精品解析：山东省德州市2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟卷

2024-2025学年山东省德州市九年级（上）期末数学模拟卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 已知抛物线y＝－(x－1)2＋4，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 形状与y＝x2相同 C. 顶点(－1，4) D. 对称轴是直线x＝1 4. 计算的值等于 A. B. C. D. 5. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ） A. B. C D. 7. 如图，是等边三角形，点，，分别在，，边上，且若，则与面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A. 足球飞行路线的对称轴是直线 B. 足球距离地面的最大高度为 C. 足球被踢出时落地 D. 足球被踢出时，距离地面的高度是 9. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知等边三角形的边长是，为上一点，且，为上一点，，则线段的长是（    ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则长度是（    ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 14. 车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为__________． 15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m． 16. 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点．如图，若点在内，，则 ______；现将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是______． 17. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 _____． 18. 如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：①；②关于的一元二次方程的根是；③当时，随增大而减小；④；⑤．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义． （1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ； （2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率． 21. 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，可绕点开合，在边上有一固定点，支柱可绕点转动，边上有六个卡孔，其中离点最近的卡孔为，离点最远的卡孔为．当支柱端点放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得的长为，为，支柱为． (1)当支柱的端点放在卡孔处时，求的度数； (2)当支柱的端点放在卡孔处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．(结果精确到十分位) 22. 神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ （3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴、轴分别交于点，． （1）求反比例函数解析式和点的坐标． （2）求过，两点的最小圆的面积． 24. 学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，交y轴于点D． （1）求k的值； （2）当为等腰三角形时，求点D的坐标； （3）连接，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省德州市九年级（上）期末数学模拟卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键． 3. 已知抛物线y＝－(x－1)2＋4，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 形状与y＝x2相同 C. 顶点(－1，4) D. 对称轴是直线x＝1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线y＝−（x−1）2＋4，a＝−1＜0，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线y＝−（x−1）2＋4形状与y＝x2相同，此选项正确； C、抛物线y＝−（x−1）2＋4顶点坐标是（1，4），此选项错误； D、抛物线y＝−（x−1）2＋4对称轴是直线x＝1，此选项正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4. 计算的值等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】sin60°+cos45°=+=. 故选B. 点睛：熟记特殊角三角函数值. 5. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象为双曲线，当时，图象发布在第一、三象限，在每一象限，y随x增大而减小；当时，图象发布在第二、四象限，在每一象限，y随x增大而增大． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 6. 将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【详解】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30-2x)÷2=15-x， 则根据题意，列出关于x的方程为：15(15-x)x=600 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键． 7. 如图，是等边三角形，点，，分别在，，边上，且若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质先判定是等边三角形，再利用直角三角形中角的性质求得，，进而求得答案. 【详解】是等边三角形 ，， ， ， ∴， ， 是等边三角形， ， ，， ，， ， ， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质． 8. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A. 足球飞行路线的对称轴是直线 B. 足球距离地面的最大高度为 C. 足球被踢出时落地 D. 足球被踢出时，距离地面的高度是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据表格中的数据和题意可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 代入表中前三对值得， 解得， ∴， ∴足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A的结论正确，符合题意； 当时，取得最大值，此时， ∴足球距离地面的最大高度为，故选项B的结论错误，不符合题意； 当时，得或， ∴足球被踢出时落地，故结论C的结论错误，不符合题意； 当时，， ∴足球被踢出时，距离地面的高度是，故选项D的结论错误，不符合题意； 故选：A． 9. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点作的切线， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知等边三角形的边长是，为上一点，且，为上一点，，则线段的长是（    ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质及三角形的外角可得，由比例式即可求出的值． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，解题的关键是求得． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 11. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，由旋转可知：，，得出，证，得出，再根据勾股定理列出方程，即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， 由旋转可知：，， ，，三点共线， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 14. 车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式以及求反比例函数的自变量，设反比例函数为：，用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据函数值求自变量即可． 【详解】解：设反比例函数为：， 由函数图像可知，函数过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：， 当时，则：， 故答案为：30． 15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m． 【答案】8． 【解析】 【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题． 详解】连结OA， 拱桥半径OC为5cm， cm， m， cm， m m， 故答案为：8． 【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点．如图，若点在内，，则 ______；现将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】答空1：证明≌，推出，可得，答空2：如图中，设交于点证明，推出点在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出，可得结论； 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 如图中，设交于点， 同法可证≌， ， ， ， 点在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时， ， ，， ，， ≌， ， ， 的最小值， 故答案为：，， ； 【点睛】本题考查旋转变换，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，轨迹，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17. 四分仪是一种十分古老测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 18. 如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：①；②关于的一元二次方程的根是；③当时，随增大而减小；④；⑤．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键． 由题意知，抛物线图象开口向下，对称轴为直线，经过，交轴的正半轴，则，可得，可判断①的正误；关于对称轴对称的点坐标为，则关于的一元二次方程的根是，可判断②的正误；当时，随增大先增大后减小，可判断③的正误；将代入得，，则，可判断④的正误；由，可得，由，可知当时，，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，抛物线图象开口向下，对称轴为直线，经过，交轴的正半轴， ∴，即， ∴，①正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∴关于的一元二次方程的根是，②正确，故符合要求； 当时，随增大先增大后减小，③错误，故不符合要求； 将代入得，， ∴，④正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴当时，，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②④⑤． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先进行配方得到，然后进行开方即可； （2）先提取公因式即可得到，再解两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 20. 第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义． （1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ； （2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据简单的概率公式计算即可得出结果； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果，两人抽到的卡片上是相同名称的结果，然后求解即可． 本题主要考查了简单的概率计算及利用树状图或列表法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 【小问1详解】 ∵共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同， ∴随机抽去一张卡片，上面写有“菊”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 把写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为A、B、C、D，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同的结果有4种， ∴． 故两人抽到的卡片上是相同名称的概率为． 21. 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，可绕点开合，在边上有一固定点，支柱可绕点转动，边上有六个卡孔，其中离点最近的卡孔为，离点最远的卡孔为．当支柱端点放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得的长为，为，支柱为． (1)当支柱的端点放在卡孔处时，求的度数； (2)当支柱的端点放在卡孔处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．(结果精确到十分位) 【答案】(1)；(2)相邻两个卡孔的间距为． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，根据勾股定理，，故，在中，可得的度数；（2）作，垂足为点，在中，根据三角函数求PE，OE， 在中，求EQ，可得，可求出结果． 【详解】解：(1)如图1，作，垂足为点， 在中，根据勾股定理，． 同理，(，为同一点)． ∵，，， ， 解得． 在中， ∴， 即． (2)如图2，作，垂足为点， 在中，． ． 在中，， ∴．(，为同一点) ∴． ． ∴相邻两个卡孔的间距为． 【点睛】考核知识点：解直角三角形和实际问题．理解三角函数的意义是关键． 22. 神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ （3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值． 【答案】（1） （2）当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式． （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值． （3）将1200元代入新函数，先求解的值，再根据最大利润为1250元进行检验即可得到的m． 【小问1详解】 设解析式为 根据图像可知，点在上 ∴，解得 ∴y与x的函数关系式为 【小问2详解】 设每天获利w元，根据题意得 ∵， ∴当时，w取最大值为1250， 答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． 【小问3详解】 由（2）知，当w最大时， ，解得，， ∵当时，时，当时，w最大， 即． 【点睛】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，与轴、轴分别交于点，． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标． （2）求过，两点的最小圆的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入解方程得到，把代入解方程求得反比例函数表达式，再解方程组即可得到结论． （2）根据题意得过，两点的最小圆是以线段为直径的圆，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解方程组，勾股定理，圆的面积，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 小问1详解】 解：把点代入得，， ， 把代入得， 反比例函数的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标； 【小问2详解】 解：过，两点的最小圆是以线段为直径的圆， 由（1）知，，， ， 过，两点的最小圆的面积为． 24. 学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②； 【解析】 【分析】由圆周角定理可得出答案； 取的中点，连接、由直角三角形的性质证明点A、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； 在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、由圆周角定理及勾股定理可得出答案； 【详解】解：是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； 如图，取的中点，连接、， ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ， 故答案为：； 在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、， ， ， ， 在中，， ，为圆心， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，交y轴于点D． （1）求k的值； （2）当为等腰三角形时，求点D的坐标； （3）连接，求面积的最大值． 【答案】（1）4； （2）； （3）2． 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形面积最值、等腰三角形的存在性问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）分三种情形①当时，②当时，③当时分别求解即可解决问题； （3）设，求出直线的表达式，进而求出点D 的坐标，利用得关于m的二次函数，根据二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：把代和，得， 所以k的值是4； 【小问2详解】 解：①当时，如图所示， 当时，， ， ， 在中，，即， ， ； ②当时，此时，如图所示： 点P在第四象限，不符合题意； ③当时，， 则，如图所示： 点P在第四象限，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设， ， 设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， ， 点D 的坐标为， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 面积的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$