第五章　二元一次方程组——应用问题　讲义　2024-2025学年北师大版数学八年级上册

《二元一次方程组的应用问题》 导学案 (八年级) 课程介绍 本节课从教材出发, 围绕在实际问题中运用二元一次方程组等数学模型解决问题进行学 习.从分析数量关系、 建立模型， 到解方程组、 检验结论， 逐步提高分析问题、 解决问题的 能力， 增强应用意识和反思意识， 体会模型思想， 学会用数学的语言表达世界。 典型例题 1 如图， 8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长和宽分别是多 少？ （单位： cm） 60 变式训练 小明在拼图时， 发现 8 个一样大小的长方形恰好可以拼成如图 1 所示的一个大长方形. （1） 求小长方形的长和宽； （2） 小红看见了说： “我也来试试. ”结果小红七拼八凑， 拼成如图 2 所示的正方形， 求图 中小正方形 （阴影） 的面积. ( 8 cm ) 巩固内化 1 如图， 在长为 15， 宽为 12 的长方形中， 有形状、 大小完全相同的 5 个小长方形， 则图中阴 影部分的面积为 . (巩固内化 1) (巩固内化 2) 巩固内化 2 如图， 将正方形纸片 ABCD 的一角折叠， 折痕为 AE， 上BAD 比 上BAE 大 48。. 设 上BAE 和 上BAD 的度数分别为 x。和 y。， 则下列关于 x, y 的方程组正确的是 ( ) 典型例题 2 我国古代数学名著《孙子算经》 中有这样一道题目： “今有木， 不知长短， 引绳度之， 余绳 四尺五寸； 屈绳量之， 不足一尺， 木长几何? ”意思是:用一根绳子去量一根木条， 绳子还剩 余 4.5 尺； 将绳子对折再量木条， 木条剩余 1 尺， 则木条长多少尺?如果设木条长 x 尺， 绳 子长 y 尺， 那么可列方程组为 （ ） 变式训练 《九章算术》 中有这样的问题： 今有 5 只雀、 6 只燕， 分别聚集而用衡器称之， 聚在一起的 雀重， 燕轻.将 1 只雀、 1 只燕交换位置而放， 重量相等.5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤. 问雀、 燕 每只各重多少？ （注： 该问题中的一斤=16 两） 设每只雀重 x 两， 每只燕重 y 两， 下列方程组中正确的是 （ ） 巩固内化 1 《九章算术》 中有“盈不足术 ”的问题， 原文如下： “今有共买羊， 人出五， 不足四十五； 人出七， 不足三， 问人数、 羊价各几何？ ” 题意是： 若干人共同出资买羊， 每人出 5“金 ”， 则差 45“金 ”； 每人出 7“金 ”， 则差 3 “金 ”， 求人数和羊价各是多少？ 巩固内化 2 《孙子算经》 是古代重要的数学著作， 其中有一段文字的大意是： 甲、 乙两人各有若干钱. 如果甲得到乙所有钱的一半， 那么甲共有钱 48 文； 如果乙得到甲所有钱的， 那么乙共有 48 文. 甲、 乙两人原来各有多少钱？ 典型例题 3 小明早上骑自行车上学， 中途因道路施工步行了一段路， 到学校共用 20 分钟， 他骑自行车 的平均速度是 200 米/分， 步行的平均速度是 70 米/分， 他从家到学校的路程是 3350 米 .设 小明骑自行车和步行的时间分别为 x 分钟和 y 分钟， 则列出的二元一次方程组是 （ ） 变式训练 A， B 两地相距 20 千米， 甲、 乙两人分别从 A、 B 两地同时相向而行， 2 小时相遇.然后甲向 A 返回， 乙继续前进， 当甲回到 A 地时， 乙距离 A 地还有 2 千米， 问： 甲、 乙两人的速度各 是多少？ 巩固内化 1 A、 B 两地相距 80km， 一艘船从 A 地出发， 顺水航行 4 小时到达 B 地， 而从 B 地出发逆水 航行 5h 到达 A 地， 已知顺水航行、 逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的 和与差， 那么一支木筏从 A 地漂流到 B 地需要多长时间？ 巩固内化 2 甲、 乙两人同时同地匀速在环形路上跑步， 若相向而行， 则每隔 2 分钟相遇一次； 若同向而 行， 则每隔 6 分钟相遇一次. 已知甲比乙跑的快， 求甲、 乙两人每分钟各跑多少圈？ 典型例题 4 在当地农业技术部门指导下， 小明家增加种植菠萝的投资， 使今年的菠萝喜获丰收.下面是 小明爸爸、 妈妈的一段对话.请你用所学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入. （收入－投资 = 净赚） . 变式训练 根据图中给出的信息， 解答下列问题： （1） 放入一个小球水面升高 cm， 放入一个大球水面升高 cm. （2） 如果要使水面上升到 50cm， 则应放入大球、 小球各多少个？ 巩固内化 1 某村 18 位农民筹集 5 万元资金， 承包了一些低产田地.根据市场调查， 他们计划对种植作物 的品种进行调整， 改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表： 在现有的条件下， 这 18 位农民应承包多少公顷田地， 怎样安排种植才能使所有的人都有工 作， 且资金正好够用？ 巩固内化 2 用如图 1 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面， 做成如图 2 的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板， 问两种纸盒各做多少个，恰好将库 存的纸板用完？ 图 1 图 2 拓展延伸 某建设工程队计划每小时挖掘土 540m3， 现有甲、 乙两种型号的挖掘机若干台可以租用， 来 完成这项工作. 已知 1 台甲型挖掘机与 1 台乙型挖掘机每小时共挖土 140m3，5 台甲型挖掘机 与 3 台乙型挖掘机恰好能完成每小时的挖掘量. (1) 求甲、 乙两种型号的挖掘机每小时各挖土多少立方米； (2) 若租用一台甲型挖掘机每小时 100 元， 租用一台乙型挖掘机每小时 120 元， 且每小时支 付的总租金不超过 850 元， 又恰好完成每小时的挖掘量， 请为该工程队设计租用方案. 学科网（北京）股份有限公司 $$