江西省宜春市2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2024-2025学年江西省宜春市九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项．） 1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是5 D．画一个三角形，其内角和是360° 2．（3分）窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．B．C．D． 3．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么k应满足的条件是（　　） A．k＞﹣4 B．k≥﹣4且k≠0 C．k＞﹣4且k≠0 D．k≤1 4．（3分）在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于E，下列说法错误的是（　　） A．CE＝DE B．＝ C．OE＝BE D．∠COB＝2∠BAD 6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y＝ax2+bx+3中（a，b是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 4 … y＝ax2+bx+3 … 8 0 0 … 下列结论正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．当x＜2时，y随x的增大而增大 D．点A的坐标是（0，3）点B的坐标是（4，3） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣2的顶点坐标为　 　． 8．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 　 　． 9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 　 　． 10．（3分）已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，则a2+2a﹣b的值是 　 　． 11．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是　 　m． 12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为 　 　． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）解方程：x2﹣5x+6＝0； （2） 已知一条抛物线过点（1，3），且顶点坐标为（2，1），求该抛物线解析式． 14．（6分）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根． 15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作弦EF，使EF∥BC． （2）在图2中过点A作线段BC的垂直平分线． 16．（6分）小邦和小友两人玩猜数字游戏，先由小友在中心任意想一个数，记为x，然后再由小邦猜小友刚才想的数字，把小邦猜的数字记为y，他们俩想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数字中选取． （1）“小友想的数字x＝3”是 　 　事件； （2）如果小邦猜的数字与小友想的数字相同，则称他们“心灵相通”，求他们心灵相通的概率． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 　 　，　 　）中心对称． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 19．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数． 20．（8分）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（20≤x≤60）设这种双肩包每天的销售利润为w元 （1）求w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 22．（9分）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，BC为半圆的切线，连接OC，过半圆上的点D作AD∥OC，连接BD．BA、CD的延长线相交于点E． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝8， ①求⊙O的半径． ②将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求AB扫过的图形的面积（结果用π表示）． 六、（本大题共12分） 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项．） 1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是5 D．画一个三角形，其内角和是360° 【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别判断得出答案． 【解答】解：A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，故此选项符合题意； B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故此选项不合题意； C．掷一次骰子，向上一面的点数是5，是随机事件，故此选项不合题意； D．画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确区分三种事件是解题关键． 2．（3分）窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么k应满足的条件是（　　） A．k＞﹣4 B．k≥﹣4且k≠0 C．k＞﹣4且k≠0 D．k≤1 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•k•（﹣1）≥0，求出解集即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根 ∴k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•k•（﹣1）＝16+4k≥0， 解得：k≥﹣4且k≠0， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 4．（3分）在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′的坐标． 【解答】解：如图，由题意A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，观察图象可知A′（4，﹣3）． 故选：B． 【点评】本题涉及图形的旋转变换，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′． 5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于E，下列说法错误的是（　　） A．CE＝DE B．＝ C．OE＝BE D．∠COB＝2∠BAD 【分析】连接OD，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，＝，＝，再＝得到∠BOC＝∠BOD，然后根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAD，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：连接OD，如图， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE，＝，＝， ∵＝， ∴∠BOC＝∠BOD， ∵∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BOC＝2∠BAD． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+3中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y＝ax2+bx+3中（a，b是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 4 … y＝ax2+bx+3 … 8 0 0 … 下列结论正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．当x＜2时，y随x的增大而增大 D．点A的坐标是（0，3）点B的坐标是（4，3） 【分析】由抛物线经过（1，0），（3，0），可得抛物线的对称轴，再由抛物线经过（﹣1，8）可得抛物线开口向上，将x＝0代入解析式可得点A坐标，根据抛物线的对称性可得点B坐标． 【解答】解：由表格可得抛物线经过（1，0），（3，0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∵x＝﹣1时y＝8＞0， ∴抛物线开口向上， 将x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3， ∴点A坐标为（0，3），点B坐标为（4，3）， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣2的顶点坐标为　（2，﹣2）　． 【分析】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【解答】解：∵物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣2， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）， 故答案为：（2，﹣2）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 　　． 【分析】抽取的扑克牌总共有6张，其中“红桃”有1张，直接利用概率公式计算可得． 【解答】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”． 将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 　36°　． 【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC，OD， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD＝＝72°， ∴∠CPD＝∠COD＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角∠COD的度数． 10．（3分）已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，则a2+2a﹣b的值是 　5　． 【分析】把x＝a代入方程求出a2+3a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：把x＝a代入方程得：a2+3a﹣2＝0，即a2+3a＝2， 由根与系数的关系得：a+b＝﹣3， 则原式＝（a2+3a）﹣（a+b） ＝2+3 ＝5． 故答案为：5． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 11．（3分）如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是　10　m． 【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解：令函数式y＝﹣x2+x+中，y＝0， 0＝﹣x2+x+， 整理得：x2﹣8x﹣20＝0， （x﹣10）（x+2）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）， 即该运动员此次掷铅球的成绩是10m． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为 　50°或65°或80°　． 【分析】分三种情形讨论①如图1中，当AC＝AP时，②如图2中，当PC＝PA时，③如图3中，当CA＝CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【解答】解：在Rt△ACB中， ∵∠ACB＝90°，AO＝OB， ∴OC＝OA＝OB， ∴∠OAC＝∠ACO＝25°，∠COB＝50°，∠AOC＝130°． ①如图1中， 当AC＝AP时， 在△AOC和△AOP中， ， ∴△AOC≌△AOP（SSS）， ∴∠AOC＝∠AOP＝130°， ∴α＝∠POB＝50°． ②如图2中，当PC＝PA时，同理可证△OPA≌△OPC， ∴∠POA＝∠POC＝（360°﹣∠AOC）＝115°， ∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝65°． ③如图3中，当CA＝CP时，同理可证△COA≌△COB， ∴∠COP＝∠AOC＝130°， ∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝80° 故答案为：50°或65°或80°． 【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）解方程：x2﹣5x+6＝0； （2）已知一条抛物线过点（1，3），且顶点坐标为（2，1），求该抛物线解析式． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）由于已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式y＝a（x﹣2）2+1，然后把（1，3）代入求出a即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3； （2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 把（1，3）代入得a•（1﹣2）2+1＝3， 解得a＝2， 所以抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2+1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 14．（6分）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）将x＝﹣3代入原方程可求出m的值，再利用两根之和等于﹣，即可求出方程的另一根． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣2）＞0， ∴m＜3， ∴实数m的取值范围为m＜3． （2）将x＝﹣3代入原方程，得：（﹣3）2+2×（﹣3）+m﹣2＝0， ∴m＝﹣1． 方程的另一根为﹣2﹣（﹣3）＝1， ∴m的值为﹣1，方程的另一根为1． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作弦EF，使EF∥BC． （2）在图2中过点A作线段BC的垂直平分线． 【分析】（1）延长CA，BA交圆于点E，点F，连接EF，线段EF即为所求． （2）延长CA，BA交圆于点E，点F，连接BE，CF，延长BE交CF的延长线于点T，作直线AT，直线AT即为所求． 【解答】解：（1）如图，弦EF即为所求． （2）如图，直线AT即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．（6分）小邦和小友两人玩猜数字游戏，先由小友在中心任意想一个数，记为x，然后再由小邦猜小友刚才想的数字，把小邦猜的数字记为y，他们俩想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数字中选取． （1）“小友想的数字x＝3”是 　随机　事件； （2）如果小邦猜的数字与小友想的数字相同，则称他们“心灵相通”，求他们心灵相通的概率． 【分析】（1）由随机事件的定义即可得出结论； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小邦和小友心灵相通的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）“小友想的数字x＝3”是随机事件， 故答案为：随机； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小邦和小友心灵相通的结果有4种， ∴小邦和小友心灵相通的概率＝＝． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 　﹣2　，　0　）中心对称． 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点评】此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【分析】（1）根据垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠DEB的度数； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，再解方程即可． 【解答】解：（1）∵OD⊥AB， ∴＝， ∴∠BOD＝∠AOD＝60°， ∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 19．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数． 【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°． 【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAF． ∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置， ∴AC＝AF． 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC； （2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°， ∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°， ∴∠FAG＝∠BAE＝50°． ∵△ABC≌△AEF， ∴∠F＝∠C＝28°， ∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键． 20．（8分）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1+增长率）2＝2016年投入资金，列出方程求解可得； （2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得． 【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意， 得：1280（1+x）2＝1280+1600， 解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍）， 答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%； （2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意， 得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900， 答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 【点评】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（20≤x≤60）设这种双肩包每天的销售利润为w元 （1）求w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）每天的销售利润W＝每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）w＝（x﹣20）•y＝（﹣x+60）（x﹣20）＝﹣x2+20x+60x﹣1200＝﹣x2+80x﹣1200， w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+80x﹣1200； （2）根据题意得：w＝﹣x2+80x﹣1200＝﹣（x﹣40）2+400， ∵﹣1＜0， 当x＝40时，w有最大值，最大值是400； （3）当w＝300时，﹣x2+80x﹣1200＝300，解得x1＝30，x2＝50， ∵50＞48，x2＝50不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为30元． 【点评】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法． 22．（9分）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，BC为半圆的切线，连接OC，过半圆上的点D作AD∥OC，连接BD．BA、CD的延长线相交于点E． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝8， ①求⊙O的半径． ②将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求AB扫过的图形的面积（结果用π表示）． 【分析】（1）连接OD，由平行线的性质得OC⊥BD，再根据垂径定理得OC是BD的垂直平分线，得CD＝CB，再利用切线的性质和判定即可解决问题； （2）①利用△EDA∽△EBD，得，代入计算可得BE的长，从而得出半径； ②由题意知，AB扫过的图形是以AB为半径，圆心角为120°的扇形，代入扇形面积公式即可． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD∥OC， ∴OC⊥BD， ∴OC是BD的垂直平分线， ∴CD＝CB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODC＝∠OBC， ∵BC为半圆的切线， ∴∠OBC＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD， ∵OD是半径， ∴CD是半圆的切线； （2）解：①∵∠ODE＝90°， ∴∠ODA+∠EDA＝90°， ∵∠OAD+∠ABD＝90°，∠OAD＝∠ODA， ∴∠EDA＝∠EBD， ∵∠E＝∠E， ∴△EDA∽△EBD， ∴， ∴， ∴EB＝16， ∴AB＝12， ∴⊙O的半径为6； ②由题意知，AB扫过的图形是以AB为半径，圆心角为120°的扇形， ∴AB扫过的图形的面积为＝48π． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，扇形面积的计算等知识，利用△EDA∽△EBD求出直径AB的长是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式． （2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为： y＝ax2+bx+c（a≠0）， 将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得： 解得， 所以此函数解析式为：y＝； （2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m，）， ∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB ＝×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 ＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 ＝﹣m2﹣4m， ＝﹣（m+2）2+4， ∵﹣4＜m＜0， 当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝﹣4+8＝4． 答：m＝﹣2时S有最大值S＝4． （3）设P（x，x2+x﹣4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB， ∴Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为y＝﹣x， 则Q（x，﹣x）． 由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|＝4， 解得x＝0，﹣4，﹣2±2． x＝0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP＝4．四边形PBQO为平行四边形则BQ＝OP＝4，Q横坐标为4，代入y＝﹣x得出Q为（4，﹣4）． 由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）． 【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/17 19:17:45；用户：万载县黄茅初级中学；邮箱：hmcj68@xyh.com；学号：50588317 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$