精品解析：山东省潍坊市昌邑市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学 2024.11 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，44分；第Ⅱ卷为非选择题，106分；共150分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效． 第Ⅰ卷（选择题，44分） 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，进而问题可求解． 【详解】解：根据关于y轴的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得点关于y轴对称点的坐标是， 故选：B． 2. 如图，，，添加下列哪个条件可以推证（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法进行推理即可．此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟知判定两个三角形全等的一般方法：、、、、是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， A、添加不能推证，不合题意； B、添加不能推证，不合题意； C、添加，得出，结合，，可利用能推证，符合题意； D、添加不能推证，不合题意； 故选：C． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据可以通分得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质进行化简计算，逐一判断即可解答．本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、即，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 在中，，，．以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，三角形面积计算，过点F作于H，根据三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得． 【详解】解：如图所示，过点F作于H， ∵，， ∴， ∴， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， 故选：C． 6. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. B. C. 三角形的一个角为 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点，根据选项中三个角的关系，利用三角形的内角和定理可分别求出三个角的度数，进而根据等腰三角形的判定可得出答案，理解等腰三角形的判定，灵活利用三角形的内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键． 【详解】A、∵， 又∵， ∴， 解得：， 此时不能确定∠B和∠C的度数，无法判定的形状，不符合题意； B、∵， 可设，，， 又∵， ∴， 解得：， ∴，，， 故不能判定为等腰三角形，不符合题意； C、三角形的一个角为，不能判定为等腰三角形，不符合题意； D、∵，， ∴， 故能判定为等腰三角形，符合题意； 故选：D． 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．） 7. 下列分式化简错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分，根据分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子分式的值不变进行求解即可． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简错误，符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简错误，符合题意； 故选：ABD． 8. 将分式进行变形，变形1是将分式的分子和分母都缩小为原来的，变形2是将分子和分母中x、y的值都扩大到原来的3倍，则关于两种变形说法错误的是（ ） A. 变形2的结果是原来的3倍 B. 变形1的结果缩小为原来的 C. 变形1和变形2的结果相等 D. 变形2的结果是变形1结果的12倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分子、分母都乘以四分之一然后化简可得变形1的结果，把原分式中的分别用替换，然后化简可得变形2的结果，再根据变形的结果逐一判断即可． 【详解】解：按照变形1变形后的分式为， 按照变形2变形后的分式为， ∴变形1的结果与原分式相等，变形2的结果是原来的3倍， ∴变形2的结果是变形1结果的3倍， ∴四个选项中B、C、D选项的说法错误，符合题意， 故选；BCD． 9. 如图，等腰三角形中，，将向下翻折，使点A，B重合，折痕为，交于点E，连接．则下列说法正确的是（ ） A. 平分 B. 若，则为等腰三角形 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，由折叠的性质得，可判断A正确；根据等腰三角形的性质和三角形定理得出，由三角形性质得，可判断B正确；当时，可判断C错误；根据可判断D正确． 【详解】解：由折叠得， ∴平分，故选项A正确，符合题意； ∵ ∴， 由折叠得， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形；故选项B正确；符合题意； 当时，； 当时，；故选项C错误；不符合题意； ∵， ∴ 由折叠得， ∴故选项D正确，符合题意； 综上，正确的结论是ABD， 故答案为：ABD． 10. 如图，等腰直角三角形中，，，D为中点．连接，作于点E，作交的延长线于点G，交于点F，连接．下列说法正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由余角的性质可证，故A正确；由“”可证，可得，即，故C错误；由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得，故D正确；若平分，则由角平分线的性质得到点D到的距离等于，由线段中点的定义得到，则由垂线段最短可知，此时，这与题意不符合，故B错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A正确，符合题意； 如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 若平分，∵， ∴点D到的距离等于， ∵点D是的中点， ∴， 由垂线段最短可知，此时，这与题意不符合， ∴不平分，故B错误，不符合题意； 故选：AD． 第Ⅱ卷（非选择题，106分） 三、填空题（本大题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为______ ． 【答案】13或14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形两边长分别为和，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为和， ∴当腰长是，，符合三角形的三边关系， 则； ∴当腰长是，，符合三角形的三边关系， 则； ∴这个等腰三角形周长为或， 故答案为：13或14 12. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得，则去分母可得，再解方程后并检验即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴， 故答案为；． 13. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先把原方程化为整式方程后求出，再根据分式方程有增根的情况是分母为0得到，即，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，再求出2024除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下： 由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到， ∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 四、解答题（本大题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【小问1详解】 解； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 16. 如图，，E是的中点． （1）请说明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：∵，E是的中点． ∴，， 在与中， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得到，，从而利用即可证得； （2）利用（1）中，得到，再利用，代入即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 17. 下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ……第四步 ……第五步 问题解答： （1）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； （2）请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】（1）一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 （2）见解析，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算:先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； 【小问2详解】 解： ； ∵，， ∴ 当时地，原式． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点， （1）作线段的垂直平分线，交于点E，则点E即为所求； （2）由（1）可知，，则，根据，可得，即可得出答案； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，连接， ∴， ∴， 则点E即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，等边中，平分，交于点D，过D作交于点E，连接．求证：． 【答案】 证明：∵为等边三角形，且平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线，即为等边三角形的角平分线， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，由等边三角形的性质和三线合一得出，，，由平行线的性质得出，，进而可得出，即为等边三角形，由等边三角形的性质可得出，等量代换可得出，由等边对等角可得出，再由平行线的性质可得出，进一步可得出为的角平分线，由三线合一可得出． 【详解】略 20. 某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完更省钱，说明理由． 【答案】（1）乙队单独完成需天． （2） 设甲、乙合作完成需y天，则有， 解得，y=48； ①乙单独完成需付工程款为：80×2.5=200（万元）． ②甲单独完成超过计划天数不符题意， ③甲、乙合作完成需付工程款为：48×（2.5+1.5）=192（万元）． 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【解析】 【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：乙20天的工作量+甲乙合作36天的工作总量=1． （2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可． 【小问1详解】 解：设乙队单独完成需x天． 根据题意，得：． 解这个方程得：x=． 经检验，x=是原方程的解． ∴乙队单独完成需天． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21. 如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． （1）请说明：； （2）若，判断与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）先证明，得到；再由，得到，则可证明，得到，据此可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． 22. 已知，在直角坐标系中，点A是x轴上的一点，且点A的坐标为． （1）如图1，点B的坐标为，以A点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角三角形．求点C的坐标； （2）如图2，P是y轴负半轴上任意一点，点P的坐标为．以P为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，且点D在第四象限，点D的纵坐标为n，请猜想m与n的等量关系并证明． 【答案】（1） （2） 如图2，过D作于Q点， ∵，轴交x轴于点E，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵D在第四象限，点D的纵坐标为n， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）过C作轴于M点，由“”证明，可得出，，即可求点C坐标； （2）如图2，如图2，过D作于Q点，可证四边形是矩形，可得，，即，由“”可明，可得，进而代入即可得； 正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【小问1详解】 ∵，， ∴，， 过C作轴于M点，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学 2024.11 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，44分；第Ⅱ卷为非选择题，106分；共150分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效． 第Ⅰ卷（选择题，44分） 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，添加下列哪个条件可以推证（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，．以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. B. C. 三角形的一个角为 D. ， 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．） 7. 下列分式化简错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 将分式进行变形，变形1是将分式的分子和分母都缩小为原来的，变形2是将分子和分母中x、y的值都扩大到原来的3倍，则关于两种变形说法错误的是（ ） A. 变形2的结果是原来的3倍 B. 变形1的结果缩小为原来的 C. 变形1和变形2的结果相等 D. 变形2的结果是变形1结果的12倍 9. 如图，等腰三角形中，，将向下翻折，使点A，B重合，折痕为，交于点E，连接．则下列说法正确的是（ ） A. 平分 B. 若，则为等腰三角形 C. D. 10. 如图，等腰直角三角形中，，，D为中点．连接，作于点E，作交的延长线于点G，交于点F，连接．下列说法正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，106分） 三、填空题（本大题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为______ ． 12. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为______． 13. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 14. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 四、解答题（本大题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 解分式方程 （1） （2） 16. 如图，，E是的中点． （1）请说明：； （2）若，，求的长． 17. 下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ……第四步 ……第五步 问题解答： （1）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； （2）请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上取一点E，使得，并说明作法的合理性； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 19. 如图，等边中，平分，交于点D，过D作交于点E，连接．求证：． 20. 某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完更省钱，说明理由． 21. 如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． （1）请说明：； （2）若，判断与的数量关系并说明理由． 22. 已知，在直角坐标系中，点A是x轴上的一点，且点A的坐标为． （1）如图1，点B的坐标为，以A点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角三角形．求点C的坐标； （2）如图2，P是y轴负半轴上任意一点，点P的坐标为．以P为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，且点D在第四象限，点D的纵坐标为n，请猜想m与n的等量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $