专题二　小几何压轴题-2025年中考数学一轮教材梳理（陕西）

专题二　小几何压轴题 题型1　运用图形对称性解决线段最值问题 1.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=60°,P是▱ABCD内一动点,且S△PBC=S△PAD,则PA+PD的最小值为 .  2.【原创好题】如图,在矩形ABCD中,EF为AD边上的动线段,且EF=1,连接BE,CF.若AB=2.5,BC=4,则BE+CF的最小值为 .  3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点M,N分别在AD,BC上,且AM=CN,点P在CD上(且点P不与点D,C重合),当MP+PN的值最小时,tan∠MPN的值是 .  4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,2AD>BC,E为AB的中点,EF∥AD,M为AD上一点,连接MB与EF交于点P,连接MC与EF交于点Q.若BC=CD=4,则△MPQ周长的最小值为 .  5.如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=120°,M是边BC上一动点,N是边AC上一动点,P是边AB上一动点,则PM+PN的最小值为 .  6.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 .  题型2　运用旋转变换解决最值问题 7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,将△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,取OA的中点E,CD的中点F,连接EF,则在旋转过程中,线段EF的最小值为 .  8.如图,正方形ABCD的边长为2,O是边BC的中点,E是正方形内一动点,且OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AE,OF,CF,则线段OF的最小值为 .  9.如图,在等边三角形ABC中,∠BPC=150°,BP=3,PC=4,M,N分别为AB,AC上两点,且AM=AN,则PM+PN的最小值为 .  10.(2024·高新一中模拟)如图,AD是等边三角形ABC的高,M是线段AD上一点,连接BM,以BM为边向右下方作等边三角形BMN,当BN+DN的值最小时,∠BMD的度数为 .  题型3　结合动点轨迹解决线段最值问题 11.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为BC边上一动点,将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F,则线段DF的最小值为 .  　　 12.如图,在边长为6的等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,F为BC上一点,EF=BD,G,M分别为AB,EF的中点,连接GM,则GM,的最小值为 .  13.如图,正方形ABCD的边长为16,点E,F分别在线段AB,AD上,且AF=8,AE=6,若点P,Q分别在线段BC,CD上运动,G为线段PF上的点,在运动过程中,始终保持∠GEB=∠GFA,则线段GQ的最小值为 .  　　 14.如图,在菱形ABCD中,AD=6,∠ADC=60°,点M在边DC上,且DM=4.将线段DM绕点D旋转,得到线段DN,连接BN,E是线段BN的中点,连接CE,则旋转一周的过程中线段CE的最大值是 .  15.如图,在△ABC中,AD,BE为中线,连接DE,若∠BAC=60°,BC=6,则DE的最大值为 .  16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是AC的中点,将CD绕点C逆时针旋转,在旋转的过程中点D的对应点为点E,连接AE,BE,则△AEB面积的最小值为 .  题型4　根据“定量”关系解决几何求值问题 17.如图,将等边三角形ABC沿着DE进行翻折,使点A的对应点A'落在BC上,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,若BA'=3,A'C=5,则的值为 .  　　 18.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AD上一点,EG⊥AC,连接EO并延长与BC交于点F,FH⊥BD,若AB=2,BC=3,则EG+HF= .  19.在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,点F在对角线BD上,且满足DE=BF,过点E,F分别向AD,CD作垂线,记垂足为G,H,若GE+FH=6,则菱形ABCD的周长为 .  　　 20.如图,在边长为6的等边三角形ABC中,D为边BC上任意一点,且不与点B、点C重合,DE⊥AB,DF⊥AC,则AD+DE+DF的最小值为 .  21.如图,在△ABC中,E为边AB的三等分点,BE<EA,F为边AC的中点,过点E,F分别作AC,AB的平行线,交点为D,若S△ABC=12,则四边形AEDF的面积为 .  题型5　以四边形为背景的面积关系问题 22.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E,F分别为AB,AD上的点,AB=10,AD=12,若S△BEO=S△FDO,则= .  23.如图,点E,G分别在平行四边形ABCD的边CB,CD的延长线上,BE=BC,连接DE,以DE,DG为邻边作平行四边形DEFG,点A在边FG上,记四边形BCDH的面积为S1,四边形DEFG的面积为S2,则S1∶S2的值为 .  24.如图,在菱形ABCD中,∠ABC是锐角,过点A作AE⊥BC于点E,作∠EAF=∠ABC,交CD于点F.连接EF,BD,若S菱形ABCD=25,=,则△AEF的面积为 .  25.如图,在▱ABCD中,E为BC的四等分点,F为AB的三等分点,其中AF<BF,CE<BE,连接AE,CF交于点M,记S△AFM=S1,S△MEC=S2,则= .  题型6　解决组合图形的动态最值问题 26.如图,☉M在矩形ABCD内部(☉M可与矩形边相切),AB=6,BC=8,☉M的半径为2,连接BM,CM,则BM+CM的最小值为 .  　　 27.如图,在边长为6的等边三角形ABC中,存在一半径为1的☉P,且☉P在等边三角形ABC的内部(含☉P与△ABC边相切),则点P可移动的最大范围(最大面积)是 .  28.如图,☉O在正方形ABCD的内部平移(☉O可以与该正方形的边相切),若点A到☉O上的点的最大距离为7,此时点A到☉O上的点的最短距离为5,则正方形ABCD的边长为 .  29.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AD平分∠BAC,BC=6,O为线段AD上的动点,若以点O为圆心,1为半径的☉O在△ABC内(☉O可以与△ABC的边相切),则点D到☉O上点的距离d的最大值为 .  题型7　通过图形构造解决几何问题 30.如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为 .  　 31.【原创好题】如图,在五边形ABCDE中,AE∥CD,AB∥DE,∠E=90°,∠ABC=135°,AE=DE=4,F为对角线AD的中点,则BF+AC的最小值为 .  32.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,E为边AB的中点,连接DE,满足∠EDC=90°,若AD+BC=20,AB=12,则线段DE的长为 .  参考答案 1.4　解析:如图,过点P作直线l∥AD,作点A关于l的对称点A',连接AA',交l于点E,交BC于点F,连接A'P,则A'P=AP,AE=A'E,AA'⊥BC, ∴AP+PD=A'P+PD, 当点A',P,D在同一直线上时,AP+PD的值最小,最小值等于A'D的长. ∵AB=6,∠ABC=60°, ∴BF=AB·cos 60°=3,AF=3. 又∵S△PBC=S△PAD, ∴AE=AF=2, ∴AA'=2AE=4. ∵BC=8,∴AD=8, 在Rt△AA'D中,A'D===4, ∴PA+PD的最小值为4. 2.5　解析: 如图,延长CB到点G,使得BG=EF,连接GF.∵EF∥GB,且EF=GB,∴四边形GBEF为平行四边形,∴BE=GF.作点C关于AD的对称点C',连接C'F,则C'F=CF, ∴BE+CF=GF+C'F≥GC',当C',F,G三点共线时,BE+CF最小. ∵GC=GB+BC=1+4=5,CC'=2CD=5, ∴GC'=5,即BE+CF的最小值为5. 3.　 解析:如图,作点N关于CD的对称点E,连接ME,交CD于点P,连接CE,此时MP+PN有最小值,过点M作MF⊥BC于点F, ∴CN=CE,PN=PE. ∵∠A=∠B=∠MFB=90°, ∴四边形ABFM是矩形, ∴AB=MF=2,AM=BF. ∵AM=CN,∴BF=AM=CN=CE, ∴BC=EF=2. ∵tan E===, ∴∠E=∠PNE=30°, ∴∠MPN=60°, ∴tan∠MPN=. 故答案为. 4.2+2　解析: 如图,作点C关于AD的对称点C',连接C'B与AD交于点M'. ∵AD∥EF∥BC,E为AB的中点,∴F为CD的中点, ∴根据平行线分线段成比例,P、Q分别为MB、MC的中点, ∴PQ为△MBC的中位线,PQ=BC,MP=MB,MQ=MC, ∴C△MPQ=C△MBC=(MB+MC+BC)=(MB+MC+4). ∵MB+MC=MB+MC'≥BC',∴(MB+MC)min=BC'===4, ∴C△MPQmin=×(4+4)=2+2. 5.2　解析: 如图,作点C关于AB的对称点C',连接AC',BC',则AC=AC'=BC=BC',∴四边形ACBC'是菱形,在AC'上取AN'=AN,连接PN',∴PN=PN',∴PM+PN=PM+PN', ∴当M、P、N'共线,且MN'⊥AC'时,PM+PN'最小.过点C'作C'H⊥BC于点H,∵∠ACB=120°, ∴∠C'BH=60°,∴C'H=BC'=2,∴PM+PN的最小值为2. 6.9.6　解析:∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD垂直平分BC,∴根据勾股定理AD=8,BP=CP. 如图,过点B作BQ⊥AC于点Q,BQ交AD于点P,则此时PC+PQ取最小值,最小值为BQ的长. ∵S△ABC=BC·AD=AC·BQ,∴BQ===9.6. 7.2　解析: 如图,连接OF.∵∠AOB=90°,OA=6,OB=8, ∴AB==10. 由旋转可知,CD=AB=10,∠COD=∠AOB=90°. ∵E为OA的中点,F为CD的中点, ∴OE=OA=3,OF=CD=5. 在△EOF中,OF-OE≤EF≤OF+OE,当E,O,F三点在同一直线上时取等号, ∴2≤EF≤8, ∴线段EF的最小值为2. 8.8　解析: 如图,连接DO,将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM,连接FM,OM. ∵∠EDF=∠ODM=90°, ∴∠EDO=∠FDM. 在△EDO与△FDM中, ∴△EDO≌△FDM(SAS),∴FM=EO=2. ∵在正方形ABCD中,AB=2,O是BC边上的中点,∴OC=BC=AB=, ∴OD==5, ∴OM==10. ∵OF+MF≥OM,∴OF≥10-2=8,∴线段OF的最小值为8. 9.5　解析:如图1,将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE, 则△PCE是等边三角形,∠AEC=∠BPC=150°,∠PEC=60°, ∴∠AEP=90°. ∵AE=BP=3,PC=PE=4, ∴PA==5. 如图2,将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN, 则△PAF是等边三角形,PM=NF, ∴PF=AP=5. ∵PM+PN=NF+PN≥PF, ∴PM+PN≥5, ∴PM+PN的最小值为5. 故答案为5. 10.60°　解析:如图1,取AB的中点E,作EF∥BC交AC于点F,连接EM、FM,则BE=AE=AB.∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,∴AB=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AD⊥BC,∴BD=CD=BC,∴BD=BE. ∵△BMN是等边三角形,∴BN=BM,∠MBN=60°,∴∠DBN=∠EBM=60°-∠CBM. 在△BDN和△BEM中, ∴△BDN≌△BEM(SAS),∴DN=EM. ∵∠EAF=60°,∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°,∴△AEF是等边三角形. ∵AD平分∠BAC,∴AD垂直平分EF,∴EM=FM,∴DN=FM,∴BN+DN=BM+FM. 连接BF,当点M落在线段BF上时,BM+FM的值最小,此时BN+DN的值最小. 如图2,点M在BF上.∵AF=AE=AB=AC,∴AF=CF,∴∠CBM=∠ABM=∠ABC=30°. ∵∠MDB=90°,∴∠BMD=90°-∠CBM=90°-30°=60°. 11.2　解析:如图,以B为原点,BC所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,过点F作FG⊥x轴于点G. 设BE=x, ∵四边形ABCD是正方形,FG⊥x轴, ∴∠ABE=90°=∠EGF,AB=BC. ∵将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F, ∴AE=EF,∠AEF=90°, ∴∠FEG=90°-∠AEB=∠BAE, ∴△ABE≌△EGF(AAS), ∴BE=FG=x,AB=EG=4, ∴BG=BE+EG=x+4, ∴F(x+4,x). ∵D(4,4), ∴DF==, ∴当x=2时,DF取最小值,最小值为2. 12.　解析: 如图,连接DM,在Rt△EDF中,M为EF的中点,则MD=EF=BD=BC=. 故点M的轨迹是以点D为圆心,半径为的半圆,当G,M,D三点共线时,GM的长最小. ∵G为AB的中点,∴GD=AB=3, ∴GMmin=GM'=GD-M'D=3-=. 13.7　解析:∵∠GEB=∠GFA,∠GEB+∠AEG=180°, ∴∠AEG+∠GFA=180°, ∴A,E,G,F四点共圆. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=90°, ∴EF是直径. 取EF的中点为O,以EF为直径作圆O,如图1,连接OG,OQ, ∵GQ≥OQ-OG,且OG=EF=×=5, ∴当O,Q,G三点共线,且OQ⊥CD时,OQ最小,GQ最小, 如图2,GQ最小,延长QO交AB于点H, 则OH⊥AE, ∴EH=AH. ∵OE=OF, ∴OH=AF=4, ∴GQ=16-4-5=7, 即线段GQ的最小值为7. 图1　　　图2 14.5　解析:如图1,延长BC到点F,使得BC=CF,连接NF,DF. ∵四边形ABCD是菱形, ∴CD=BC=CF=6,AD∥BC. 图1 ∵∠ADC=60°, ∴∠DCF=∠ADC=60°, ∴△CDF为等边三角形, ∴DF=CD=6. ∵E是BN的中点, ∴CE=FN, 当FN取最大值时,CE的值就最大, 由题意知,点N在以D为圆心,DM为半径的圆上, 图2 ∴当点F,D,N依次在同一直线上时,FN的值最大,如图2, 由旋转性质知,DN=DM=4, ∴CE的最大值为CE=NF=×(DN+DF)=×(4+6)=5. 15.6　解析: 根据题意,DE为△ABC的中位线,∴DE=AB. 如图,记△ABC外接圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD. ∵∠BAC=60°,∴∠BOD=∠COD=60°,BD=CD=BC=3,∴OB==6. ∵AB≤OA+OB=12,∴ABmax=12,即DEmax=×12=6. 16.1　解析: 如图,作CH⊥AB于点H. ∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5. ∵CH·AB=AC·BC, ∴CH=. ∵D是AC的中点,∴CD=2. ∵将CD绕着点C逆时针旋转,在旋转过程中点D的对应点为点E, ∴CE=2,即点E在以点C为圆心,半径为2的圆上. 当点E在HC上时,点E到AB的距离最小, ∴S△AEB min=×5×-2=1. 17.　解析:根据题意,∠B=∠DA'E=∠C=60°, ∴∠BDA'+∠DA'B=∠DA'B+∠EA'C=120°, ∴∠BDA'=∠CA'E, ∴△DBA'∽△A'CE,即=. ∵在等边三角形ABC中,BA'=3,A'C=5, ∴AB=BC=AC=3+5=8. 又∵C△DBA'=DA'+DB+BA'=8+3=11,C△EA'C=A'C+EC+A'E=5+8=13,∴==. 18.　解析: 如图,过点F作FP⊥OC于点P,可得△EGO≌△FPO, ∴EG=FP, ∴EG+HF=PF+HF. 根据矩形的性质,S△BOC=S矩形ABCD=×2×3=. ∵S△BOC=S△OBF+S△OCF=OB·HF+OC·PF=OB·(EG+HF)=,OB=BD=×=,∴EG+HF=. 19.16　解析: 如图,过点F作FM⊥BC于点M,连接CF,过点D作DN⊥BC于点N. 根据题意,△DGE≌△BMF, ∴GE=FM,即GE+FH=FM+FH=6. 在菱形ABCD中,∠A=∠BCD=60°,BC=DC, ∴△BCD为等边三角形. ∵S△BCD=S△BCF+S△DCF=BC·FM+CD·FH=BC·DN, ∴FM+FH=DN=6,即CD==4,故菱形ABCD的周长为16. 20.6　解析: 如图,过点C作CG⊥AB于点G. ∵等边三角形ABC的边长为6,∴AB=AC=BC=6, ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=AB·CG, 要使AD+DE+DF最小,只需AD最小即可,根据点到直线距离垂线段最短,当AD⊥BC时,AD最小,ADmin=6×=3,∴AD+DE+DF的最小值=3+3=6. 21.8　解析: 根据题意,四边形AEDF为平行四边形,连接AD,BD,BF, 则S△ADB=S△ABF=S△ABC=6.∵E为AB的三等分点, ∴S△ADE=S△ABD=4,即S四边形AEDF=8. 22.　解析: 如图,过点O作OG⊥AB,OH⊥AD,根据平行四边形的性质,得S△ABO=S△ADO, ∴==1,故=.又∵==1,∴=. 23.　解析:∵四边形ABCD和四边形DEFG都是平行四边形, ∴EF∥AB∥CG. ∵B是CE的中点, ∴H是ED的中点,A是FG的中点, ∴AH=BH,S2=2S平行四边形AHDG=4S△ADH. ∵AD∥BC, ∴∠HAD=∠HBE,∠ADH=∠BEH. 在△ADH和△BEH中, ∴△BEH≌△ADH(AAS), ∴S△BEH=S△ADH. ∵BH∥CD, ∴△EBH∽△ECD, ∴=2=2=, ∴=, ∴S四边形BCDH=3S△EBH,即S1=3S△EBH, ∴==. 24.8　解析:如图,连接AC. ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=90°, ∴∠ABE+∠BAE=90°,∠EAF+∠BAE=90°. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB=90°, ∴∠DAF+∠EAF=90°, ∴∠DAF=∠BAE, ∴△ABE≌△ADF(ASA), ∴AE=AF,BE=DF, ∴BC-BE=CD-DF, ∴CE=CF, ∴AC是EF的垂直平分线, ∴AC⊥EF, ∴EF∥BD, ∴△CEF∽△CBD, ∴==, ∴=2=2=. ∵S菱形ABCD=25, ∴S△ABC=S△BCD=S菱形ABCD=, ∴S△CEF=2. ∵=, ∴=, ∴S△ABE=S△ABC=×=, ∴S△ABE=S△ADF=, ∴S△AEF=S菱形ABCD-2S△ABE-S△CEF =25-15-2 =8. 25.2　解析: 如图,过点F作FG∥BC,与AE交于点G. ∵△AFG∽△ABE,∴==.∵=,∴CE=FG,即△FGM≌△CEM. ∵=,∴AG=GM=ME,∴S△AFG=S△FGM=S△MEC. ∵S1=S△AFG+S△FGM=2S△MEC,S2=S△MEC,∴==2. 26.4　解析:如图1,当☉M在矩形ABCD内部时,点M的运动区域为矩形EFGH, 要使BM+CM最小,点M需在线段FG上.如图2,作点C关于FG的对称点C',连接BC',与FG交于点M',连接MC',根据对称性,BM+MC=BM+MC'≥BM'+M'C'=BC', ∴BM+MC最小值为BC'.在△BCC'中,BC=8,CC'=4,故BC'==4. 图1　　图2 27.12-18　解析: 如图,当☉P与△ABC的边相切时,圆心P可移动的范围为△A'B'C', 根据题意,△A'B'C'∽△ABC,即A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC,且△A'B'C'的三边到△ABC的三边的距离相等, ∠A'AD=30°. 过点A'作A'D⊥AB,过点B'作B'E⊥AB,有AD==,同理BE=, ∴A'B'=DE=AB-AD-BE=6-2, ∴S△A'B'C'=A'B'2=×(6-2)2=12-18, 故点P可移动的最大范围(最大面积)是12-18. 28.6+　解析: 如图,☉O与CB,CD相切,过点O作OH⊥CD于点H,AF=7,AE=5. ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AC,∠ACD=45°. ∵CD为☉O的切线,∴OH为☉O的半径. ∵EF=AF-AE=7-5=2,∴OH=, ∴OC=OH=×=2, ∴AC=AE+OE+OC=5++2=6+2, ∴AB=×(6+2)=6+. 29.3　解析: 如图,当☉O与AB相切时,切点是H,☉O交AD于点P,M则点D到☉O上点的距离的最大值为DP的长.连接OH,则OH⊥AB. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵∠C=30°,∠B=90°, ∴∠BAD=∠CAD=∠C=30°, ∴AD=DC,∴BD=AD=DC. ∵BC=6,∴BD=2,AD=DC=4. ∵OH=AO,OH=1,∴AO=2. ∵OP=1,∴AP=AO-OP=1, ∴DP=AD-AP=4-1=3, ∴点D到☉O上点的距离的最大值是3. 30.　解析:如图,过点C作CK⊥l于点K,过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△AHB中, ∵∠ABC=60°,AB=2, ∴BH=1,AH=. 在Rt△AHC中, ∠ACB=45°, ∴AH=CH=, ∴AC===. ∵D为BC的中点,∴BD=CD. 在△BFD与△CKD中, ∴△BFD≌△CKD(AAS),∴BF=CK. 延长AE,过点C作CN⊥AE于点N,易知四边形CKEN为矩形, 可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN. 在Rt△ACN中,AN<AC. 当直线l⊥AC时,AN=AC=. 综上所述,AE+BF的最大值为. 故答案为. 31.2　解析:如图,延长AB交直线CD于点G. ∵AE∥CD,AB∥DE,∠E=90°,AE=DE, ∴四边形AGDE为正方形, ∴AG=DG,∠AGD=90°. ∵∠ABC=135°, ∴∠GBC=45°,∴△BCG为等腰直角三角形, ∴BG=CG, 延长DG至点M使得GM=DG. 又∵∠AGD=90°,∴∠BGM=90°, ∴△AGC≌△MGB,∴BM=AC. 连接MF,过点F作FH⊥DG于点H. ∵F为AD中点,∴H为DG中点, ∴HF=AG=2,GH=2. ∵BF+BM≥MF==2, 当M,B,F三点共线时,AC+BF存在最小值,最小值为2. 32.8　解析: 如图,延长DE,CB交于点F,延长BA,CD交于点G. ∵∠ABC=∠C,AD∥BC, ∴GB=GC,∠F=∠ADE,∠GAD=∠GDA,∴GA=GD, ∴GB-GA=GC-GD,故AB=CD=12. ∵∠F=∠ADE,AE=BE,∠AED=∠BEF, ∴△AED≌△BEF,∴AD=BF,DE=EF=DF, ∴AD+BC=FB+BC=FC=20. 在Rt△CDF中,FD===16,∴DE=DF=8. 学科网（北京）股份有限公司 $$