江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期数学周练（五）

1 南昌二中 2024-2025 学年度上学期高二数学周练（五） 命题人：黄洁琼 一、单选题 1．若 2 2 13n nA C  ，则 n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知集合  4,1,2,3A   ，  2, 1,0,3B    ．现从集合 A中取一个元素作为点 P的横坐标，从集 合 B中取一个元素作为点 P的纵坐标，则位于第四象限的点 P有（ ） A．16个 B．12个 C．9个 D．6个 3．关于排列组合数，下列结论错误的是（ ） A．C Cm n mn n  B． 11C C C m m m n n n     C． 11A A m m n nm   D．   !A ! m n n n m   4．将 5个相同名额分给 3个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ） A．60 B．50 C．10 D．6 5．用 0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ）个 A．36 B．72 C．48 D．60 6．6名研究人员在 3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少 1人，至多 3人， 则不同的安排方案共有（ ） A．360种 B．180种 C．720种 D．450种 7．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有 充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ） A．24种 B． 23种 C．15种 D． 7种 2 8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边 长为 2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针 方向行走的单位，如果掷出的点数为 i（ 1,2, ,6i   ），则棋子就按逆时针方向行 走 i个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点A处，则下 列说法错误的是（ ） A．三次股子后所走的单位数可以是 16 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C．三次股子的点数之和超过 10的走法有 6种 D．回到点A处的所有不同走法共有 24种 二、多选题 9．下列说法正确的有（ ） A．某校开设A类选修课 4门， B类选修课 2门，每位同学需从两类选修课中共选 4门．若要求至 少选一门 B类课程，则不同的选法共有 20种 B．将数字 1,1,1,2,2,3,3,3排成一排，可以得到 560个不同的八位数 C．将 5本不同的书分给 4个学生，每个学生至少一本，一共有 480种不同的分法 D．从 6双不同颜色的鞋子中任取 4只，其中恰好只有一双同色的取法有 240种 10．已知双曲线 C   2 2 2 1 04 x y b b   ： 的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，双曲线具有如下光学性质：从右 焦点 2F 发出的光线 m交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射 光线 n的反向延长线过左焦点 1F ，如图所示.若双曲线 C的一条渐 近线的方程为 3 0x y  ，则下列结论正确的有（ ） A．双曲线 C的方程为 2 2 1 4 12   x y B．若m n ，则 1 2| | | | 12PF PF  C．若射线 n所在直线的斜率为 k，则 ( )3, 3k Î - D．当 n过点 M（8，5）时，光由 2F P M  所经过的路程为 10 3 11．如下，某高速服务区停车场中有A至H 共 8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有 2辆黑 色车和 2辆白色车要在该停车场停车，则（ ） A B C D E F G H A．4辆车的停车方法共有 1680种 B．4辆车恰好停在同一行的方法有 48种 C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有 300种 D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的方法有 336种 三、填空题 12．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 13．设 1 2 3 6, , , ,a a a a 为1， 2，3， 4，5，6的一个排列，则满足 1 2 3 4 5 6 3a a a a a a      的 不同排列的个数为 . 14．南昌二中举办英语戏剧节，高二年级某班派出 7名同学前往参加，但是目前学校为该班提供 的是 4人表演的剧本，其中 A，B角色各 1人，C角色 2人．已知这 7名同学中有 4名男生，3名 女生，现决定让英语老师从他们 7人中选出 4人参加，其余 3人替补，要求选出的 4人中至少有 1 名女生，并且 A，B角色不可同时为女生．则该英语老师共有 种选择方式． 四、解答题 15．有 6名同学（包括甲乙）站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数是多少？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数是多少？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数是多少？（写出计算过程，最后结果 用数字表示） 16．已知抛物线E： 2 2y px （ 0p  ）的焦点为 F，过焦点F作直线 l交抛物线 E于 ,A B两点，D 为抛物线 E上的动点，且 DF 的最小值为 1. (1)抛物线E的方程； (2)若直线 l交抛物线 E的准线于点  1, 2C   ，求线段 AB的中点的坐标. 4 17．在梯形 ABCD中， //AB CD， π , 2 2 4, 2 ACB AB BC CD P     为 AB的中点，线段 AC与DP 交于O点（如图 1）.将 ACD 沿 AC折起到 ACD△ 位置，使得 2 2D B  （如图 2）. (1)求证：平面D AC 平面 ACB； (2)线段 PD上是否存在点Q，使得CQ与平面 BCD所成角的正弦值为 42 28 ？若存在，求出 PQ PD 的值；若不存在，请说明理由. 18．随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市 地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 15站的地铁票价如下表：（ Nx  ） 乘坐站数 0 4x  4 9x  9 15x  票价（元） 2 4 6 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 15站． (1)若甲、乙两人共付车费 6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付车费 8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？（写出计算过程，最后结 果用数字表示） 19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书 中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M 与两定点 ,Q P的距离的比值 ( 0, 1) MQ MP      是个常数，那么动点M 的轨迹就 是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 PQ上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆， 其方程为 2 2 2x y  ，定点分别为椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的右焦点 F 与右顶点A，且椭圆C的离心率为 1 2 e  . (1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点 F斜率为 ( 0)k k  的直线 l与椭圆C相交于 ,B D（点 B在 x轴 上方）两点，点 ,S T 是椭圆C上异于 ,B D的两点， SF平分 ,BSD TF 平分 BTD . ①求 BT DT 的取值范围；②将点 , ,S F T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 SFT△ 外接圆的周长为3 6π， 求直线l的方程. 1 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D D D B D BD AC 题号 11 答案 ABD 1．C【详解】因为 2 2 13n nA C  ，所以 3( 1)( 2)( 1) 2 n nn n    ，即 6n  故选：C 2．D【详解】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负， 所以集合  4,1,2,3A   中只有1, 2,3符合，集合  2, 1,0,3B    中只有 2, 1  符合， 所以第四象限的点 P有3 2 6  个， 故选：D 3．C【详解】   !C ! ! m n n n m m   ，       ! !C ! ! ! ! n m n n n n m n n m n m m        ，故 A正确；       1 ! !C C 1 ! 1 ! ! ! m m n n n n n m m n m m                   1 1 ! 1 !! C 1 ! ! 1 ! ! 1 ! ! m n n m n nm n n m m n m m n m m                ，故 B正确；   !A ! m n n n m   ，而     1 1 1 ! A ! m n m n m n m       ，故 C错误，D正确； 故选：C. 4．D【详解】将5个相同元素分成3组，采用隔板法： 即每班至少得到一个名额的不同分法种数是 24 6C  . 故选：D 5．D【详解】当个位是 0时，偶数有 44 24A  种， 当个位是 2或 4时，偶数有 1 1 32 3 3 36A A A  种， 所以共有 24+36=60种. 故选 D 6．D【详解】方案一：每个舱各安排 2人，共有 2 2 2 36 4 2 33 3 C C C A 90 A   （种）不同的方案； 方案二：分别安排 3人，2人，1人，共有 3 2 1 36 3 1 3C C C A 360 （种）不同的方案. 所以共有90 360 450  （种）不同的安排方案. 故选：D. 2 7．B 【详解】①A水闸关闭时，满足要求，此时 , , ,B C D E打开或关闭时均可，故此时有 42 16 种情况， ②若A水闸打开时，同时关闭 ,B C时，满足要求，此时 ,D E打开或关闭时均可，故此时有 22 4 种情况， ③若A水闸打开时，同时关闭 ,D E时，满足要求，此时 ,B C打开或关闭时均可，故此时有 22 4 种情况， 上面②③两种情况有重复的 1种情况，就是A水闸打开， , , ,B C D E同时关闭的情况， 故共有16 4 4 1 23    种情况. 故选：B 8．D 【详解】由题意知正方形 ABCD（边长为 2个单位）的周长是 8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A处的表示三 次骰子的点数之和是 8，16，故 A正确，B正确： 在点数中三个数字能够使得和为 8，16的有 125，134，116，224，233，466，556， 在组合 125，134，每种情况可以排列出 33A 6 种结果，共有 3 32A 2 6 12   种结果； 在 116，224，233，466，556各有 3种结果，共有5 3 15  种结果， 其中点数之和超过 10的走法为 466，556，共有3 2 6  种，故 C正确； 根据分类计数原理知共有12 15 27  种结果，故 D错误； 故选：D 9．BD 对于 D：先从6双不同颜色的鞋子中任选一双有 16C 6 种取法，再从剩余的5双鞋子中的任意两双，在这两双中各 选一只有 2 1 15 2 2C C C 40 ， 由分步乘法计数原理可得从6双不同颜色的鞋子中任取 4只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有6 40 240  10．AC 【详解】对于 A ，由题意可知， 2,a  因为双曲线 C的一条渐近线的方程为 3 0x y  ， 所以 3 2 b  ，即 2 3b  ，所以双曲线的方程为 2 2 1, 4 12 x y   故 A正确； 对于 B，由 2,a  2 3b  ，得  22 22 2 3 16c    ，解得 4c  ， 在 1 2PFF 中， 1 2 90F PF  ，由勾股定理及双曲线的定义知，  22 2 2 21 2 1 1 1 2 1 22 4 2 4PF PF PF PF PF PF a PF PF c         ， 即  22 21 2 4 482 4PF bPF ac     ，解得 1 2 24PF PF  ，故 B错误； 对于 C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为 3y x  ， 由双曲线的性质可得射线 n所在直线的斜率范围为  3, 3 ，故 C正确； 3 对于 D，由题意可知，  1 4,0F  ，当 n过点  8,5M 时， 由双曲线定义可得光由 2F P M  所经过的路程为    2 22 1 12 4 8 4 5 0 4 9F P PM F P PM a MF                ，故 D错误. 故选：AC. 11．ABD 【详解】对于 A，4辆车的停车方法共有 48A 1680 (种)，故 A正确； 对于 B，4辆车恰好停在同一行的方法有 1 42 4C A 48 (种)，故 B正确； 对于 C，2辆黑色车相邻且停在同一行有 6种，停在同一列有 4种，黑色车的停车方法共有(6+4) 22A 种， 白色车的停车方法共有 2 6A 种，故共有(6+4) 2 2 2 6A A 600  (种)方法，故 C错误； 对于 D，相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，第一辆黑色车 8个车位都可停车， 第二辆黑色车只能有 3个车位可停车，黑色车共有8 3 种方法， 不妨设黑色车停在 A F、 两个车位，则两白色车只能停 , , , , , ,BE BG BH CE CH DE DG共 7种选择， 白色车的停车方法共有 2 7 种方法，故共有8 3 7 2 336    （种）方法，故 D正确. 故选：ABD. 12． 12 【详解】由题知 1sin 30 2 ce a     ． 13． 48【详解】根据题意，若 1 2 3 4 5 6 3a a a a a a      ，则 1 2 3 4 5 6 1a a a a a a      ， 需要将1， 2，3， 4，5，6分成3组，其中1和 2，3和 4，5和6必须在一组， 每组 2个数，考虑其顺序，有 22A 种情况，三组共有 2 2 2 2 2 2A A A 8   种顺序， 将三组全排列，对应三个绝对值，有 3 3A 6 种情况， 则不同排列的个数为 4868  ； 故答案为： 48． 14．348【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类， 第一类：选出 1名女生，先从 3名女生中选 1人，再从四名男生中选 3人，然后安排角色，两名男生扮演 A，B角 色有 2 3A 种，剩余的 1名男生和女生扮演 C角色，或 A，B角色 1名男生 1名女生，女生先选有 1 2C ，剩下的一个角 色从 3名男生中选 1人，则 13C 种，所以共有 1 3 2 1 1 3 4 3 2 3C C (A C C ) 144  种， 第二类：选出 2名女生，先从 3名女生中选 2人，再从四名男生中选 2人，然后安排角色，两名男生扮演 A，B角 4 色有 2 2A 种，剩余的 2名女生扮演 C角色，或 A，B角色 1名男生 1名女生，选出 1名女生先选角色有 1 1 2 2C C ，剩下 的一个角色从 2名男生中选 1人，则 12C 种，所以共有 2 2 2 1 1 1 3 4 2 2 2 2C C (A C C C ) 180  种， 第三类：选出 3名女生，从先从 3名女生中选 3人，再从四名男生中选 1人，然后安排角色，A，B角色 1名男生 1 名女生，选出 1名女生先选角色有 1 13 2C C ，剩下的一个角色让男生扮演，余下的 2名女生扮演角色 C，所以共有 3 1 1 1 3 4 3 2C C C C 24 种， 由分类计数原理可得：店主共有144 180 24 348   种选择方式， 故答案为：348 . 15．(1)480 (2)480 (3)144 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余 5人，有 55A 种排法， 甲插空，有 1 4A 种，故共有 5 1 5 4A A 480 种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余 4人，有 44A 种不同排法， 甲乙两人再插空，有 25A 种，故共有 4 2 4 5 480A A  种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有 22A 种排法， 先排列其余 3人，有 33A 种，甲乙与丙再插空，有 2 4A 种排法， 故共有 2 3 2 2 3 4A A A 144 种不同排法． 16．(1) 2 4y x (2)  3,2 【详解】（1）由题意可知：抛物线 E的焦点 , 02 pF      ，准线为 2 px   ， 设  0 0 0, , 0D x y x  ，则 0 2 2 p pDF x   ，当且仅当 0 0x  时，等号成立， 可得 1 2 p  ，解得 2p  ，所以抛物线 E的方程为 2 4y x . （2）由题意可知：直线 l与抛物线 E必相交（斜率不为 0）， 设� �1, �1 , � �2, �2 ，线段 AB的中点  ,M MM x y ， 5 且直线 l过点  1, 2C   和� 1,0 ，则直线 l的方程 0 1 2 0 1 1 y x       ，即 1x y  ， 联立方程 2 1 4 x y y x     ，消去 x得 2 4 4 0y y   ，则 1 2 4y y  ，可知 1 2 22M y yy   ， 将�� = 2 代入 1x y  可得 1 3M Mx y   ，所以线段 AB的中点的坐标为  3,2 . 17．(1)证明见解析 (2)存在， 1 2 PQ PD   【详解】（1）因为 //AB CD， π , 2 2 4 2 ACB AB BC CD     ， 所以 2 24 2 2 3AC    ， 1sin 2 BCBAC AB    ，所以 π 6 BAC  ，则 π 6 ACD  ， 则  22 32 2 3 2 2 2 3 22AD        ， 又 P为 AB的中点，连接CP，则 AP CD 且 //AP CD， AD CD ，所以 APCD为菱形， 同理可得 PBCD为菱形，所以 1 1 2 OD BC  ， 所以 AC DP ，连接OB，则  222 3 7OB    ， 又 2 2D B  ，所以 2 2 2D O OB D B   ，即DO OB  ， 又D O AC  ， AC OB O ， ,AC OB 平面 ABC，所以DO 平面 ABC，=又DO 平面D AC ， 所以平面D AC 平面 ACB； （2）线段 'PD 上存在点Q，使得CQ与平面 'BCD 所成角的正弦值为 42 28 . 因为DO 平面 BAC，所以OA，OP， 'OD 两两互相垂直， 如图，以点O为坐标原点，OA，OP， 'OD 分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系， 则  3,0,0A ，  3,0,0C  ，  3, 2,0B  ，  0,0,1D ，  0,1,0P ， 则  3, 2,1BD   ，  3,0,1CD  ，设平面 'CBD的一个法向量为  2 2 2, ,n x y z ， 则 0 0 n BD n CD           ，即 2 2 2 2 2 3 2 0 3 0 x y z x z        ，令 2 1x  ，则 2 0y  ， 2 3z   ，  1,0, 3n   ， 设  0 1PQ PD      ，因为  3,1,0CP  ，  0, 1,1PD   ， 所以  3,1 ,CQ CP PQ CP PD            ， 6 设CQ与平面 'BCD 所成角为 ，则   2 3 1 42sin cos , 282 2 2 4 CQ n CQ n CQ n                  ， 即 26 13 5 0    ， 0 1  ，解得 1 2   或 5 3   （舍去）， 所以线段 'PD 上存在点Q，且 ' 1 2 PQ PD  ，使得CQ与平面 'BCD 所成角的正弦值为 42 28 . 18．(1)40种. (2)34种． 【详解】（1）若甲、乙两人共付车费 6元，则其中一人乘坐地铁站数不超过 4站，另外一人乘坐地铁站数超过 4站 且不超过 9站，共有 1 1 24 5 2C C A 40 （种），故甲、乙下地铁的方案共有 40种. （2）若甲、乙两人共付车费 8元，则甲比乙先下地铁的情形有两类： 第一类，甲乘地铁站数不超过 4站，乙乘地铁站数超过 9站且不超过 15站，有 1 14 6C C 24 （种）； 第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过 4站且不超过 9站，记地铁第五站至第九站分别为 5P， 6P， 7P， 8P ， 9P， 易知甲比乙先下地铁有以下四种情形： ①甲 5P站下，乙下地铁方式有 14C 种；②甲 6P站下，乙下地铁方式有 13C 种； ③甲 7P站下，乙下地铁方式有 12C 种；④甲 8P 站下，乙只能从 9P下地铁，共有 1种方式， 共有 10（种），依据分类加法计数原理，得 24+10=34（种）， 故甲比乙先下地铁的方案共有 34种． 19．(1) 2 2 1 4 3 x y   (2)①  1,3 BT DT  ；② 5 5y x   【详解】（1）方法 1：令   2 22,0 , 22 c cM aa      ，且 2a c ，解得 2 1c  ， 2 2 2 24, 3a b a c     ，椭圆C的方程为 2 2 1 4 3 x y   . 方法 2：设  ,M x y ，由题意 2 2 2 2 ( ) ( ) MF x c y MA x a y        （常数）， 整理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 c a a cx y x            ， 故 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 c a a c              ，又 1 2 c a  ，解得： 2, 1a c  . 2 2 2 3b a c    ，椭圆C的方程为 2 2 1 4 3 x y   .方法 3：设  ,M x y ，则 2 2 2x y  . 由题意 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 MF x c y x c x c cx MA x a y x a x a ax                  . 7 MF MA  为常数， 2 2 2 2 c c a a     ，又 1 2 c a  ，解得： 2 24, 1a c  ，故 2 2 2 3b a c   ，椭圆C的方程为 2 2 1 4 3 x y   . （2）①由角平分线定理知： BT BF DT DF  ，以下求 BF DF 的值， 令直线 BD的方程为： 1( 0)x my m   ，  2 22 2 1 3 4 6 9 0 1 4 3 x my m y myx y           （该方程的Δ 0 恒成立）， 设      1 1 2 2 1 2, , , ,B x y D x y x x .则 1 2 1 22 2 6 9, 3 4 3 4 my y y y m m        ， 再令 BF FD   ，即 1 2y y=- ，代入韦达定理得   2 21 2 22 2 2 2 1 2 22 2 6 61 (1 ) 43 4 3 4 9 9 3 4, , 3 4 3 4 m my y y mm m my y y m m                          ，由 2 0m  知， 2 2 4 40, 3 4 3 m m      ， 2(1 ) 4 10 3 3 3           ，又 0,m BF DF  ，故 1  ， 1 3   ，即  1,3 BT DT  . ②由①知， SB TB BF SD TD DF   ，由阿波罗尼斯圆定义知， , ,S T F在以 ,B D为定点的阿波罗尼斯圆上， 设该圆圆心为 1C ，半径为 r，与直线 l的另一个交点为N ，则有   2 * 2 BT BN r BF BF DF r DT DN r DF BF DF         ， 而  2 21 1 1 11 2 2 BF x y x     ，同理 2 12 2 DF x  ， 由①知，   2 1 2 1 2 2 2 6 82 2 3 4 3 4 mx x m y y m m           ，       2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 121 1 1 3 4 mx x my my m y y m y y m              ， 由  * 式     1 2 1 2 1 2 2 11 2 1 1 12 2 42 2 4 11 12 2 22 2 x x x x x x r x xx x                           2 22 21 2 1 2 2 2 22 2 1 1 2 2 2 8 4 1216 416 4 3 13 4 3 4 28 4 122 4 2 4 3 4 3 4 m x x x x mm m mmx x x x m m                    ， 由圆周长公式： 3 62π 3 6π 2 r r   ， 2 2 2 3 1 3 6 1 2 52 m m m      ， 50, 5 m m    ， 直线 l的方程为 5 1 5 5 5 x y y x       . 南昌二中 2024-2025 学年度上学期高二数学周练（五） 命题人：黄洁琼 一、单选题 1 ．若 ，则 n 的值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2 ．已知集合 A = {-4, 1, 2, 3} ，B = {-2, -1, 0, 3} ．现从集合 A 中取一个元素作为点 P 的横坐标，从集 合 B 中取一个元素作为点 P 的纵坐标，则位于第四象限的点 P 有 ( ) A ．16 个 B ．12 个 C ．9 个 D ．6 个 3 ．关于排列组合数，下列结论错误的是 ( ) A． Cn (m) = Cn (n)-m B ． Cn (m)+1 = Cn (m)-1 + Cn (m) C. 1 4 ．将 5 个相同名额分给 3 个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是 ( ) A ．60 B ．50 C ．10 D ．6 5 ．用 0 、1 、2 、3 、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ）个 A ．36 B ．72 C ．48 D ．60 6 ．6 名研究人员在 3 个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少 1 人，至多 3 人， 则不同的安排方案共有 ( ) A ．360 种 B ．180 种 C ．720 种 D ．450 种 7 ．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A ，B ， C ，D ，E 五个水闸，若上游有 充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有 ( ) A ． 24 种 B ． 23 种 C ． 15 种 D ． 7 种 1 学科网（北京）股份有限公司 8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边 长为 2 个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针 方向行走的单位，如果掷出的点数为i （ i = 1, 2, . . ., 6 ），则棋子就按逆时针方向行 走i 个单位，一直循环下去．某人抛掷三次股子后棋子恰好又回到点A 处，则下 列说法错误的是 ( ) A ．三次股子后所走的单位数可以是 16 B ．三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C ．三次股子的点数之和超过 10 的走法有 6 种 D ．回到点A 处的所有不同走法共有 24 种 二、多选题 9 ．下列说法正确的有 ( ) A ．某校开设A 类选修课4 门， B 类选修课2 门，每位同学需从两类选修课中共选4 门．若要求至 少选一门B 类课程，则不同的选法共有 20 种 B ．将数字 1, 1, 1,2,2,3,3,3 排成一排，可以得到 560 个不同的八位数 C ．将 5 本不同的书分给 4 个学生，每个学生至少一本，一共有 480 种不同的分法 D ．从 6 双不同颜色的鞋子中任取 4 只，其中恰好只有一双同色的取法有 240 种 10 ．已知双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2 ，双曲线具有如下光学性质：从右 焦点F2 发出的光线 m 交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射 光线 n 的反向延长线过左焦点F1 ，如图所示.若双曲线 C 的一条渐 近线的方程为 ，则下列结论正确的有 ( ) A ．双曲线 C 的方程为 B ．若，则 C ．若射线 n 所在直线的斜率为 k，则k ∈ D ．当 过点 （8，5）时，光由 所经过的路程为10 2 学科网（北京）股份有限公司 11．如下，某高速服务区停车场中有A 至H 共 8 个停车位（每个车位只能停一辆车），现有 2 辆黑 色车和 2 辆白色车要在该停车场停车，则 ( ) A B C D E F G H A ．4 辆车的停车方法共有 1680 种 B ．4 辆车恰好停在同一行的方法有 48 种 C ．2 辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有 300 种 D ．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的方法有 336 种 三、填空题 12 ．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为 . 13 ．设a1, a2, a3, … , a6 为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的一个排列，则满足a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 = 3 的 不同排列的个数为 . 14 ．南昌二中举办英语戏剧节，高二年级某班派出 7 名同学前往参加，但是目前学校为该班提供 的是 4 人表演的剧本，其中 A ，B 角色各 1 人，C 角色 2 人．已知这 7 名同学中有 4 名男生，3 名 女生，现决定让英语老师从他们 7 人中选出4 人参加，其余 3 人替补，要求选出的 4 人中至少有 1 名女生，并且 A ，B 角色不可同时为女生．则该英语老师共有 种选择方式. 四、解答题 15 ．有 6 名同学（包括甲乙）站成一排. (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数是多少？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数是多少？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数是多少？（写出计算过程，最后结果 用数字表示） 16 ．已知抛物线E ：y2 = 2px（p > 0 ）的焦点为F ，过焦点F 作直线l 交抛物线E 于 A, B 两点，D 为抛物线E 上的动点，且 DF 的最小值为 1. (1)抛物线E 的方程； (2)若直线l 交抛物线E 的准线于点C(-1, -2) ，求线段 AB 的中点的坐标. 3 学科网（北京）股份有限公司 17．在梯形 ABCD 中，AB//CD ，上ACB = AB = 2BC = 2CD = 4, P 为AB 的中点，线段 AC 与DP 交于 O点（如图 1）.将 △ACD 沿AC 折起到 △ACD 位置，使得DB = 2 (1)求证：平面D AC 丄 平面ACB ； (2)线段PD 上是否存在点Q ，使得CQ 与平面 BCD 所成角的正弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 18 ．随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市 地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过 15 站的地铁票价如下表：（x ∈ N* ） 乘坐站数 0 < x ≤ 4 4 < x ≤ 9 9 < x ≤ 15 票价（元） 2 4 6 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 15 站. (1)若甲、乙两人共付车费 6 元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付车费 8 元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？（写出计算过程，最后结 果用数字表示） 19 ．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书 中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M与两定点 Q, P 的距离的比值是个常数，那么动点M 的轨迹就 是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上. 已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆 其方程为x2 + y2 = 2 ，定点分别为椭圆的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为 . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点F 斜率为k(k< 0) 的直线l 与椭圆C 相交于B, D（点B 在x 轴 上方）两点，点S , T 是椭圆C 上异于B, D 的两点， 平分 平分 ①求 的取值范围；②将点S, F, T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的周长为3π , 求直线l 的方程. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$