12.12勾股定理的逆定理同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级上册

12.12勾股定理的逆定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．给出下列长度的四组线段：①，2；②，；③，8；④，，． 其中能组成直角三角形的有（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ）． A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．3，4，7 3．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（    ） A．三条边满足关系 B．三条边的比为2：3：4 C．三个角满足关系∠B+∠C=∠A D．三条边的比为1：1： 4．若三角形中的对边分别是a，b，c，下列条件不能说明三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．已知的三边分别是，，，下列条件中不能判断为直角三角形的是（    ） A． B．，， C． D．，， 6．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1、、 B．9、40、41 C．7、9、12 D．、、1 7．已知ΔABC的三边长为a、b、c，下列条件能够说明ΔABC是直角三角形的是（  ） A．a：b：c＝5：12：15 B．3a=4b=5c C．a：b：c＝1：2： D．a=b=c 8．以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A．8，15，17 B．4，6，8 C．3，4，5 D．6，8，10 9．在中，①若，则是直角三角形；②若，则是直角三角形；③若，则是直角三角形；④若，则是直角三角形．⑤，则是直角三角形．其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(其中a、b、c分别表示三角形的三边长)(　　) A． B． C． D． 11．已知a，b，c是的三边，下列条件中能够判断为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 12．下列条件中，使不是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 二、填空题 13．已知一个三角形的三边长分别为，，4，则这个三角形的面积为 ． 14．如图，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，D是AB的中点，P，Q分别是BC，DC上的动点，则AQ+QP的最小值是 ． 15．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，可以判断△ABC为直角三角形的是 ． （1）a2＝b2﹣c2；（2）∠A＝∠B﹣∠C；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a：b：c＝3：4：5；（5）∠A＝∠B＝∠C． 16．如下图，在四边形ABCD中，，，，，且，则四边形ABCD的面积为 ． 17．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线AD=4，则△ABC的面积为 ； 三、解答题 18．某中学想把校园内一块不太规则的荒地开辟为劳动实践基地，如图所示，测得四边形中，，请你计算出四边形的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出△关于轴对称的△； (2)直接写出△的面积为______； (3)请仅用无刻度的直尺画出△ABC的中线，保留作图痕迹． 20．吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点处，为附近的一条街道，已知点与直线上两点、的距离分别为和，，若吊车周围以内会受噪声影响． (1)求的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 21．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 22．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 23．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 24．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，，，，． （1）求证：． （2）求需要绿化部分的面积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B C C B A D 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】本题考查了根据勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形，用较短的两边的平方和与较长的边的平方相比较是解题的关键． 判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：①；②；③；④， 根据勾股定理的逆定理可知，能组成直角三角形的有②④， 故选B． 2．C 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、∵ ，∴2,3,4三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误； B、∵，∴3,4,6三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵，∴5,12,13三条线段能组成直角三角形，故C选项正确； D、∵，∴3,4,7三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 3．B 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A、三条边满足关系，即a2＋c2＝b2，故能判断一个三角形是直角三角形； B、三条边的比为2：3：4，22＋32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形； C、三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形； D、三条边的比为1：1：，12＋12＝（）2，故能判断一个三角形是直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可． 4．B 【分析】本题考查直角三角形的判定，如果有边长，则可利用勾股定理的逆定理进行判定；如果有角度相关条件，则利用有一个角是的三角形是直角三角形进行判定；根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理对各项逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，即， ∴， 此三角形是直角三角形；故不符合题意； B、设，则：，， ， 解得：， ， 此三角形不是直角三角形；故符合题意； C、∵ ，且， ， ， 此三角形是直角三角形；故不符合题意； D、∵， ∴设， ∵， 此三角形是直角三角形；故不符合题意； 故选：B． 5．B 【分析】根据三角形内角和定理可得A、C是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、D是否是直角三角形． 【详解】解：A、∵， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形判断． 6．C 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可． 【详解】A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、，故不是直角三角形，符合题意； D、，故是直角三角形，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是正确算出每个值的平方值． 7．C 【分析】利用勾股定理的逆定理对各项依次判定即可解答. 【详解】选项A， 设a：b：c＝5：12：15=k，则a=5k，b=12k，c=15k，∵ ， ， ，∴ΔABC不是直角三角形； 选项B，由3a=4b=5c可得a：b：c＝20：15：12，由选项A的方法可得，ΔABC不是直角三角形； 选项C，a：b：c＝1：2：，由选项A的方法可得，ΔABC是直角三角形且∠B为直角； 选项D，由a=b=c可得a：b：c＝：：1，由选项A的方法可得，ΔABC不是直角三角形. 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解决问题的关键. 8．B 【详解】试题解析：A. 故是直角三角形，故错误； B. 故不是直角三角形，正确； C. 故是直角三角形，故错误； D. 故是直角三角形，故错误. 故选B. 点睛：如果三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 9．A 【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①②⑤，根据勾股定理的逆定理即可判断③④． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确。 ∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°， ∴最大角∠C=180°×=75°＜90°， ∴△ABC不是直角三角形，故②错误。 ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故③正确。 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故④正确。 ∵，且， ∴ ∴, ∴， ∴是直角三角形，故⑤正确。 即错误个数为：1． 故此题选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键，如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 10．D 【分析】根据直角三角形的性质特征，对照选项判断即可． 【详解】根据勾股定理的三边关系式以及变形式可知，，，可以判断三角形是直角三角形；由，结合三角形内角和180°计算得∠C=90°，故选项A、B、C都可以判断三角形是直角三角形，不符合题意； 若，由三角形内角和180°，可得最大角为180°÷5×3=108°，此三角形是钝角三角形，故符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，由勾股定理的逆定理，三角形角度进行判断，掌握直角三角形的判定是解题的关键． 11．D 【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，设， 则：， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； C、，设， ∵， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴； ∴是直角三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及一个三角形的三边满足勾股定理，这个三角形是直角三角形，是解题的关键． 12．C 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答． 【详解】A、∵，∴是直角三角形； B、∵，∴是直角三角形； C、设a=b=2x，c=3x， ∵，， ∴， ∴不是直角三角形； D、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， ∵， ∴， 解得x=， ∴∠C=3x=， ∴是直角三角形； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握根据边或角判断直角三角形的方法是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴以，，4为三角形三边长的三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为． 故答案为：． 14．4.8 【分析】过点A作AE⊥BC交BC于点E，根据两点之间线段最短，这时AQ+PQ有最小值，即AE的长度，再运用S△ABC=AE•BC=AB•AC，得出AE的值，即AP+PQ的最小值． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E， 根据两点之间线段最短，这时AQ+PQ有最小值，即AE的长度， ∵AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°， ∵S△ABC=AE•BC=AB•AC， ∴． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短问题，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 15．（1）（2）（4）（5） 【分析】根据可化为，可判断（1）正确；根据可化为，可得是直角，能够判定是直角三角形；根据，可得，，，可判断（3）不正确；根据，可设，则，，得到，符合勾股定理的逆定理，能够判断（4）正确；根据，可得，，，可判断（5）． 【详解】解：∵可化为，满足勾股定理的逆定理，能够判定为直角三角形， 故（1）正确； ∵可化为，此时是直角，能够判定是直角三角形， 故（2）正确； ∵，可设，则，， ∴ ∴ ∴ ，，， ∴不是直角三角形，故（3）不正确； ∵，可设，则，， ∴，符合勾股定理的逆定理，能够判定为直角三角形， 故（4）正确； ∵， ∴，， ∴是直角三角形， 故（5）正确； 综上所述，可以判断为直角三角形的是：（1）（2）（4）（5）； 故答案是：（1）（2）（4）（5）． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理的逆定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形，熟悉相关性质是解题的关键． 16． 【分析】连接AC，在Rt△ABC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差． 【详解】连接AC， ∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm， ∴AC=5cm， ∵CD=12cm，DA=13cm， AC2+CD2=52+122=169=132=DA2， ∴△ADC为直角三角形，且∠ACD=90°， ∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC AC×CD-AB×BC ×5×12-×4×3 =30-6 =24． 故四边形ABCD的面积为24cm2． 故答案为：24cm2． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键． 17．24 【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接CE，如图所示，由D为BC的中点，得到CD=BD，再由一对对顶角相等，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=CE，由AE=2AD，AB的长，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，即AE垂直于CE，利用垂直定义得到一对直角相等，△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】延长AD到E，使DE=AD，连接CE． ∵D为BC的中点，∴DC=BD． 在△ADB与△EDC中，∵，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE=AB=6． 又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，则S△ABC=S△ACE=CE•AE=×6×8=24． 故答案为24． 【点睛】本考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的解答本题的关键． 18．四边形的面积 【分析】连接，则在直角中，已知，根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和． 【详解】解：连结，在中， 在中， 四边形的面积 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题中判定是直角三角形并计算其面积是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据图形的对称性，分别作A、B、C三点关于y轴对称的点、、，连接三点即得所求图形； （2）根据图形和条件可以得出是等腰直角三角形，由勾股定理求出直角边长，通过面积公式计算即得； （3）根据等腰三角形三线合一，利用格点作出高线即可得到的中线． 【详解】（1）（1）如图1所示，由点的对称性，作出A、B、C三点关于y轴对称的点、、，连接可得所求作图形； 图1 （2）由题意可知，，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴． 故答案为：； （3）如图1所示，BD即为所求． 【点睛】本题主要考查了对称的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理的应用、等腰三角形的三线合一的性质等知识，熟记几何图形性质是做题的关键． 20．(1) (2)会受到影响，会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）过点作于点，根据等面积法求出，结合题意可得街道上的居民会受到噪声的影响，当，时，此范围内的居民会受影响．由勾股定理得，推出，即可求解． 【详解】（1）解： ，，， ，， 是直角三角形， ； （2）街道上的居民会受到噪声的影响， 理由如下：如图，过点作于点， 由（1）得， ， ， 解得：， 吊车周围以内会受到噪声的影响， 街道上的居民会受到噪声的影响． 当，时，此范围内的居民会受影响． ， ， 即会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，即范围内的居民会受影响．（说法合理即可） 21．(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 22．(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 24．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由AD⊥CD，可得△ACD是直角三角形，根据勾股定理可求出AC=5，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5，可知 ，继而证得∠ACB= ； （2）根据S阴影=计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴为直角三角形， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴． （2） 答：需要绿化的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$