《分数乘分数》教学设计-2024-2025学年六年级数学上册人教版

《分数乘分数》差异化教学设计 [教学内容] 人教版小学数学六年级上册教科书第 3-4 页例 3 [教材分析] “分数乘法”属于“数与运算”的范畴，对于培养学生的几何直观、推理意识、运算能力和体现乘法运算一致性等方面，有着至关重要的作用。本单元共安排了 8 个课时，本节课是例 3 的内容，主要学习分数乘分数。关于本节课，义务教育课程标准（2022 版）在内容要求指出：“感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识”；在教学提示指出：“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。”因此，本节课要通过具体的情境，借助几何直观，帮助学生理解算理、掌握算法，同时注重对整数、小数和分数乘法运算的统筹，让学生进一步感悟乘法运算的一致性。首先，在计算“ × ”时，应用“求一个数的几分之几是多少用乘法”的结论，借助直观图，经历“先分-后取-再分-再取”的过程，体会“分数单位相乘产生新的分数单位”；其次，在计算“× ”时，进一步经历“先分-后取-再分-再取”的过程，丰富“分数单位相乘产生新的分数单位，分数单位个数相乘得到新分数单位的个数”的体验，总结分数乘分数的计算方法；最后，引导学生思考“整数乘法、小数乘法、分数乘法有什么相同之处”，引出乘法运算的一致性。 [学情差异化分析] 在学习本节课之前，整数乘法的计算方法和算理，理解了一个数乘分数的意义，可以说具备一定的知识基础和数学活动经验。但通过前测来看，大部分学生能在图形中表示出分数乘法中的第一个分数，但在第一个分数的基础上，表示第二个分数存在一定的困难，同时对整数乘法与小数乘法算理的一致性缺乏勾连，算理不清晰。基于学生的学习难点，教学时可在教师的引导下，借助图形，把较抽象的分数乘分数的算理变得直观、形象，帮助学生理解算理，总结算法；在整数乘法、小数乘法、分数乘法的对比中，促进对算理一致性的理解。 [学习目标] 1.通过操作活动，使学生理解分数乘分数的算理，掌握分数乘分数的计算方法，能正确进行分数乘分数的计算。 2.使学生经历探索分数乘分数的计算过程，通过折一折、画一画、涂一涂等数学活动，并运用数形结合、归纳推理的思想总结计算法则，并能用字母来表示。 3.在解决问题的过程中，养成用画图的方法描述和分析问题的良好习惯，体验几 何直观的具象之美，形成几何直观。 [学习重点] 体会一个数乘分数的意义，理解算律、算理、算法之间的关系，能进行分数乘法 运算。 [学习难点] 理解分数乘分数的算理；感悟整数乘法、小数乘法和分数乘法运算的一致性。 [评价任务] [学习过程] 一、创设情境，提出问题 师：上一节课我们在吃蛋糕的过程中，学习了分数乘整数，我们知道了：分数乘整数是计数单位不变，而计数单位的个数在累加。今天我们继续走进田地里，研究分数乘分数。 师：根据这个信息，你能提出什么数学问题？ 预设：种土豆的面积是多少公顷？ 师：怎样列式？ 预设：× 师：为什么用乘法计算？ 预设：因为这块地是12 公顷，所以求这块地的 ，就是求公顷的 是多少，求一个数的几分之几，所以用乘法计算。（板书：× ） 【设计意图】创设情境，鼓励学生主动进行思考，让学生感受生活与数学之间的 联系，让学生明确探究的问题和目标，找准切入点。 二、自主探究，合作交流 1.探究 × 师：× 得多少呢？分数乘分数对于我们来说是个新问题，咱们以往研究分数 的时候，通常会用什么方法来帮忙？ 预设：画图。 师：每个人的桌前都有一张长方形纸，如果我把这张纸的面积看作 1 公顷，接下 来我们通过一个实践活动来进行探索。 学生思考后，实践探究。 学生上台展示、交流想法。 预设：把这一张长方形纸看作是 1 公顷，把它横着分，平均分成 2 份，1 份就是公顷，再把 公顷竖着平均分成 5 份，再取其中的一份，这一份就是公顷的 。 师生共同梳理：我们继续往下看，我把上面的公顷平均分成了 5 份，把下面的 公顷也平均分成 5 份，这样一共是 10 份，我取了其中的 1 份，你会发现：它既是公顷的 ，也可以说是 1 公顷的 ，也就是公顷。 课件演示先分后取、再分再取的过程。 师：为了让大家看的更清楚，我们通过课件演示动态图来看一下。 师：我们前面已经学习了分数的意义，还记得表示这样一份的数叫什么？ 预设：分数单位。 师：结合画图的过程，从分数单位的视角观察算式，你发现了什么？ 预设 1： 是分数单位， 也是分数单位，× 得到一个新的分数单位 。 预设 2：两个分数单位相乘，得到一个分数单位。 师：你们可真了不起，一下子就发现了 计算背后的道理。分了再分的过程， 也就是分数单位乘分数单位会产生一个新的分数单位。其实我们之前学习的整数乘法 和小数乘法也是如此，都是计数单位乘计数单位会产生一个新的计数单位。 【设计意图】面对× 这一新的分数问题，学生借助画图，经历“先分、后取、再分、再取”的过程，使抽象的数学知识形象化、直观化；接着，从分数单位的角度观察、思考，体会到分数单位相乘产生新的分数单位，突破对计数单位相乘产生新的计数单位这个问题的理解；同时勾连整数乘法、小数乘法，体会算理的一致性。 2.探究× 师：接着我们来探究第 2 个问题，（出示题目）要求玉米地的面积是多少？算式 怎么列？ 学生思考后，实践探究。 学生上台展示、交流想法。 预设：把这一张长方形纸看作是 1 公顷，把它横着分，平均分成 2 份，1 份就是公顷，再把公顷竖着平均分成 5 份，再取其中的 3 份，这些就是公顷的 。 师生共同梳理：我们继续往下看，我把上面的公顷平均分成了 5 份，把下面的公顷也平均分成 5 份，这样一共是 10 份，我取了其中的 3 份，你会发现：它既是1公顷的 ，也可以说是 1 公顷的 ，也就是 公顷。 师：为了让大家看的更清楚，我们通过课件演示动态图来看一下。 课件演示先分、后取、再分、再取的过程。 师：第一次取的用斜线表示，第二次取的用反斜线表示，很明显的可以看出分了 两次、取了两次。 师：通过画图我们算出了× 得 。结合画图的过程，想一想 10 和 3 分别表示 什么？ 预设：10 表示平均分成的份数，3 表示取出的份数。 师：10 怎么得来的？3 呢？ 预设：分母相乘得到 10，分子相乘得到 3。 师：画图的过程和刚才的从分数单位的角度进行推理，有什么相通之处？ 预设：两个分数单位相乘，就相当于分了再分，× ，就相当于把单位 1 平均 分成了 10 份，每份是 ，这样就产生新的分数单位 ，用分数单位的个数相乘，就 相当于取了再取，一共取了 3 个 ，也就是 。 师：用联系的眼光看问题，就会发现事物的本质。 师：通过分了又分，把单位 1 一共平均分成了 10 份，1 份是 ，从计数单位的角 度来看，就相当于分数单位乘分数单位得到了新的分数单位，× = ；有几个这样新的分数单位？通过取了又取，算出取得总份数 3，也就相当于分数单位的个数相乘， 得到 3 个新的分数单位。看来同学们的猜测是正确的。 【设计意图】在× 探究的基础上，先让学生猜测× 会产生哪个新的分数单位以及有几个新的分数单位，接着借助画图验证，使学生在分、取的过程中体会分母乘分母求的是一共分成了多少份，分子乘分子求的是最终取了多少份，最后从分数单位的角度进行对比、勾连，使学生明晰：分数单位相乘相当于分了再分，把单位 1平均分成了 10 份，每份是 ，这样就产生了新的分数单位 ，分数单位的个数相乘就相当于取了再取，一共取了 3 个 ，也就是 ，发展了学生的几何直观和推理意识。 3.验证猜想，明晰算理算法 师：通过上面的研究，想想分数乘分数怎么计算？ 预设：分母乘分母，分子乘分子。 师：能用一个式子表示出来吗？ 预设：可以，用字母表示。 师生共同得出： 师：研究到这里，是不是与似曾相识的感觉？ 出示整数、小数计数单位相乘得到新的计数单位的 PPT。 预设：整数乘法是计数单位和计数单位相乘，得到了新的计数单位，小数乘法也是这样。 师：是的，不管是整数、小数，还是分数的乘法计算，都是计数单位和计数单位 相乘，得到了新的计数单位。 师：这种方法早在一千多年前，中国古代数学著作《九章算术》中就记载：“母相乘为 乘为实，实如法而一”，古代把分母称为“法”，分子称为“实”，谁来说说这句话是什么意思？ 师：和我们的算法是一致的，为我国古人的智慧感到骄傲的同时，也为同学们的 研究点赞！ 师：从分数单位的角度进行分析，分母相乘得到的法，相当于什么，分子相乘得 到的实呢? 预设：分数单位相乘产生了新的分数单位，相当于分母相乘得到的法中的一份，分数单位的个数相乘得到新的分数单位的个数，相当于分子相乘得到的实。 【设计意图】在画图验证的过程中归纳出分数乘分数的计算方法，并将分数乘整数和分数乘分数的算法进行统一，同时渗透中华优秀数学传统文化，从分数单位的角度进行古今算法的沟通，使学生进一步明晰分数乘分数计算的道理，激发民族自豪感，增强文化自信。 三、沟通联系，体会乘法运算的一致性 师：前面我们学习了整数乘法和小数乘法，现在又学了分数乘法，从计数单位的 角度观察，它们之间有没有相同的地方呢？（课件依次出示三组算式） 预设：它们都是计数单位和计数单位相乘，计数单位的个数和计数单位的个数相 乘。 师：是的，无论是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，计算的道理是一致的，本 质上都是把计数单位相乘，得到新的计数单位，把计数单位的个数相乘，得到新的计 数单位的个数，最后求出它们的积是多少。 【设计意图】通过引导学生对比、思考“分数乘法的算理与整数乘法、小数乘法有什么相同之处？”，使学生感悟到，无论是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，计算的道理一样的，都是计数单位相乘得到新的计数单位，计数单位个数相乘得到新的计数单位个数，进一步打通知识之间的联系，体现算理算法的一致性，帮助学生建立完整的认知结构，学会结构化的想问题，发展推理能力和运算能力。 四、回顾梳理，自主评价 师：这节课都有哪些收获呢？ 学生谈收获。 《分数乘分数》教学反思 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 教学分数乘分数是在学习了分数乘整数的基础上进行的，此时的学生已经知道了“求一个数的几分之几是多少”，就是把这个数（单位“1”）平均分成几份，取其中几份的意思。课始，我以“李伯伯家有一块二分之一公顷的地，种土豆的面积占这块地的五分之一，种 土豆的面积是多少公顷？”的问题导入，学生在已有的数学信息中很快找出了数量关系：种土豆的面积=这块地面积的五分之一，也就是二分之一公顷的五分之一就是种土豆的面积。要表示出二分之一公顷的五分之一，是以二分之一公顷为单位“1”，把它平均分成 5 份， 取其中的 1 份。为了帮助学生理解，可以用画图的方式把算式表示出来。 在画图练习中，出现了以下几种情况： 1.个别同学没有采取“先横向平分，再竖向平分”或者“先竖向平分，再横向平分的方法”，而是两次平分均采用了“横向平分”或“竖向平分”的方法，这样画出来的图不易区分两个因数； 2.学生可以准确的在图中表示出第一个因数，在表示第二个因数时对“平均分成几份”和“几格”混淆，认为“几格”就是平均分了，就在这几格中找其中的几份，这种画法可以看出学生对分数乘分数的意义还不清楚； 3.当分数的分子和分母能够约分时，一些学生只是画出了结果，而没有体现出算式本身的意义。比如：三分之二乘四分之一时，有学生涂出了六分之一，实际上应该涂的部分是十二分之二。可见这部分同学对分数乘分数的算理还不清楚，只是认为算式的结果是多少，在 图中能表示出来结果就可以。这个问题的出现虽然不普遍，但也很典型，需要引起教师的重视。 通过分数乘分数的教学，我对数形结合的思想有了更进一步的理解。由于分数乘法的意义和计算法则的道理比较抽象，学生理解起来不是很容易，所以利用画图使抽象的问题直观化，在本单元教学中就显得特别重要了。纵观教材，数形结合思想的渗透也有不同的层次， 在分数乘分数中利用直观的几何图形，帮助学生理解分数乘分数的算理；在分数乘法应用中，则是利用线段图帮助学生理解分数乘法应用的问题；使用的图形越来越简约体现了教材对数形结合思想渗透的一个过程。 数形结合的过程不是简单的抽象变为直观的过程，而是抽象变为直观之后，再从直观变为抽象的一个过程，也就是要将“以形论数”和“以数表形”两个方面有机的结合起来。只有完整的让学生经历数与形之间的“互动”，才能使他们感知“数形结合”，才能使他们在 解决问题时自觉地应用“数形结合”的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$