4.4 解直角三角形的应用 第一课时 教案-2024-2025学年湘教版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 4.4解直角三角形的应用（1） 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 九年级上册 出版社：湖南教育出版社 出版日期：2022年7月 教学目标 1.通过创设情境，引出仰角和俯角的概念，并掌握仰角、俯角概念． 2.经历用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力. 3.在观察、阅读、讨论、分析中体会利用基本图形分析数学几何问题的思路，进一步提高学生几何图形分析能力和良好的数学阅读素养. 教学内容 教学重点： 掌握仰角和俯角的概念，利用相关概念解决有关解直角三角形的实际问题. 教学难点： 将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题. 教学过程 一、复习回顾 在Rt△ABC中，已知b=6，∠A=30°，则∠B=90°-30°= 60°，a=b∙tanA = 6 ，c= = 12 .用勾股定理和正弦也可以求c. 知识点：在直角三角形中，在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边， 2个锐角）. 在具体的解题过程中有3大法宝: 第一，三边之间的关系，可以用勾股定理确定. 第二，锐角之间的关系，可以根据直角三角形的两个锐角互余确定. 第三，边角之间的关系，可以根据锐角三角函数的定义确定. 在直角三角形中，只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，这就是前面我们已经学习过的解直角三角形,解直角三角形在实际问题中有非常大的用处. 二、情境引入 东方明珠电视塔是中国标志性的建筑之一，同学们，你们知道该塔距离塔底有多高吗？ 能用你所学的知识解决这个问题吗？ 聪明的你马上可以想到，以东方明珠电视塔为一条直角边构建直角三角形，只要能测量出在水平线上的这条直角边的长度以及斜边和水平线所形成的夹角，就可以轻松计算出东方明珠电视塔的高度了.这里的夹角α涉及到新的概念，我们一起来看一看. 三、新知讲授 仰角和俯角：在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 概念辨析：如图，为了测量山高AC,在水平面B处望向山顶A的仰角为（ ），登上山后，站在山顶A，望向山脚下水平面B处的俯角为（ ）. A. ( D ) ( A )∠BAC B.∠B C.∠BAD D.以上都不对 ( C ) ( B ) 四、解决问题 ( ． ) 例题1：如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7m，求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1m）. 分析题意，将实际问题转化成数学问题，进行数学建模，分离出一个直角三角形和一个距形，可知在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，则 ,代值求出BC,根据BD=BC+CD=BC+AE即可求出. 解：ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m， ∴ BC=1000≈466.3（m） 由题可知CD=AE=1.7(m) ∴BC=466.3+1.7=468(m) 答：上海东方明珠塔的高度BD为468m。 方法总结： 1.将实际问题转化为数学问题，（画出平面图形，已知一边一角求另一边）. 2.根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形，如tan∠BAC=. 3.得到数学问题答案. 4.得到实际问题答案。 练习2：如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高 ________m （结果精确到0.1m）. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,由题可知∠BAD=30° = 30°,∠CAD= 60°， AD＝120m． ，, ∴在Rt△CAD中， = ∴BC=BD+CD=+=≈277.1 m 例题2.如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一条水平直线上，由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为60°和30°，求桥BC的长度.（结果精确到0.01m）. 分析：在Rt△ABD中首先求得∠DAB，然后利用三角函数求得BD的长，接着在Rt△ADC中，利用三角函数求得DC,根据BC=DC-BD即可求得解. 解法1 解：由题意可知，AD=30m ∠EAC=30°∠EAB=60° ∴在Rt△ABD中，∠DAB=90°-∠EAB=30° 则tan∠DAB=, BD=30=30 在Rt△ACD中,∠CAD=90°-∠EAC=60° 则tan∠CAD=, CD=3030 m ∴BC=CD-BD=-≈34.64 m 答：BD的长约为17.32m，桥BC的长约为34.64m 解法2 解：由题意可知，AD=30m ∠EAC=30°∠EAB=60° ∵AE∥DC,则∠ACD=∠EAC=30° ∠ABD=∠EAB=60° ∴在Rt△ABD中，tan∠DBA=, BD= = 在Rt△ACD中, 则tan∠ACD=, CD= m ∴BC=CD-BD=-≈34.64 m 答：BD的长约为17.32m，桥BC的长约为34.64m 方法点拨：对比解法1和解法2的锐角三角函数的选择，得到如下结论：涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切”，避“除”就“乘”. 解法3解：由题意可知，AD=30m ∠C=30°∠DAB=30° ∴∠BAC=∠C=30° ∴BA=BC,∠ABD=60° 在Rt△ABD中， BD=30∙tan60°=10≈17.32m 则 BC=BA=2BD=20≈34.64 m 答：BD的长约为17.32m，桥BC的长约为34.64m 五、课堂小结 1.本节课我们学习了几个重要的知识： （1）仰角 俯角的概念 （2）应用：测量底部可以到达的物体的高度 将实际问题抽象成数学模型（解直角三角形等）最后还原到实际问题。 本节课思想方法：建模思想 转化思想 方程思想. （3）牢记习近平主席二十大报告中说的：科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力. 六、课后作业 必做作业： 1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度。 2.如图所示，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60 °，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度. 实践作业：3.小组合作测量学校旗杆的高度。 学科网（北京）股份有限公司 $$