圆锥曲线的综合问题导学案-2025届高三中职数学一轮复习

圆锥曲线的综合问题 【学习目标】 初步掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法和求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养。 【知识梳理】 知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 确定直线与曲线位置关系的方法是： Ax2＋Bx＋C＝0或Ay2＋By＋C＝0， 当A≠0时，判别式 [注]　直线与双曲线或抛物线方程联立时，若A＝0，说明此直线平行于双曲线的渐近线或平行于抛物线的对称轴． 知识点二　求解直线与圆锥曲线有关问题的方法 1．圆锥曲线上的点到直线的最近距离和最远距离与直线平行且与圆锥曲线相切的直线，两直线间的距离即为圆锥曲线上的点到直线的最近距离和最远距离． 2．直线与圆锥曲线相交于两点，斜率为k的直线l交圆锥曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为_______________________________． 3．直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若OA⊥OB，则_________________，利用此式灵活解决问题． 4．直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若点P(a，b)是线段AB的中点，则x1＋x2＝2a，y1＋y2＝2b，直线AB的斜率k＝(x1≠x2)，可利用中点公式灵活解决问题． [注]　在处理直线与圆锥曲线的问题时，常借助于联立方程组，消元化为一元二次方程来求解．注意判别式Δ和曲线方程本身的特征，寻求合理的求解方案，以及简化运算的基本途径与方法． 考点一　直线与圆锥曲线的交点问题 [典例1]　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ [变式训练] 1．直线y＝3x＋1与双曲线x2－＝1的公共点个数为(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点二　直线与圆锥曲线的弦长、最值、中点弦等问题 [典例2]　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，求椭圆上的点到直线l的最短距离． [变式训练] 2．求抛物线y＝x2上到直线y＝2x－4的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 考点三　圆锥曲线间的交汇问题 [典例3]　已知抛物线y2＝4x与椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点， 试求：(1)m的值；(2)P、Q两点的坐标；(3)△PF1F2的面积． [变式训练] 3．已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F1PF2的值． [当堂检测] 1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 2．已知A，B为椭圆＋＝1上两点，O为坐标原点，M(异于点O)为弦AB中点，若AB两点连线斜率为2，则OM两点连线斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 3．设P，Q分别为圆C：x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　) A．5 B．＋2 C．7＋ D．6 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆的离心率为，如图所示． (1)求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长． 【课堂小结】 你本节课的收获 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线的综合问题 【学习目标】 初步掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法和求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养。 【知识梳理】 知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 确定直线与曲线位置关系的方法是： Ax2＋Bx＋C＝0或Ay2＋By＋C＝0， 当A≠0时，判别式 [注]　直线与双曲线或抛物线方程联立时，若A＝0，说明此直线平行于双曲线的渐近线或平行于抛物线的对称轴． 知识点二　求解直线与圆锥曲线有关问题的方法 1．圆锥曲线上的点到直线的最近距离和最远距离与直线平行且与圆锥曲线相切的直线，两直线间的距离即为圆锥曲线上的点到直线的最近距离和最远距离． 2．直线与圆锥曲线相交于两点，斜率为k的直线l交圆锥曲线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为． 3．直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，利用此式灵活解决问题． 4．直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若点P(a，b)是线段AB的中点，则x1＋x2＝2a，y1＋y2＝2b，直线AB的斜率k＝(x1≠x2)，可利用中点公式灵活解决问题． [注]　在处理直线与圆锥曲线的问题时，常借助于联立方程组，消元化为一元二次方程来求解．注意判别式Δ和曲线方程本身的特征，寻求合理的求解方案，以及简化运算的基本途径与方法． 考点一　直线与圆锥曲线的交点问题 [典例1]　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ [变式训练] 1．直线y＝3x＋1与双曲线x2－＝1的公共点个数为( A ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点二　直线与圆锥曲线的弦长、最值、中点弦等问题 [典例2]　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，求椭圆上的点到直线l的最短距离． [变式训练] 2．求抛物线y＝x2上到直线y＝2x－4的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 考点三　圆锥曲线间的交汇问题 [典例3]　已知抛物线y2＝4x与椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点， 试求：(1)m的值；(2)P、Q两点的坐标；(3)△PF1F2的面积． [变式训练] 3．已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F1PF2的值． [当堂检测] 1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( D ) A．2 B．3 C．4 D．8 2．已知A，B为椭圆＋＝1上两点，O为坐标原点，M(异于点O)为弦AB中点，若AB两点连线斜率为2，则OM两点连线斜率为( A ) A．－ B．－ C．－ D．－ 3．设P，Q分别为圆C：x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　D　) A．5 B．＋2 C．7＋ D．6 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆的离心率为，如图所示． (1)求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长． 【课堂小结】 本节课的收获 求解圆锥曲线交汇问题的一般思路 (1)根据题意画出草图，明确两曲线在同一个直角坐标系中的位置关系． (2)找出两曲线某一个(或n个)共同特征，由此可求曲线方程．一般涉及a，b，c，e，p及共焦点、渐近线等几何量，用方程思想求解． (3)运用所给其他条件，求解弦长、直线方程、向量点积、某三角形面积等问题． 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 当Δ＝72k2－48>0，即k>或k＜－时， 直线和曲线有两个公共点； 当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时， 直线和曲线有一个公共点； 当Δ＝72k2－48<0，即－<k＜时， 直线和曲线没有公共点． [解析]　由得：3x2＋3x＋2＝0， 所以Δ＝9－24＝－15<0，所以直线与双曲线没有交点． 故选A. [解]　方法一　设与直线4x－5y＋40＝0平行且与 椭圆相切的直线为4x－5y＋k＝0. 联立方程得 消去y得25x2＋8kx＋k2－225＝0， 当Δ＝0时，得：64k2－100(k2－225)＝0， 解得：k1＝25，k2＝－25. 当k＝25时，直线与椭圆的交点到直线l的距离最近， 此时直线的方程为4x－5y＋25＝0. 两平行线4x－5y＋25＝0与4x－5y＋40＝0的距离， 即为椭圆上的点到直线l的最短距离， d＝＝ . 方法二　设点P(5cos α，3sin α)为椭圆上的任意一点， 则点P到直线l：4x－5y＋40＝0的距离 d＝＝ ＝， 所以dmin＝＝ . [解]　方法一　设与直线y＝2x－4平行且与抛物线y＝x2相切的 直线方程为y＝2x＋b.联立方程组 消去y得x2－2x－b＝0， 由题意得Δ＝0，即4＋4b＝0，解得b＝－1， 此时切点(1，1)，切线方程为y＝2x－1. 由两平行线间的距离公式得d＝＝， ∴抛物线y＝x2的点(1，1)到直线y＝2x－4的距离最小为. 方法二　设抛物线上的点P(x0，y0)即(x0，x)到直线 y＝2x－4的距离最小， 则点P到直线y＝2x－4的距离 d＝＝， ∴当x0＝1，d最小＝，当x0＝1时，y0＝x＝1， 即点P的坐标为(1，1). [解]　(1)∵抛物线焦点是F2(1，0)， ∴椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，a＝3，b2＝m， 由a2＝b2＋c2得9＝m＋1，∴m＝8. (2)椭圆的方程为：＋＝1， 联立得2x2＋9x－18＝0，解得x＝，y＝±. ∴P、Q两点的坐标分别为，. (3)∵|F1F2|＝2c＝2，P点的纵坐标就是△PF1F2底边F1F2上的高， ∴S△PF1F2＝×2×＝. [解]　(1)在椭圆＋＝1中， a2＝25，b2＝9，c2＝25－9＝16， ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴椭圆离心率为e1＝＝， ∴双曲线的离心率为e2＝－＝2， 由题可设双曲线的标准方程为－＝1， 则∴ ∴双曲线的标准方程－＝1. (2)在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝10，① 在双曲线中||PF1|－|PF2||＝4，② 由①和②得|PF1|＝7，|PF2|＝3，或|PF1|＝3，|PF2|＝7， 在△F1PF2中|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2， ∴64＝49＋9－2×7×3cos ∠F1PF2， ∴cos ∠F1PF2＝－. 由题可设双曲线的标准方程为－＝1， 则∴ ∴双曲线的标准方程－＝1. [解]　(1)∵2p＝4，∴ ＝1， ∴抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，∴c＝1. ∵e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵抛物线的准线为x＝－1，与椭圆的交点为A(－1，y)， 则＋＝1，∴y＝，即A， 设直线的方程为y－＝k(x＋1)，即y＝kx＋k＋， 联立 消去x整理得：ky2－4y＋4k＋6＝0. ∵直线l与抛物线相切， ∴Δ＝(－4)2－4k(4k＋6)＝0， 解得k＝－2或k＝， ∴切线方程为2x＋y＋＝0或x－2y＋4＝0. 当切线方程为2x＋y＋＝0时， 则B(x，y)满足 解得x＝－1，y＝， 此时直线和椭圆只有一个交点，不合题意． ∴AB的长为. [解]　由得2x2＋3(kx＋2)2＝6， 即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， ∴Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48. $$