8.2.1一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 (分值：100分) 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共18分. 一、基础巩固 1.在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是(　　) y＝bx＋a＋e是一次函数 因变量y是由自变量x唯一确定的 因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得经验回归方程可能为(　　) ＝0.4x＋2.3 ＝2x－2.4 ＝－2x＋9.5 ＝－0.3x＋4.4 3.工人工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的经验回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是(　　) 劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元 劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元 劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元 当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 4.为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分)与笔试成绩y(单位：分)的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系，设其经验回归方程为＝x＋，已知xi＝400，yi＝1 580，＝－1，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩约为(　　) 99 101 103 105 5.(多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)是变量x和y的2 026个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论正确的是(　　) 直线l过点(，) 直线l过点(x1 013，y1 013) x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上 因为2 026是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同 6.已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4，5)，则经验回归方程是____________. 7.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知＝20，由最小二乘法求得经验回归方程为＝0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝________. 8.某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表： 广告费用x/万元 3 4 5 6 销售额y/万元 25 30 40 45 根据上表可得经验回归方程＝x＋中的为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元. 9.(13分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归方程＝x＋； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：经验回归方程＝x＋中，＝，＝－，其中，为样本平均值. 10.(13分)某研究机构对高二学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力. 参考公式：＝，＝－ 二、综合运用 11.(多选)已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次试验.试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经验回归方程为＝3x＋4.5，且＝4，又增加了2次试验，得到2个数据点(2，11)，(6，22)，根据这10个数据点重新求得经验回归方程为＝mx＋n(其中m，n∈R)，则(　　) 变量y与x正相关 m<3 n<4.5 经验回归直线＝mx＋n经过点(4，16.5) 12.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________. 13.(16分)一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果： 转速x(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y(件) 11 9 8 5 (1)画出散点图； (2)如果y与x有线性相关的关系，求经验回归方程； (3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留一位小数) 三、创新拓展 14.(多选)月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y(简称“月出时间”，单位：小时)与天数x(x为阴历日数，x∈N*，且0≤x≤30)的有关数据，如表，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为＝0.8x＋. x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天(即23日00：00)才升起，则(　　) 经验回归直线过点(10，14.4) ＝6.8 预测月出时间为16时的那天是阴历13日 预测阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 1.C　[选项A，在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是函数关系，因此不是一次函数，故A错误； 选项B，因变量y不是由自变量x唯一确定的，故B错误； 选项D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差，故D错误，只有选项C成立.] 2.A　[由x与y正相关，排除选项C，D. 将＝3，＝3.5代入选项A，B，经检验B不成立.] 3.B　[因为经验回归直线的斜率为80， 所以x每增加1，y平均增加80， 即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.] 4.C　[xi＝400，故＝＝20； yi＝1 580，故＝＝79， 故点(20，79)在经验回归直线上， 即79＝20－1，得＝4，即＝4x－1， 当x＝26时，代入计算得到＝103.] 5.AC　[经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，故A正确，B错误； 由题图可知x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上，故C正确； 不能因为2 026是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，故D错误.] 6.＝1.23x＋0.08　[经验回归直线的斜率的估计值为1.23，即＝1.23， 又经验回归直线过定点(4，5)， ∴＝5－1.23×4＝0.08， ∴＝1.23x＋0.08.] 7.300　[因为经验回归直线过点(，)， 所以将＝20代入经验回归方程得＝60， 所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5＝300.] 8.73.5　[由题意得＝＝4.5， ＝＝35. ∵经验回归方程＝x＋中＝7， ∴35＝7×4.5＋，解得＝3.5， ∴＝7x＋3.5. ∴当x＝10时，＝7×10＋3.5＝73.5(万元).] 9.解　(1)由题意，知n＝10，＝xi＝＝8， ＝yi＝＝2， 又x－102＝720－10×82＝80， xiyi－10 ＝184－10×8×2＝24， 则＝＝0.3， ＝－＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关. (3)将x＝7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). 10.解　(1)散点图如图所示. (2)＝＝9， ＝＝4， x＝62＋82＋102＋122＝344， xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故经验回归方程为＝0.7x－2.3. (3)由(2)中经验回归方程可知， 当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4， 即预测记忆力为9的同学的判断力为4. 11.ABD　[设A(2，11)，B(6，22)，由kAB＝<3， 而8个数据点的经验回归方程中＝3， ∴0<m<3，A，B正确； 而10个数据点的′＝＝4， ＝＝16.5， ∴经验回归直线过定点(4，16.5)， 则16.5＝4m＋n，n＝16.5－4m， 0<m<3，0<4m<12，－12<－4m<0， 4.5<16.5－4m<16.5， 即4.5<n<16.5.∴D正确，C错误.] 12.0.5　0.53　[＝＝＝0.5， ＝＝3. 由公式，得＝0.01， 从而＝－＝0.5－0.01×3＝0.47， 所以经验回归方程为＝0.47＋0.01x， 所以当x＝6时，＝0.47＋0.01×6＝0.53.] 13.解　(1)画出散点图，如图所示. (2)＝12.5，＝8.25，xiyi＝438，x＝660， ∴＝ ＝ ≈0.728 6， ＝－≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 故经验回归方程为＝0.728 6x－0.857 5. (3)要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10， 得x≤14.901 9. 故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 14.AD　[＝＝10， ＝＝14.4， 故经验回归直线过点(10，14.4)，选项A正确； 将点(10，14.4)代入＝0.8x＋， 得＝6.4，B错误； ∵＝0.8x＋6.4，当y＝16时，x＝12， ∴月出时间为阴历12日，选项C错误； ∵阴历27日时，即x＝27，代入得＝0.8×27＋6.4＝28， ∴日出时间应该为28日早上4：00，选项D正确.] 学科网（北京）股份有限公司 $$