8.2.3指数函数模型与幂函数模型限时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

指数函数模型与幂函数模型 (分值：60分) 一、基础巩固 1.(13分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. (xi－)2 (wi－)2 46.6 563 6.8 289.8 1.6 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－) 1 469 108.8 表中wi＝，＝wi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： 当年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 2.(15分)很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上，某人将发布短视频后1～8天的点击量的数据进行了初步处理，得到下面的残差图及一些统计量的值. (xi－)2 (ti－)2 4.5 5 25.5 42 3 570 (xi－)(yi－) (ti－)(yi－) 72.8 686.8 其中ti＝x. 某位同学分别用两种模型：①＝bx2＋a，②＝dx＋c进行拟合. (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？ (2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程；(在计算回归系数时精确到0.01) (3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－. 3.(15分)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量x/万元 2 4 6 8 10 12 收益y/万元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值： xiyi x 7 30 1 464.24 364 (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： ①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程； ②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－. 三、创新拓展 4.(17分)中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20 ℃). 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 水温y/℃ 85 79 74 71 65 (1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图(图略)，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即20 ℃)就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx＋20(x≥0)来刻画. ①令z＝ln(y－20)，求出z关于x的经验回归方程； ②利用①的结论，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k与c. (2)你认为该品种绿茶用85 ℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？ 参考数据：ln 65≈4.2，ln 59≈4.1，ln 54≈4.0，ln 51≈3.9，ln 45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6， 参考公式：＝x＋，＝，＝－. 指数函数模型与幂函数模型 1.解　(1)由题散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型. (2)令w＝，先建立y关于w的经验回归方程. 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的经验回归方程为＝100.6＋68w， 因此y关于x的非线性经验回归方程为 ＝100.6＋68. (3)由(2)知，当x＝49时， 年销售量y的预测值＝100.6＋68＝576.6(t)， 年利润z的预测值＝576.6×0.2－49＝66.32(千元). 2.解　(1)由残差图可知，模型①效果更好. (2)∵ti＝x，∴＝t＋. ∵＝＝≈0.19， ∴＝－≈5－0.19×25.5≈0.16， ∴＝0.19x2＋0.16. (3)由(2)知，令x＝10，则＝0.19×100＋0.16＝19.16. 3.解　(1)应该选择模型①， 因为模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，经验回归方程的预测精度高. (2)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得 ＝×(7×6－6)＝7.2， ＝×(30×6－31.8)＝29.64. xiyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44， x＝364－62＝328. ＝ ＝ ＝＝3， ＝－＝29.64－3×7.2＝8.04. 所以y关于x的经验回归方程为＝3x＋8.04. ②把x＝18代入①中所求经验回归方程， 得＝3×18＋8.04＝62.04， 故预测值为62.04万元. 4.解　(1)①由已知得出x与z的关系，如下表： 泡制时间x/min 0 1 2 3 4 z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8 设经验回归方程＝x＋， 由题意，得＝＝2， ＝＝4， ∴(xi－)(zi－) ＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1， (xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10， 则＝＝＝－0.1， ＝－＝4＋0.1×2＝4.2， 则z关于x的经验回归方程为＝－0.1x＋4.2. ②由y＝kcx＋20(x≥0)， 得y－20＝kcx(x≥0)， 两边取对数得，ln(y－20)＝ln k＋xln c， 利用①的结论得，ln c＝－0.1，ln k＝4.2， ∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7. (2)由(1)得，y＝66.7×0.9x＋20(x≥0)， 令y＝60，得x＝log0.90.6≈4.8. ∴该品种绿茶用85 ℃的水泡制4.8 min后饮用，口感最佳. 学科网（北京）股份有限公司 $$