探究评价 20 [实践探究]　(1)如何求某时刻的瞬时感应电动势？ (2)本题中导致穿过回路的磁通量变化的因素有哪些？ 提示：可以用包含该时刻在内的极短时间内的平均感应电动势表示。 　 提示 提示：回路面积和磁感应强度。 规范解答 课堂探究评价 21 课堂探究评价 课堂探究评价 [变式训练1－1]　(多选)10匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若穿过线圈的磁通量随时间变化的规律如图所示(正弦函数图像)，则0～t3时间内(　　) A．线圈中0时刻感应电动势最大 B．线圈中t3时刻感应电动势最大 C．线圈中0至t3时间内的平均感应电动势大小为0.4 V D．线圈中0至t3时间内的平均感应电动势大小为4 V 答案 课堂探究评价 24 解析 课堂探究评价 25 [变式训练1－2]　(多选)如图所示，匀强磁场中有a、b两个单匝闭合线圈，它们用同样的导线制成，线圈半径ra＝2rb。磁场方向与两线圈所在平面垂直，磁感应强度B随时间均匀增大。两线圈中产生的感应电动势分别为Ea和Eb，感应电流分别为Ia和Ib。不考虑两线圈间的相互影响。下列说法中正确的是(　　) A．感应电流均沿顺时针方向 B．Ea∶Eb＝4∶1 C．Ia∶Ib＝2∶1 D．Ia∶Ib＝1∶2 答案 课堂探究评价 26 解析 课堂探究评价 27 探究2　导线切割磁感线时的感应电动势 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 28 活动1：如图甲所示，金属导轨平面垂直于磁感应强度为B的 匀强磁场，导体棒ab垂直导轨放置，以平行于导轨的速度v匀速切 割磁感线，导轨间ab的长度为l，导体棒切割磁感线产生的感应电 动势可以简化为什么公式？ 提示 课堂探究评价 29 活动2：如图乙，导轨仍垂直于磁感线，但是导体棒的运动方向与棒本身有一个夹角α，这种情况感应电动势的简化公式又是什么？与活动1的结论对比，你能总结出什么？ 提示 课堂探究评价 30 活动3：如图丙，对于一般曲线形的导体，感应电动势的简化公式又是什么？ 提示：我们可以把曲线形的导体分为许多很短的导体，每一段近似为直导体，每一段很短的直导体切割磁感线，又可以等效为该段导体在垂直于速度v方向的投影长度的导体以相同的速度v垂直切割磁感线，将这些垂直于速度v方向的投影的长度求和，设为l有效，则E＝Bl有效v，其中l有效是导体两端点连线在垂直于运动方向的投影长度。　 提示 课堂探究评价 31 活动4：如果图甲金属导轨与磁场方向有一个夹角θ，其他条件不变，则感应电动势的简化公式是什么？ 提示：画出示意图如图所示，速度v可以分解为两个分量：垂直于磁感线的分量v1＝vsinθ和平行于磁感线的分量v2＝vcosθ。后者不切割磁感线，不产生感应电动势；前者切割磁感线，产生的感应电动势为E＝Blv1，考虑到v1＝vsinθ，因此E＝Blvsinθ。　 提示 课堂探究评价 32 活动5：图丁中导体棒CD在匀强磁场中运动。自由电荷会随着导体棒运动，并因此受到洛伦兹力。导体棒中自由电荷相对纸面的运动大致沿什么方向？为了方便，可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷。 活动6：图丁中导体棒一直运动下去，自由电荷是否总会沿着导体棒一直运动下去？为什么？导体棒的哪端电势比较高？ 提示：导体棒中自由电荷(正电荷)具有水平方向的速度，由左手定则可判断自由电荷受到沿棒向上的洛伦兹力作用，其相对纸面的运动是斜向右上方的。　 提示 提示：自由电荷不会沿导体棒一直运动下去。因为C、D两端聚集的电荷越来越多，在C、D间产生的电场越来越强，当静电力大小等于洛伦兹力沿棒方向的分力大小时，自由电荷不再沿棒定向运动。C端电势较高。　 课堂探究评价 33 1．导线切割磁感线产生的感应电动势 (1)垂直切割：E＝Blv。 (2)不垂直切割：E＝Blvsinθ，θ是v与B的夹角，l是切割磁感线的有效长度。 2．对公式E＝Blv的理解 (1)正交性：本公式是在一定条件下得出的，除了要求磁场是匀强磁场外，还要求B、l、v三者相互垂直。 (2)相对性：公式中的v应理解为导线和磁场间的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生。 课堂探究评价 34 (3)有效性：公式中的l应理解为导线切割磁感线时的有效长度，即导线两端点的连线在与v垂直的直线上的投影长度。(“有效长度”应用了等效思想) 例如，如图所示的三幅图中切割磁感线的导线是弯曲的，则切割磁感线的有效长度应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab的长。 (4)对应性：该公式一般用于导体各部分切割磁感线的速度相同的情况(导体平动切割)，当v为瞬时速度时，E为瞬时感应电动势；若v是平均速度，则E为平均感应电动势。如果导体各部分切割磁感线的速度不相等(例如导体转动切割磁感线，下面详细分析)，可取其平均速度求感应电动势。 课堂探究评价 35 课堂探究评价 36 4．导线切割磁感线时感应电动势的成因 (1)如图甲所示，导体棒向右做切割磁感线运动时，自由电荷(假设为正电荷)随棒运动，并因此受到洛伦兹力。 (2)自由电荷一方面随导体棒以速度v向右运动，另一方面因受到洛伦兹力而沿导体棒向上运动，其合运动大致沿右上方，根据左手定则，自由电荷所受洛伦兹力的方向垂直于其合运动方向指向左上方。洛伦兹力沿棒方向的分力驱动自由电荷沿棒方向定向移动。如图乙所示。 课堂探究评价 37 (3)自由电荷沿导体棒向上运动时，导体棒上端出现过剩的正电荷，下端出现过剩的负电荷，并在棒中出现由上端指向下端的静电场，使电荷受到向下的静电力。随着电荷的积累，场强增加，当作用在自由电荷上的静电力F与洛伦兹力沿导体棒方向的分力F′互相平衡时，自由电荷停止沿棒做定向移动，导体棒两端产生一个稳定的电势差，即为导体两端产生的感应电动势。这种由于导体运动而产生的感应电动势叫动生电动势。 (4)洛伦兹力的另一个分力F″宏观上表现为安培力，做负功。而F′做正功，洛伦兹力F洛整体上不做功。电源的非静电力是F洛沿棒方向的分力F′。导体棒克服安培力做功消耗的其他形式的能等于电源产生的电能。 课堂探究评价 38 例2　(多选)报废的近地卫星离轨时，从卫星中释放一根导电缆绳，缆绳的下端连接有空心导体，缆绳以轨道速度v在地磁场中运动，使得缆绳中产生感应电流。电荷向缆绳两端聚集，同时两端与电离层中的离子中和，使得电流持续。由于感应电流在地磁场中受到安培力的拖动，从而能加快废弃卫星离轨。如图所示，现有一颗报废的近地卫星在地球赤道上空自西向东运行，缆绳在竖直面内且偏离竖直方向θ＝30°，空心导体位于卫星的下方且与卫星间的距离是l＝5 km(远小于卫星的轨道半径)，它们所在区域地磁场的磁感应强度B＝5×10－5 T，磁场方向沿水平方向由南向北，卫星和空心导体的运行速度为v＝7.5 km/s。下列说法正确的是(　　) A．导电缆绳空心导体一端的电势高 B．导电缆绳中的感应电动势大小约为1875 V C．缆绳两端的电压小于1624 V D．卫星降轨的过程中，其机械能一定减小 答案 课堂探究评价 39 [实践探究]　(1)从电路的角度看，本题情景的电路结构是怎样的？ (2)导电缆绳中的感应电动势大小的计算式是什么？ 提示：缆绳和电离层构成闭合电路，缆绳相当于内电路，电离层相当于外电路。　 提示 提示：E＝Blvcosθ。 课堂探究评价 40 规范解答　根据右手定则可知，缆绳中的感应电流方向是从空心导体流向卫星，缆绳相当于电源，则缆绳靠近卫星一端的电势高，A错误；缆绳切割地磁场的磁感线，有效长度为lcosθ，则产生的感应电动势大小为E＝Blvcosθ＝1624 V，B错误；由于缆绳和电离层构成闭合电路，缆绳相当于内电路，故缆绳两端的电压小于感应电动势，即小于1624 V，C正确；根据左手定则可知，缆绳所受安培力垂直于缆绳斜向左上方，故安培力做负功，则由功能关系可知卫星的机械能减小，D正确。 规范解答 课堂探究评价 课堂探究评价 课堂探究评价 43 答案 课堂探究评价 44 解析 课堂探究评价 45 答案 课堂探究评价 46 解析 课堂探究评价 47 课后课时作业 1．(法拉第电磁感应定律的理解)关于感应电动势的大小，下列说法正确的是(　　) A．穿过闭合电路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大 B．穿过闭合电路的磁通量为零时，其感应电动势一定为零 C．穿过闭合电路的磁通量由不为零变为零时，其感应电动势一定为零 D．穿过闭合电路的磁通量由不为零变为零时，其感应电动势一定不为零 解析　感应电动势的大小与磁通量的大小不存在必然联系，A、B错误；当磁通量由不为零变为零时，穿过闭合电路的磁通量一定改变，一定有感应电流产生，有感应电流就一定有感应电动势，C错误，D正确。 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 2．(E＝Blv的应用)(多选)某地的地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下，大小为4.5×10－5 T。一灵敏电压表连接在当地入海河段的两岸，河宽100 m，该河段涨潮和落潮时有海水(视为导体)流过，设落潮时，海水自西向东流，流速为2 m/s。下列说法正确的是(　　) A．电压表记录的电压为5 mV B．电压表记录的电压为9 mV C．河南岸的电势较高 D．河北岸的电势较高 解析　海水在落潮时自西向东流，该过程可以理解为自西向东运动的导体在切割竖直向下的磁感线。根据右手定则可判断，北岸是正极，电势高，南岸电势低，所以C错误，D正确；根据法拉第电磁感应定律得E＝Blv＝4.5×10－5×100×2 V＝9×10－3 V＝9 mV，A错误，B正确。 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 6．(综合)如图，长为1 m的金属直棒以1 m/s的速度沿倾角为60°的绝缘斜面匀速下滑，斜面处在方向竖直向下、磁感应强度为0.1 T的匀强磁场中。则在金属棒匀速下滑的过程中(　　) A．棒内电子受洛伦兹力作用，棒受到安培力作用 B．棒内电子不受洛伦兹力作用，棒不受安培力作用 C．棒两端的电压为0.05 V D．棒两端的电压为0.1 V 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 7．(综合)如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3 m2、电阻R＝0.6 Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中 (1)感应电动势的平均值E； (2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向； (3)通过导线横截面的电荷量q。 答案　(1)0.12 V (2)0.2 A(电流方向见解析图) (3)0.1 C 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 [名师点拨]　本题中判断金属框中的电流时，既可以从整个金属框的角度分析(磁通量不变，所以无感应电流)，也可以从切割磁感线运动的角度分析(ac边和bc边切割磁感线，计算可知产生的感应电动势大小相等，在回路中方向相反，因此感应电动势之和为零，感应电流为零)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(ΔΦ,Δt) neq \f(ΔΦ,Δt) 1．法拉第电磁感应定律 (1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 (2)公式：E＝eq \f(ΔΦ,Δt)。 注意：n匝线圈可以看成n个单匝线圈串联而成，因此n匝线圈中的感应电动势：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)。 2．对公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)的理解 (1)感应电动势的大小与穿过电路的磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)成正比，而与Φ、ΔΦ的大小没有必然关系，与电路的电阻R也无关；感应电流的大小与E和回路总电阻R有关。 (2)用公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)所求的感应电动势为整个闭合电路的感应电动势，而不是回路中某部分导体两端的电势差。 (3)公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值，至于感应电流的方向，可以用楞次定律去判定。 (4)公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)中，若Δt取一段时间，则E为Δt这段时间内的平均值。此式多用于求电动势的平均值，只有当Δt趋近于零时，E才可视为瞬时值。 例1　如图所示，两根平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为l，左端连接电阻，轨道平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间增大，导体棒ab在导轨上向右运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，其长度恰好等于导轨间距。设t1时刻磁感应强度为B1，回路面积为S1，设t1＋Δt时刻磁感应强度为B2，回路面积为S2，Δt极短，趋近于0，则t1时刻的感应电动势大小为(　　) A．eq \f(B1S1,t1) B．eq \f(B1S1,Δt) C．eq \f(（B2－B1）·（S2－S1）,Δt) D．eq \f(B2S2－B1S1,Δt) 规范解答　Δt极短，则Δt内的平均感应电动势eq \o(E,\s\up6(－))可认为等于t1时刻的感应电动势E，根据法拉第电磁感应定律，t1～(t1＋Δt)内回路中的平均感应电动势大小eq \o(E,\s\up6(－))＝eq \f(ΔΦ,Δt)，其中磁通量变化量大小ΔΦ＝Φ2－Φ1，Φ1＝B1S1，Φ2＝B2S2，可解得E＝eq \f(B2S2－B1S1,Δt)，D正确。 磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)的比较 磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt) 物理意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中，穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢 当B、S互相垂直时的大小 Φ＝BS ΔΦ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Φ2－Φ1,B·ΔS（B不变）,S·ΔB（S不变）)) eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|Φ2－Φ1|,Δt),B·\f(ΔS,Δt)（B不变）,\f(ΔB,Δt)·S（S不变）)) 注意 若穿过的平面中有方向相反的磁场，则不能直接用Φ＝BS，Φ为抵消以后所剩余的磁通量 若开始和转过180°时平面都与磁场垂直，穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零 在Φ­t图像中，可用图线的斜率表示eq \f(ΔΦ,Δt) 解析　由法拉第电磁感应定律知，单匝线圈中感应电动势的大小与磁通量的大小Φ和磁通量的变化量ΔΦ均无必然联系，仅由磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)决定，而任意时刻的磁通量变化率eq \f(ΔΦ,Δt)就是Φ­t图像上该时刻对应点的切线的斜率，由题图可得0时刻对应的图像上的点的切线的斜率最大，t3时刻对应的图像上的点的切线的斜率最小，为零，由E＝neq \f(ΔΦ,Δt)可知，线圈中0时刻感应电动势最大，t3时刻感应电动势最小，为零，故A正确，B错误；由法拉第电磁感应定律知，线圈中0至t3时间内的平均感应电动势大小为eq \o(E,\s\up16(－))＝neq \f(Φ3－0,t3－0)＝10×eq \f(2×10－3－0,\f(0.01,2)－0) V＝4 V，C错误，D正确。 解析　磁场垂直于纸面向里，磁感应强度增大，穿过线圈的磁通量增加，由楞次定律可知，线圈中的感应电流均沿逆时针方向，A错误；由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势为E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝πr2eq \f(ΔB,Δt)，则感应电动势之比为eq \f(Ea,Eb)＝2,a)eq \f(r,req \o\al(2,b)) ＝eq \f(4,1)，故B正确；设导线的电阻率为ρ，横截面积为S，由电阻定律可知，线圈电阻为R＝ρeq \f(L,S)＝ρeq \f(2πr,S)，由闭合电路欧姆定律可知，感应电流为I＝eq \f(E,R)＝eq \f(rS,2ρ)·eq \f(ΔB,Δt)，则感应电流之比为eq \f(Ia,Ib)＝eq \f(ra,rb)＝eq \f(2,1)，故C正确，D错误。 提示：在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到虚线位置，如图所示，此过程中，闭合回路面积的变化量为ΔS＝lvΔt，穿过闭合电路的磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt，根据法拉第电磁感应定律E＝eq \f(ΔΦ,Δt)，得E＝Blv。　 提示：如图，经过时间Δt，导体棒运动到虚线位置，回路面积的变化量为ΔS＝lsinα·vΔt，根据E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(BΔS,Δt)，导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝Blvsinα。与活动1的E＝Blv对比可知，v与l不垂直时，导体棒垂直切割磁感线的有效长度为l在垂直v的方向上的投影lsinα。　 3．导体棒转动时垂直切割磁感线的问题分析 如图所示，长为l的导体棒ab绕b端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，ab棒所产生的感应电动势大小可用以下两种方法推出。 方法一：由于棒上各处速率不等，故不能直接用公式E＝Blv求解。由v＝ωr可知，棒上各点线速度大小跟半径成正比，故可用棒的中点的速度作为平均切割速度代入公式计算。因为eq \o(v,\s\up12(－))＝eq \f(ωl,2)，所以E＝Bleq \o(v,\s\up12(－))＝eq \f(1,2)Bl2ω。 方法二：设经过Δt时间ab棒扫过的扇形面积为ΔS，则ΔS＝eq \f(1,2)lωΔt·l＝eq \f(1,2)l2ωΔt，磁通量的变化量ΔΦ＝BΔS＝eq \f(1,2)Bl2ωΔt，则E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝Beq \f(ΔS,Δt)＝eq \f(1,2)Bl2ω。 公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)与E＝Blvsinθ的对比 E＝neq \f(ΔΦ,Δt) E＝Blvsinθ 区别 研究对象 整个闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导线 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于导线切割磁感线运动的情况 计算结果 Δt内的平均感应电动势 某一时刻的瞬时感应电动势 联系 E＝Blvsinθ是由E＝neq \f(ΔΦ,Δt)在一定条件下推导出来的，该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论 [变式训练2－1]　(多选)小明坐在公交车上去上学，突然间小明不由自主地向前倾去，原来是遇到了红灯。小明想，刹车过程中，汽车动能因摩擦转化为内能而无法再回收利用，何不在车厢底部靠近车轮处固定永久磁体，在刹车时接通装在车轮上的线圈，这样就可以利用电磁感应原理，将汽车的一部分动能转化为电能，从而回收一部分能量？ 如图所示为小明的设计，扇形区域匀强磁场的磁感应强度为B，五个形状与磁场边界形状完全相同的线圈对称地固定在车轮内侧，已知车轴到线圈内侧的距离为r1，到线圈外侧的距离为r2，车轮的半径为R，设某次刹车过程中的某时刻车速为v，则此时(　　) A．车轮转动的角速度为eq \f(v,R) B．某个线圈进入或者穿出磁场时产生的电动势大小为eq \f(1,2)B(r2－r1)v C．某个线圈进入或者穿出磁场时产生的电动势大小为2,2)eq \f(B（r－req \o\al(2,1)）v,2R) D．线圈中的感应电流所受的安培力与线圈转动方向相反，阻碍线圈转动，进而也起到辅助刹车的作用 解析　车速即车轮边缘与地面接触点的速度，则车轮的角速度为ω＝eq \f(v,R)，故A正确；线圈内缘速度大小为v1＝r1ω，线圈外缘速度大小为v2＝r2ω，则某个线圈进入或者穿出磁场时，产生的电动势为E＝Bleq \o(v,\s\up6(－))＝B(r2－r1)·eq \f(v1＋v2,2)，即E＝2,2)eq \f(B（r－req \o\al(2,1)）v,2R) ，故B错误，C正确；由楞次定律的推论“来拒去留”可知，线圈中的感应电流所受的安培力与线圈转动方向相反，阻碍线圈转动，进而也起到辅助刹车的作用，故D正确。 [变式训练2－2]　(多选)如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。则(　　) A．MN刚扫过金属杆时，杆中感应电动势大小为Bdv0 B．MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流大小为eq \f(Bdv0,R) C．PQ刚要扫到金属杆时，杆中感应电动势大小为Bdv D．PQ刚要扫到金属杆时，杆中感应电流大小为eq \f(Bd（v0－v）,R) 解析　MN刚扫过金属杆时，相当于金属杆以速率v0向左切割磁感线，金属杆中的感应电动势大小E＝Bdv0，回路的感应电流大小I＝eq \f(E,R)＝eq \f(Bdv0,R)，A、B正确。PQ刚要扫到金属杆时，金属杆切割磁感线的相对速度大小v′＝v0－v，感应电动势大小E′＝Bdv′＝Bd(v0－v)，感应电流大小I′＝eq \f(E′,R)＝eq \f(Bd（v0－v）,R)，C错误，D正确。 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(E＝n\f(ΔΦ,Δt)的应用))近场通信(NFC)器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC线圈共3匝，其边长分别为1.0 cm、1.2 cm和1.4 cm，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为103 T/s，则线圈产生的感应电动势最接近(　　) A．0.30 V B．0.44 V C．0.59 V D．4.3 V 解析　根据法拉第电磁感应定律可知，3匝线圈产生的感应电动势大小分别为E1＝eq \f(ΔΦ1,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S1＝103×1.02×10－4 V＝0.1 V，E2＝eq \f(ΔΦ2,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S2＝103×1.22×10－4 V＝0.144 V，E3＝eq \f(ΔΦ3,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S3＝103×1.42×10－4 V＝0.196 V，根据楞次定律可知，3匝线圈产生的感应电动势方向相同，则总电动势E＝E1＋E2＋E3＝0.44 V，故选B。 4.(E＝Blv的应用)如图所示，声波使动圈式话筒的膜片振动时，半径为r、匝数为n的线圈垂直切割辐射状的磁感线。线圈振动区域磁场的磁感应强度大小恒为B，线圈回路的总电阻为R，线圈切割磁感线的速度大小为v时，通过线圈的感应电流为(　　) A．0 B.eq \f(2nBrv,R) C.eq \f(πnBrv,R) D.eq \f(2πnBrv,R) 解析　每匝线圈切割磁感线的有效长度L＝2πr，线圈中产生的感应电动势E＝nBLv，通过线圈的感应电流I＝eq \f(E,R)，解得I＝eq \f(2πnBrv,R)，故选D。 5.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(E＝n\f(ΔΦ,Δt)和E＝Blv的区别))(多选)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向里。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是(　　) A．感应电流方向不变 B．CD段直导线始终不受安培力 C．感应电动势最大值E＝Bav D．感应电动势平均值eq \o(E,\s\up16(－))＝eq \f(1,4)πBav 解析　在闭合回路进入磁场的过程中，通过闭合回路的磁通量不断增大，根据楞次定律及安培定则可知感应电流的方向始终为逆时针方向，A正确。根据左手定则可以判断，CD段直导线所受安培力向下，B错误。当半圆形闭合回路的一半进入磁场时，切割磁感线的有效长度最大，为a，这时感应电动势最大，为E＝Bav，C正确。感应电动势平均值eq \o(E,\s\up16(－))＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(B·\f(1,2)πa2,\f(2a,v))＝eq \f(1,4)πBav，D正确。 解析　在金属棒匀速下滑的过程中，棒内电子在磁场中运动，速度方向与磁场不平行，电子要受洛伦兹力作用；由于棒中没有电流，所以棒不受安培力作用，故A、B错误。棒产生的感应电动势E＝Blvcos60°＝0.1×1×1×eq \f(1,2) V＝0.05 V，由于棒中无电流，则棒两端的电压等于棒产生的感应电动势，即棒两端的电压为0.05 V，故C正确，D错误。 解析　(1)感应电动势的平均值E＝eq \f(ΔΦ,Δt) 磁通量的变化量ΔΦ＝BΔS 解得E＝eq \f(BΔS,Δt) 代入数据得E＝0.12 V。 (2)平均感应电流I＝eq \f(E,R) 代入数据得I＝0.2 A(电流方向如图)。 (3)通过导线横截面的电荷量q＝IΔt 代入数据得q＝0.1 C。 8.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(E＝n\f(ΔΦ,Δt)的应用))如图所示，竖直放置的螺线管与导线abcd构成回路，导线所围区域内有一垂直纸面向里的变化的匀强磁场，螺线管下方水平桌面上有一导体圆环。导线abcd所围区域内磁场的磁感应强度按下列选项中哪一图线所表示的方式随时间变化时，导体圆环将受到向上的磁场力(　　) 解析　导体圆环受到向上的磁场力，根据楞次定律可知，原磁场通过导体圆环的磁通量在减小，即螺线管和abcd构成的回路中产生的感应电流在减小。根据法拉第电磁感应定律，E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S，则感应电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(ΔBS,ΔtR)，可知eq \f(ΔB,Δt)减小，即B­t图像上各点切线的斜率的绝对值随时间减小，A正确，B、C、D错误。 9.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(E＝\f(1,2)Bl2ω的应用))如图，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时(俯视)，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是(　　) A．φa>φc，金属框中无电流 B．φb>φc，金属框中电流方向沿a→b→c→a C．Ubc＝－eq \f(1,2)Bl2ω，金属框中无电流 D．Uac＝eq \f(1,2)Bl2ω，金属框中电流方向沿a→c→b→a 解析　穿过金属框的磁通量始终为零，故金属框中无电流。在三角形金属框内，有两边切割磁感线，其一为bc边，根据E＝Bleq \o(v,\s\up6(－))可得，电动势大小为eq \f(1,2)Bl2ω；其二为ac边，ac边有效的切割长度为l，根据E＝Bleq \o(v,\s\up6(－))可得，电动势大小也为eq \f(1,2)Bl2ω。由右手定则可知：φc>φb＝φa，A、B错误。Ubc＝Uac＝φb－φc＝－eq \f(1,2)Bl2ω，C正确，D错误。 $$