21.1 一元二次方程 教案 2024--2025学年人教版九年级数学上册

课程基本信息 课题 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 教材 人教版九年级上册 教学目标 1.经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使学生体会到方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型 2.使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程一般形式，并能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项 3.通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习使学生对概念理解具备完整性和深刻性 教学重点 理解一元二次方程的概念及其有关概念 教学难点 从实际问题中抽象出一元二次方程 正确识别一般式中的“项”及“系数” 教学过程 一、创设情境，引入新课 1.什么叫方程?我们学过哪些方程? 2.什么叫一元一次方程?方程的“元”和“次”是什么意思? 二、情境引入 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高? 雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系 AC：BC=BC:2 即BC2=2AC 设雕像下部BC高xm，则AC=2-x 得方程：x2=2(2-x) 整理得：x2+2x-4=0 ① 方程①是我们之前学习的一元一次方程吗? 设计意图：本节课是本章的起始课，将章前图片和本节课的问题一起展示，激发学生的兴趣和求知欲。同时让学生体会在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，引发学生思考方程的建模过程 三、分析问题，展开研究 知识点一：一元二次方程的概念 问题：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 解:设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得(100-2x)×(50-2x)=3600 化简，得x2-75x+350=0 ② 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少? 问题：要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 全部比赛场数为：4×7=28 设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1) 列方程得：x(x-1)=28 化简得：x2-x-56=0 ③ 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少? 由上述三个问题，得到三个方程 x2+2x-4=0 ① x2-75x+350=0 ② x2-x-56=0 ③ 特点： ①都是整式方程 ②都只含一个未知数 ③未知数的最高次数都是2 那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同点呢? 一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) ax2称为二次项，a称为二次项系数，bx称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。为什么规定a≠0? 例：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项 解：去括号，得3x2-3x=5x+10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10 注意：系数包含前面的符号 设计意图：由于学生已经熟练掌握了一元一次方程的概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生归纳共同点是符合学生的认知基础的，本环节为学生提供了多次活动，学生自主的观察、比较、归纳是活动有效性的保证，让学生进行充分的探索和交流。同时，在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法 知识点二：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 例：判断下面这两个数是不是方程x2-x-2-0的根? -3，-1 解：当x=-3 时，左边=9-(-3)-2=10，右边=0，则左边≠右边， 所以-3不是方程x2-x-2-0的解 当x=-1时，左边=1-(-1)-2=0，则左边=右边， 所以-1是方程x2-x-2-0的解 设计意图：本环节的设置是为了及时巩固概念，让学生切实理解一元二次方程的一般形式及识别各项 四、应用新知，提升能力 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( A. ax2+bx+c=0 B.x2+1-x2-0 C.x2 +=2 D.x2-x-2-0 2.把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是（） A.1，-3，10 B.1，7，-10 C.1，-5，12 D.1，3，2 3.方程x2+x-12=0 的两个根为（） A.x1=-2，x2=6 B.x1=-6，x2=2 C.x1=-3，x2=4 D.x1=-4，x2=3 设计意图：通过练习引导学生分析题目特征、探索解题思路，进一步理解掌握本节重点难点——理解一元二次方程的概念及其有关概念，正确识别一般式中的“项”及“系数”，以逐步培养学生形成良好的审题、解题习惯 五、课堂小结 这节课我们学了哪些知识? 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的根 今天学习了有关一元二次方程的定义及相关的知识，根据我们之前的学习经验，同学们还会学习哪些知识呢? 设计意图：引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，帮助学生全面理解，掌握所学的知识，同时也培养了归纳的能力 教学反思 本节内容是九年级上册数学第二十一章的第一节，主要介绍一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念，是典型的概念教学课.概念教学总是循着这样的规律：引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念，在教学中首先通过两个引例让学生建立一元二次方程，并同时观察归纳出一元二次方程的概念，使学生体会到学习一元二次方程的必要性，然后探讨一元二次方程的一般形式，并通过例题和练习加以理解和深化。教学过程中，强调自主学习，注重交流合作，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力 学科网（北京）股份有限公司 $$