6.3.2 角的比较与运算　课件　2024—2025学年人教版数学七年级上册

第六章几何图形初步 6.3 角 6.3.2角的比较与运算 学习目标 1.会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、 分的意义. 【重点】 2.掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的 定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平 分线. 【重点】 3.经历比较角的大小、用量角器画角平分线、 用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验， 培养动手操作能力. 【难点】 有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下 面是他们的一段对话： 张：我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些. 王：我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些. 匹 怎样比较 ∠ABC和 ∠DEF的 大小? A B C D 新课导入 同学们，你 们有办法帮 他们进行判 断吗? F E 线段长短的比较 A B 新知探究 知 识点 ①角的比较 C B AB<CD AB>CD AB=CD 温故知新 线段中点 若点C 是线段AB 的 A C B 中点，则 AC=BC AB=2AC=2 BC 新知探究 线段的和、差 AB=BC+AC BC=AB-AC AC=AB-BC 新知探究 探究1:类比线段长短的比较，你认为该如何比较两 个角的大小? 40° 1.度量法 因为55°>40°,所以∠1>∠2. 新知探究 2.叠合法 想一想： 你能用图形和几何语言 说明两个角的大小关系吗(两个角 分别记作∠AOB,∠A'O'B')? B(B') 0(O') A(A') 0(O') A(A')0(O') A(A') ∠AOB<∠A'O'B' ∠AOB=∠A'O'B' ∠AOB>∠A'O'B' 新知探究 知识点 ② 角的和差运算 探究2:如图，图中共有几个角?它们之间有什么关系? 图中有3个角：∠AOC,∠AOB,∠BOC. 它们之间的关系： ∠AOC是 ∠AOB与 ∠BOC的和， 记作∠AOC=∠AOB+∠BOC; ∠AOB是 ∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB=∠AOC-∠BOC; 类似地，∠AOC 一 ∠AOB=∠BOC . 总结：共顶点，可加减 新知探究 典型例题 例1如图，O 是直线AB 上一点，∠AOC=53°17', 求∠BOC 的度数. 分析：AB 是直线，∠AOB 是平角， ∠BOC 与∠AOC 的和是∠AOB. 解：由题意可知∠AOB 是平角， A 0 B ∠AOB=∠AOC+∠BOC, 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC =180°-53°17' =179°60'-53°17' =126°43'. 可以向180°借 1°,化为60'. 新知探究 方法总结：进行角度的加、减运算时，要将度 与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒 相加时逢60要进位；相减时，如果不够减要借 1作60. 匹 新知探究 针对训练 1.如图所示： (1)∠AOC 是哪两个角的和? ∠AOC=∠AOB+∠BOC. (2)∠AOB 是哪两个角的差? 0 ∠AOB=∠AOC-∠BOC=∠AOD 一∠BOD. (3)如果∠AOB=∠COD, 则 ∠AOC与∠BOD 的大小关系如何? ∠AOC=∠BOD. 新知探究 2 . 填空： (1)如图①,若∠AOC=35°,∠BOC=40°, 则 ∠AOB=75°. 图① 图② (2)如图②,若∠AOB=60°,∠BOC=40°, 则 ∠AOC=20°. 乙 o (3)若∠AOB=60°,∠AOC=30°, =90或30° . 提示：无图条件下要分情况讨论. 新知探究 则∠BOC 新知探究 探究3:如图，借助三角尺画出15°,75°的角. 用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角?试一试. 还能画出105°、120°、150°、 180° 的角. 15° 新知探究 归纳总结 1.用三角尺画特殊角，关键在于把它写成30°, 45°,60°,90° 角的和或差. 2.凡是15的整数倍的角，都能用三角尺画出，而 能用三角尺画出的，也只限于这样的角. 例2 把一个周角7等分，每份是多少度的角 (精确到分)? 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除 时要把剩余的度数化成分. 解：360°÷7=51°+3°÷7 =51°+180'÷7 ≈51°26'. 答：每份是约51°26'的角. 典型例题 新知探究 新知探究 针对训练 1 . 计 算 ： (1)120°-38°41'; 解：原式=119°60'-38°41' =81°19'. (2)67°31'+48°49'; 解：原式=(67+48)°+(31+49)' =115°97' =116°37'. 新知探究 (3)20°30'×8; 解：原式=20°×8+30'×8 =160°240' =164° (4)106°6'÷5. 解：原式=(106÷5)°+(6÷5)' =21°+1°÷5+(6÷5)' =21°+(66÷5)' =21°+13'+1'÷5 =21°+13'+60"÷5 =21°13'12" 新知探究 2.如图，已知点0为直线AB 上一点， ∠DOC=18°44',∠AOD=102°46', 求∠BOC 的大小. 解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB=∠AOD+∠BOD. 所以∠BOD=∠AOB-∠AOD =180°-102°46'=77°14', ∠BOC=∠BOD+∠DOC B =77°14'+18°44'=95°58'. 新知探究 知 识 点③角的平分线及等分线 探究4:动手做一做：在纸上画∠AOB, 然后将其 剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重 合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段 中点的定义，填空： ∠AOC = ∠COB; ∠AOB= 2∠AOC. 新知探究 定义：一般地，从一个角的 顶点出发，把这个角分成两 个相等的角的射线，叫作这 个角的平分线. 几何语言： ∵OC 是∠AOB的平分线， ∠AOB=2∠BOC=2∠AOC. 乙 ∵射线OB 、OC是 ∠AOD的三等分线， ∴∠AOD=3∠AOB=3∠BOC=3∠COD, 类 比 ：仿照角平分线的结论，你能写出 角的三等分线的结论吗? 新知探究 例3 如图，已知∠AOB=40°, 自0点引射线OC, 若∠AOC:∠COB=2:3. 求OC与∠AOB的平 分线所成的角的度数. 解：分以下两种情况： ①如 图 ，OC 在∠AOB 内 部 ，OD 平 分∠AOB, 设∠AOC=2x,∠COB=3x, ∵∠AOB=40°,∴2x+3x=40°, 解得x=8°, ∴∠AOC=2x=2×8°=16° . ∵OD平分∠AOB,∴∠AOD=20°, ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°= 4° ; 新知探究 典型例题 新知探究 ②如 图 ，OC 在∠AOB 外 部 ，OD 平分∠AOB, 设∠AOC=2x,∠COB=3x, ∵∠AOB=40°, ∴3x-2x=40°,解 得x=40°, ∴∠AOC=2x=2×40°=80°, ∵OD平分∠AOB,∴∠AOD=20°, ∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100° ∴OC 与∠AOB 的平分线所成的角的度数为 4°或100°. 新知探究 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和 差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类 讨论思想解决问题. 角的和差倍分关系 角的运算 加与减 角的计算 · 乘与除 度量法 叠合法 课堂小结 角的比较 课堂训练 1.如图，∠AOB=∠COD=90,∠AOD=146°, 则 ∠BOC=34°. 2.已知∠AOB=38°,∠BOC=25°, 那么∠AOC 的度数是13°或63°. 3.如图，∠AOB=170°,∠AOC=∠BOD=90°, 求∠COD的度数. 解：由题意，得 ∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°. 所以∠COD=180°-∠AOB=10°. 课堂训练 匹 B 课堂训练 4 .计算： (1)12°36'+45°24'; (2)79°45'+61°48'49"; (3)62°24'17"×4; (4)102°43'÷3. 解：(1)58°;(2)141°33'49";(3)249°37'8"; (4)34°14'20". 课堂训练 5.如图，已知∠AOC=60°,∠BOD=90°, ∠AOB 是∠DOC 的3倍，求∠AOB 的度数. 解：设∠DOC=x, ∵∠AOC=60°,∠BOD=90°, ∴∠AOD=∠AOC-∠DOC=60°-x. ∴∠AOB=∠BOD+∠AOD= 90°+60°-x=150°-x. ∵∠AOB 是∠DOC 的3倍， ∴∠AOB=3∠DOC, 即150°-x=3x.解得x=37.5° . ∴ ∠AOB=3×37.5°=112.5° . 同学们，通过这节课的学习， 你有什么收获呢? 爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。 $$