1.4 第1课时 利用磁场控制带电粒子运动——带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册创新导学案教用Word（教科版2019）

物理 选择性必修 第二册(教科) 4．洛伦兹力的应用 第1课时　利用磁场控制带电粒子运动—— 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．了解带电粒子在匀强磁场中的偏转。2.会分析、计算利用磁场控制带电粒子运动的问题。3.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题。 1．带电粒子在匀强磁场中的偏转 设在真空条件下，匀强磁场限定在一个圆形区域内，该圆形的半径为r，磁感应强度大小为B，方向如图所示，一个质量为m、电荷为q、速度大小为v0的带正电粒子，沿磁场区域的直径方向从P点射入磁场。设粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，由图中几何关系可以看出tan＝，式中匀速圆周运动的半径R＝，所以tan＝。 2．利用磁场控制带电粒子运动 对于一定的带电粒子(m，q一定)，可以通过调节B和v0的大小来控制粒子的偏转角度θ。 3．利用磁场控制粒子的运动方向的特点：只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速度大小。 4．应用实例：早期电视机使用的显像管。 判一判 (1)只要带电粒子射入磁场的速度一定，则其在磁场中的偏转角就一定。(　　) (2)磁场控制带电粒子运动时，不仅改变带电粒子的大小，还会改变带电粒子的方向。(　　) (3)某带电粒子沿直径方向射入圆形匀强磁场，仅增大磁感应强度B，偏转角增大。(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)√ 探究　利用磁场控制带电粒子运动 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：在真空条件下，匀强磁场限定在一个圆形区域内，该圆形的半径为r，磁感应强度大小为B，方向如图所示。一个质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子，沿磁场区域的直径方向从P点射入磁场，从Q点射出。粒子在磁场中的轨迹是什么形状？ 提示：一段圆弧。 活动2：粒子从Q点射出的速度是多大？在P、Q点的轨迹半径是多大？ 提示：v0；均为R＝。 活动3：粒子经过P点时所受洛伦兹力F洛沿什么方向？ 提示：垂直于PO向下。 活动4：根据以上分析，在图中画出粒子的轨迹圆心O′。 提示：洛伦兹力提供向心力，所以轨迹圆心O′在垂直PO的直线上且在P下侧；由活动2知，粒子经过P、Q的轨迹半径均为R，综上，可画轨迹圆心O′如图1。 活动5：试根据画出的轨迹圆心，指出粒子经过Q点时的速度方向。(提示：可以作辅助线OO′、OQ分析) 提示：分别连接O、O′和O、Q，如图2，由于PO＝OQ＝r，PO′＝QO′＝R，则△O′PO≌△O′QO，所以O′Q⊥OQ。根据洛伦兹力F洛始终指向轨迹圆心O′，与速度v0垂直，可知粒子经过Q点的速度沿OQ方向，如图2。 活动6：试确定粒子在磁场中从P到Q速度方向偏转的角度θ。 提示：OQ与PO延长线的夹角即θ，如图3所示。根据几何知识，∠POQ＋θ＝180°，∠POQ＋∠PO′Q＝180°，则∠PO′Q＝θ，∠PO′O＝。由图可知，tan＝，其中R＝，则可得tan＝。 1．粒子在圆形磁场中的偏转角度θ的公式 tan＝ 2．粒子在有界匀强磁场中运动问题的解题关键 (1)轨迹圆心的确定 ①圆心一定在垂直于速度的直线上 已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 ②圆心一定在弦的中垂线上 已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)轨道半径的确定 ①方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨道半径R＝； ②方法二(由几何关系求)：以甲、乙、丙三图为例，一般由数学知识通过计算来确定，解直角三角形是最常用的方法。 (3)要正确地识别或作出图像必须注意“4点、6线、3角” 4点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。 6线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线。 3角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图丙所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。 3．粒子在有界匀强磁场中运动时间的确定 方法一(由圆心角求)：t＝·T； 方法二(由弧长求)：t＝。 例　如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. (1)要求粒子在磁场中的运动时间，首先要求什么？ 提示：首先要画出粒子的轨迹，求出粒子在两个象限中轨迹的圆心角。 (2)题中隐含了什么条件？ 提示：粒子穿过y轴时速度的大小和方向不变。 [规范解答]　带电粒子在不同磁场中做圆周运动，其速度大小不变，由R＝知，第一象限内的轨迹圆半径是第二象限内的轨迹圆半径的2倍，如图所示，由几何知识可知，粒子在第二象限内轨迹所对圆心角为90°，在第一象限内轨迹所对圆心角为60°。粒子在第二象限内运动的时间t1＝＝＝，粒子在第一象限内运动的时间t2＝＝＝，则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝，B正确。 [答案]　B 　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的解题三步法 [变式训练]　如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根据题意作出粒子的轨迹圆如图所示。设圆形磁场区域的半径为R，粒子速度大小为v1、v2时在磁场中的轨道半径分别为r1、r2，则根据几何关系有r1＝R，r2＝R。根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，所以＝＝，故B正确。 [名师点拨]　带电粒子在圆形边界匀强磁场区域运动的特点 (1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)，如图甲所示。 (2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示。 1.(利用磁场控制带电粒子运动)(多选)如图所示，不加磁场时，从示波管电子枪末端O点发出的电子束将打在荧光屏的中心O′点，若在示波管中加垂直纸面的匀强磁场，电子束将打在O′上方的A点。下列说法正确的是(　　) A．磁场垂直纸面向里 B．逐渐减小磁感应强度，荧光屏上的亮斑从A点向下移动 C．电子到达荧光屏的速度大小等于在O点的速度大小 D．电子在匀强磁场中运动时加速度不变 答案　BC 解析　由电子束打在O′上方的A点可知电子束受到的洛伦兹力方向向上，根据左手定则判断，磁场的方向垂直纸面向外，A错误；逐渐减小磁感应强度，电子束在磁场中受到的向上的洛伦兹力F＝qvB逐渐减小，则电子束的偏转程度逐渐减小，荧光屏上的亮斑从A点向下移动，B正确；洛伦兹力始终垂直于速度方向，不做功，则电子到达荧光屏的速度大小等于在O点的速度大小，C正确；由F＝qvB可知，电子束在匀强磁场中运动时洛伦兹力大小不变，但洛伦兹力始终垂直于速度方向，而速度方向不断变化，则洛伦兹力方向不断变化，所以电子在磁场中的加速度大小不变，方向变化，D错误。 2．(带电粒子在磁场中的偏转)(多选)云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示带电粒子径迹的装置。云室中加了垂直于纸面向里的磁场，在一张云室中拍摄的照片中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。关于a、b、c三条径迹判断正确的是(　　) A．a、b、c都是负电子的径迹 B．c径迹对应的粒子轨迹半径最大 C．a径迹对应的粒子动量最大 D．c径迹对应的粒子运动时间最长 答案　AB 解析　带电粒子在垂直于纸面向里的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是负电子的径迹，故A正确；由图可知ra<rb<rc，B正确；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，a、b、c三个粒子都是负电子，q和m相同，都在同一磁场中运动，B相同，根据动量p＝mv＝qBr，可知pa<pb<pc，故C错误；带电粒子在磁场中运动的周期T＝＝，所以Ta＝Tb＝Tc，粒子在磁场中运动的时间t＝T，其中α为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，故D错误。 3.(带电粒子在磁场中的偏转)(多选)如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，关于它们在磁场中运动过程，下列结论正确的是(　　) A．轨迹半径之比为1∶2 B．速度大小之比为2∶1 C．时间之比为3∶2 D．周期之比为2∶1 答案　AC 解析　设粒子的入射点到磁场下边界的宽度为d，粒子运动轨迹如图所示，粒子1、2的轨迹圆心分别为O1、O2。由几何关系可知，粒子1的轨迹半径r1＝d，粒子2的轨迹半径r2满足r2sin30°＋d＝r2，解得r2＝2d，所以两粒子在磁场中运动的轨迹半径之比r1∶r2＝1∶2，故A正确；由r＝可知v与r成正比，所以速度大小之比也为1∶2，故B错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，与粒子的速度大小无关，所以粒子运动周期之比为1∶1，故D错误；由于粒子1、2的偏转角分别为90°、60°，所以粒子1运动的时间为，粒子2运动的时间为，所以两粒子运动时间之比t1∶t2＝3∶2，故C正确。 4.(直线边界)(多选)空间虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出，如图所示。已知电子入射方向与边界夹角为θ，则由以上条件可判断(　　) A．该匀强磁场的方向是垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹相同 C．速率大于v0的电子在磁场中运动的时间较长 D．所有电子的速度方向都改变了2θ 答案　AD 解析　由图知，电子在P点受到的洛伦兹力方向为P→O，根据左手定则判断得知，该匀强磁场的方向是垂直纸面向里，故A正确。电子进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由轨道半径公式R＝知，轨道半径与电子的速率成正比，速率不同，轨道半径不同，则轨迹不同，故B错误。根据圆的对称性可知，所有电子离开磁场时速度方向与PQ线的夹角都是θ，则所有电子的速度方向都改变了2θ，由几何知识得知，所有电子轨迹对应的圆心角都是2θ，由周期公式T＝可知所有电子的周期相同，则所有电子在磁场中运动的时间都相同，故C错误，D正确。 [名师点拨]　粒子进出磁场的边界为同一直线时，出射速度与边界的夹角等于入射速度与边界的夹角。 5.(圆形边界)(多选)如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a(0，2L)。一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法正确的是(　　) A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为 C．磁场区域的圆心坐标为 D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L) 答案　AD 解析　由题意画出电子的轨迹如图，其中O′为电子在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知电子的偏转角为60°＝，电子做圆周运动的半径为r＝4L，故电子在磁场中运动的时间为t＝＝，A正确，B错误；由几何关系知O′的坐标为(0，－2L)，根据几何关系可知，磁场区域的圆心在a、b连线的中点处，故其坐标为(L，L)，所以C错误，D正确。 6.(平行直线边界)如图所示，一束电子(电荷量为e)以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与电子原来的入射方向成30°角，求电子的质量是多少？电子穿过磁场所用的时间是多少？ 答案　　 解析　设电子的质量为m，穿过磁场所用的时间为t，电子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示。 由几何关系可知，弧所对的圆心角θ＝30°，设其轨迹半径为r，则 r＝ 又由洛伦兹力提供向心力有 evB＝m 联立解得m＝ 电子在磁场中做圆周运动的周期T＝ 则电子穿过磁场所用的时间t＝·T 联立解得t＝。 7．(矩形边界)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案　B 解析　若电子从a点射出，运动轨迹如图中①，有qvaB＝m，Ra＝，解得va＝；若电子从d点射出，运动轨迹如图中②，有qvdB＝m，R＝＋l2，解得vd＝。B正确。 8.(圆形边界)如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过t时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原速度方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间是多少？ 答案　2t 解析　画出粒子以速度v从A点射入磁场时的轨迹如图所示，由几何关系可得磁场中的轨迹弧所对圆心角∠AO′C＝θ＝60° 设圆形磁场区域的半径为r，磁感应强度大小为B，粒子的轨迹半径为R1，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 由几何关系，有tan＝ 解得R1＝r 当粒子速度变为v′＝时，设粒子的轨迹半径为R2，粒子偏转圆心角为θ′，同理，有qv′B＝m tan＝ 解得R2＝r，θ′＝120° 由T＝可知，周期T＝ 两种情况下周期相等，速度为v时，粒子在磁场中的运动时间t＝·T 速度为时，粒子在磁场中的运动时间t′＝·T 解得t′＝2t。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$