专题15 统计与概率（十二大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题15 统计与概率 数据的数字特征 1．（21-22高三上·北京西城·期末）10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是 . 频率分布直方图 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·北京丰台·期末）为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（    ） A． B． C． D．95 4．（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 ，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）. 线性回归方程 5．（21-22高三上·北京东城·期末）人类已进入大数据时代，目前，全球年数据产生量已经从级别跃升到，乃至级别（，，，）．由国际数据公司的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 古典概型 6．（22-23高三上·北京东城·期末）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知点集，，从集合中任取一点，纵横坐标和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高三上·北京昌平·期末）算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（20-21高三上·北京·期末）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高三上·北京通州·期末）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为 ；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为 . 11．（23-24高三上·北京房山·期末）某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示. (1)从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； (2)从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； (3)将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）. 条件概率 12．（21-22高三上·北京朝阳·期末）盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2022·北京东城·三模）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（    ） A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216 14．（22-23高三上·北京大兴·期末）一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是 . 15．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球.现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是 . 全概率公式 16．（21-22高三上·北京西城·期末）小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第15题，只有完全选对得5分，一旦错选或者少选得0分.已经题目有四个选项①②③④，小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了①正确，④错误.②③无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：②有的可能性是对的，③有的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择 . 17．（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 得分 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． (1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； (2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 独立事件的概率 18．（23-24高三上·北京东城·期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试是否通过相互独立. (1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； (2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； (3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 19．（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系. 20．（22-23高三上·北京西城·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 (1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； (2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 超几何分布 21．（23-24高三上·北京丰台·期末）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； (3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值． 22．（23-24高三上·北京朝阳·期末）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 23．（23-24高三上·北京昌平·期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； (3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明 24．（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. (1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； (2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； (3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 二项分布 25．（23-24高三上·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 26．（22-23高三上·北京东城·期末）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立. (1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率； (2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望； (3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据用区间的中点值替代） 均值与方差在决策中的应用 27．（23-24高三上·北京顺义·期末）某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下： 路口 路口一 路口二 路口三 遇到红灯的概率 遇到红灯停留的时间 3分钟 2分钟 1分钟 假设在各路口是否遇到红灯相互独立． (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率； (3)假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明） 28．（23-24高三上·北京大兴·期末）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. (1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率： (2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： (3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由， 29．（2023·北京密云·三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：    (1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率； (2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）. 30．（22-23高三上·北京通州·期末）为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下： 假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立. (1)估计买家对A平台的评价不是差评的概率； (2)从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率； (3)根据上述数据，你若购物，选择哪个平台？说明理由. 31．（22-23高三上·北京朝阳·期末）跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）： 高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94； 高三（2）班：137，126，116，108； 高三（3）班：163，134，112，103； 高三（4）班：158，132，130，127，110，106． 假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立． (1)估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率； (2)用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望； (3)在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 32．（22-23高三上·北京海淀·期末）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 33．（23-24高三上·北京顺义·期末）地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间 120 220 160 140 200 用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（22-23高三上·北京丰台·期末）市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，40%，20%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如图所示，若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（    ）    A．45% B．48% C．50% D．52% 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 统计与概率 数据的数字特征 1．（21-22高三上·北京西城·期末）10名工人某天生产工艺零件，生产的件数分别是19，19，20，20，13，14，17，18，22，22，那么数据的80%分位数是 . 【答案】21 【分析】把数字从小到大排列，根据第百分数规则求解. 【详解】解析：从小到大排列，得13，14，17，18，19，19，20，20，22，22，又因为 ，第8位20，第9位22，故数据的80%分位数是. 故答案为： 频率分布直方图 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小 【详解】解：由题意 由频率分布直方图得： 甲地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 乙地区： 的频率为， 的频率为 ∴甲地区用户满意度评分的中位数 ∴ 由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高， ∴ 故选：D. 3．（21-22高三上·北京丰台·期末）为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（    ） A． B． C． D．95 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在，的频率，进而得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在的频率为 成绩在的频率为， 又，所以40%成绩较高的学生的分数在之间，且最低分数为 故选：C 4．（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 ，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）. 【答案】 【分析】由频率分布直方图中总面积为可计算出，由频率分布直方图中平均数的计算方式计算平均数即可估计全校学生的平均成绩. 【详解】由频率分布直方图中总面积为， 即， 解得， ， 故可估计全校学生的平均成绩为. 故答案为：；. 线性回归方程 5．（21-22高三上·北京东城·期末）人类已进入大数据时代，目前，全球年数据产生量已经从级别跃升到，乃至级别（，，，）．由国际数据公司的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据散点图及幂函数、指数函数、对数函数的图象特征即可求解. 【详解】解：由散点图知：全球年数据产生量随年份的增加而增加，且增加的速度越来越快， 因为的图象是一条直线， 的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓， 的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓， 的图象，随x增大，y增大，图象越来越陡峭， 所以D选项正确，A、B、C选项错误. 故选：D． 古典概型 6．（22-23高三上·北京东城·期末）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，再由古典概率代入即可得出答案. 【详解】设11个重要建筑依次为，其中故宫为， 从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：， ，共9种情况， 其中选取的3个中一定有故宫的有：，共3种， 所以其概率为：. 故选：D. 7．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知点集，，从集合中任取一点，纵横坐标和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的公式计算即可． 【详解】解：设纵横坐标和为偶数为事件A， 从集合P中任取一点的事件为，共9个基本事件， 纵横坐标和为偶数为，共5个基本事件， ． 故选：D． 8．（21-22高三上·北京昌平·期末）算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠， 有2，6，20，60，200，600，11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550共18个， 其中能被3整除的有：6，60，600，15，51，105，501，150，510共9个， 所以这个数能够被3整除的概率是， 故选：C 9．（20-21高三上·北京·期末）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出所有的排列方式，得出两本数学书相邻的情况，即可求出概率. 【详解】解析：两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示． 则所有的排列方式有(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)共6种． 其中两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为． 故选：D. 10．（22-23高三上·北京通州·期末）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为 ；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为 . 【答案】 /0.5 【分析】列举出齐王与田忌赛马的每组马对阵的所有情况，即可求出双方均不知对方马的出场顺序时田忌获胜的概率，列举出田忌的上等马与齐王的中等马分在一组时的对阵情况，可求得田忌获胜的概率. 【详解】设齐王的三匹马分别记为，田忌的三匹马分别记为， 齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有∶ ，齐王获胜； ，齐王获胜； ，齐王获胜； ，田忌获胜； ，齐王获胜； ，齐王获胜,共6种； 其中田忌获胜的只有一种 则田忌获胜的概率为； 若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组， 此时情况为和共两种， 时，齐王获胜，，田忌获胜， 此时田忌获胜的概率为 ， 故答案为： 11．（23-24高三上·北京房山·期末）某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示. (1)从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； (2)从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； (3)将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)的分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可； （2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可. （3）根据数据的集中趋势进行判断即可. 【详解】（1）由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量， 所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为； （2）由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量， 因此， ，，， 所以的分布列如下图所示： 0 1 2 ； （3）根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的数据最分散， 所以， . 条件概率 12．（21-22高三上·北京朝阳·期末）盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，求出，，利用条件概率公式求出概率. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B， 则，， 则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. 故选：D 13．（2022·北京东城·三模）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（    ） A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216 【答案】A 【分析】设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，进而结合题意，根据条件概率公式求解即可. 【详解】解：设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种， 所以，， 所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为. 故选：A 14．（22-23高三上·北京大兴·期末）一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是 . 【答案】 【分析】由于第一次摸到红球已经发生，故第二次摸球的时候袋子中有1个红球，3个白球，即得到答案 【详解】第一次摸到红球的条件下,第二次摸球的时候袋子中有1个红球，3个白球，所以第二次摸到白球的概率为 ， 故答案为： 15．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球.现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是 . 【答案】 /0.5 /0.75 【分析】根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式直接得解. 【详解】设事件：取出的球为白球，事件：该球选自甲盒， 所以，， 若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是， 故答案为：，. 全概率公式 16．（21-22高三上·北京西城·期末）小明正在考数学期末模拟，写到了填空题的第15题，只有完全选对得5分，一旦错选或者少选得0分.已经题目有四个选项①②③④，小明根据平日掌握的知识和方法很快判断出了①正确，④错误.②③无法确定，但是小明依然冷静地分析后判断：②有的可能性是对的，③有的可能性是对的，假设小明判断正确，那么他应该选择 . 【答案】①② 【分析】列举出所有情况，写出概率，选择概率大的情况即可. 【详解】解析：共有4种可能. 选②选③，；选②不选③，； 不选②选③，，不选②不选③，. 故假设小明判断正确，那么他应该选择①②. 故答案为：①②. 17．（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 得分 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． (1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； (2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 【答案】(1)， (2) (3)次 【分析】（1）根据频率和概率的知识求得正确答案. （2）根据“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”进行分类讨论，根据相互独立事件乘法公式求得正确答案. （3）根据数学期望类不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为， 甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. （2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为. 设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分” 甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是. 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为. （3）甲在区投篮一次得分的期望估计是， 甲在区投篮一次得分的期望估计是， 设甲在区投篮次，则甲在区投篮次， 则总的期望值估计为，解得， 则甲选择在区投篮的次数最多是次． 独立事件的概率 18．（23-24高三上·北京东城·期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试是否通过相互独立. (1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； (2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； (3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可； （2）根据相互独立的事件的概率求解即可； （3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解. 【详解】（1）记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，， 记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，， 则，， 从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为； （2），， ， 小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为 ； （3）2022年考生成绩合格的概率为, 2023年考生成绩合格的概率为， 要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率， 则，解得. 故的最小值为. 19．（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. （3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以 ，， 故. 20．（22-23高三上·北京西城·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 (1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； (2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； (3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）先求出这6个月月度零售销量平均值，再利用古典概型的概率公式求解即可； （2）根据题意求得的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求得各取值的概率，从而得到的分布列，进而可得的数学期望； （3）利用方差的求法，结合题意所给数据求解即可. 【详解】（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为 故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月， 所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份， 该月MPV零售销量超过的概率为. （2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月， 所以的所有可能取值为， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故的数学期望. （3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为， 其平均值为， 所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为， 所以， 同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为， 其平均值为， 所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为， 所以， 故. 超几何分布 21．（23-24高三上·北京丰台·期末）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； (3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值． 【答案】(1)， (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得； （2）利用超几何分布求解； （3）写出的表达式判单调性求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，． （2）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是，总人数为5人． 可能的取值为0，1，2． ，，． 随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的期望为． （3）由题，， 时，令 所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，则即时取最小值 22．（23-24高三上·北京朝阳·期末）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)11月6日 【分析】（1）根据古典概型即可得解； （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （3）先分别求出各个区间的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而可得出结论. 【详解】（1）设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多， 所以； （2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天； 的所有可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 ； （3）由频率分布直方图知，步数在各个区间的人数如下， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 因为甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲走的步数在区间内，乙走的步数在区间内， 符合的只有11月6日这一天， 所以这是11月6日的数据. 23．（23-24高三上·北京昌平·期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； (3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望6900； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可； （2）利用频率分布直方图及离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的概率公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知； （2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比， 任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分， 所以可取四种情况， ，， ，， 故的分布列为： 9000 8000 7000 6000 0.027 0.189 0.441 0.343 则； （3）由题意可知， 可知当时取得最大值. 证明如下：设最大，即， 所以， 化简得，因为，故. 24．（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. (1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； (2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； (3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列详见解析， (3) 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案. （2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望. （3）通过计算，，来确定正确答案. 【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人， 这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为. （2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为， 所以的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 所以. （3），证明如下： ， ， 所以. ， ， 所以. 数据：，，，，，，，， 对应的平均数为 所以 所以. 二项分布 25．（23-24高三上·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得； （2）可看成次独立重复试验模型求解概率； （3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列. 【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率. （2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率. （3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为， 所以甲能被招飞院校录取的概率， 乙能被招飞院校录取的概率， 丙能被招飞院校录取概率. 依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 26．（22-23高三上·北京东城·期末）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立. (1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率； (2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望； (3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据用区间的中点值替代） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接计算得到答案. （2）概率，的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. （3）根据公式计算众数，平均数和中位数，再比较大小即可. 【详解】（1）参加课后活动的时间位于区间的概率. （2）活动的时间在区间的概率， 的可能取值为， ，， ，. 故分布列为： （3）众数为：； ， ， 则，； ， 故 均值与方差在决策中的应用 27．（23-24高三上·北京顺义·期末）某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下： 路口 路口一 路口二 路口三 遇到红灯的概率 遇到红灯停留的时间 3分钟 2分钟 1分钟 假设在各路口是否遇到红灯相互独立． (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率； (3)假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)增加 【分析】 （1）易知这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，计算可得结果； （2）分别求出遇到不同红灯个数时满足题意的概率，由加法公式即可得出结果； （3）利用期望值定义分别求出红灯时间调整前后红灯停留的总时间平均值，即可得出变化情况是增加的. 【详解】（1）根据题意可知，这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯， 因此到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）依题意，若仅遇到一个红灯，停留的总时间不会不大于3分钟； 若遇到两个红灯，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到红灯满足题意， 此时的概率为； 若遇到三个红灯，此时的概率为； 所以因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率为 （3）根据题意可知，红灯时间没有调整前红灯停留的总时间的取值； 则，，，， ，， ； 可得； 时间都变为2分钟后因红灯停留的总时间的取值； ，，， ； 可得 显然； 所以调整后总时间的变化情况，是“增加”的． 28．（23-24高三上·北京大兴·期末）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. (1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率： (2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： (3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大.（言之有理即可） 【分析】（1）从表中读取数据后计算即可得； （2）先得出两个公司分别不低于75分的概率，再由离散型随机变量性质计算即可得； （3）得出各个公司等级情况后，言之有理即可. 【详解】（1）调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为，则， 故可估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为； （2）A快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为： ， B快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为： ， X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 故其分布列为： X 0 1 2 P 其期望； （3）A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “良好”等级占比为，“一般”等级占比为； B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “良好”等级占比为，“一般”等级占比为； 其中A快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， B快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， 我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大. 29．（2023·北京密云·三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：    (1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率； (2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【分析】（1）分析可知户居民中，第组的居民数为，第组的居民数为，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值； （3）计算出月均用电量的样本数据的第百分位数，即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为， 第组的居民户数为， 从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为. （2）该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： . （3）前个矩形的面积之和为， 设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则， 则，解得， 故应定为较为合适. 30．（22-23高三上·北京通州·期末）为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下： 好评 中评 差评 A平台 75 20 5 B平台 64 8 8 假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立. (1)估计买家对A平台的评价不是差评的概率； (2)从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率； (3)根据上述数据，你若购物，选择哪个平台？说明理由. 【答案】(1) (2) (3)选择A平台，理由见解析 【分析】（1）根据题设统计表即可求得答案； （2）计算出买家对平台好评的概率，明确这4人中恰有2人给出好评的情况有哪几种，根据互斥事件以及相互独立事件的概率计算，可得答案. （3）列出买家对平台的满意度评分的分布列，分别计算均值和方差，由此可得结论. 【详解】（1）设“买家对A平台的评价不是差评”为事件， 则. （2）设“这4人中恰有2人给出好评”为事件， 由已知数据估计，买家在A平台好评的概率为，买家在平台好评的概率， 事件包含：A平台2个好评，平台0个好评；A平台1个好评，平台1个好评； A平台0个好评，平台2个好评, 故. （3）设一位买家对A平台的满意度评分为，一位买家对平台的满意度评分为， 可得其分布列如下表： 5 3 1 0.75 0.2 0.05 5 3 1 0.8 0.1 0.1 则，， ， , 从买家对两个平台满意度得分看两个平台均分相等，但, 所以选择A平台. 31．（22-23高三上·北京朝阳·期末）跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）： 高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94； 高三（2）班：137，126，116，108； 高三（3）班：163，134，112，103； 高三（4）班：158，132，130，127，110，106． 假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立． (1)估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率； (2)用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望； (3)在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)高三（3）班 【分析】（1）用古典概型概率计算公式即可求解. （2）分别记三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件、、、,则、、，由题意得的取值为0,1,2,3,4，分别计算出对应概率即可求解数学期望 （3）高三（3）班：163，134，112，103的数据中163为最大数据且134为较大数据即可判断. 【详解】（1）记高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件. 由题知高三（1）班在2分钟内的跳绳个数超过120个的有次，用频率估计概率，估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为 （2）分别记高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件、、, 则、、， 由题意得的取值为0,1,2,3,4 所以 则的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以 （3）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大 32．（22-23高三上·北京海淀·期末）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析 【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为， 亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为， 估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为 （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、， ，， ， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： . （3）解：建议农科所推广该项技术改良， 设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知， 所以，增产的会产生增加的收益为， 故建议农科所推广该项技术改良. 33．（23-24高三上·北京顺义·期末）地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间 120 220 160 140 200 用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据题意，列方程组，根据方程组解的值，判断正确的说法. 【详解】设每个出口每秒可疏散的人数为（），由题意，可得方程组：，可得：. 因为，所以，所以①正确； 因为，所以，所以②正确； 因为，所以，所以③正确； 因为，所以，所以④错误. 故选：B 34．（22-23高三上·北京丰台·期末）市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，40%，20%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如图所示，若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（    ）    A．45% B．48% C．50% D．52% 【答案】C 【分析】根据市场占有率转移情况计算即可. 【详解】由题意，设最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为，B，C两个企业的“稳定市场占有率”为， 则， 故，即， 所以，解得. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$