精品解析：山东省诸城第一中学春考部2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

诸城市春考部2024—2025上学期月考考试试题 数学试题 第I卷（选择题，共60分） 一､选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1. 已知全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 在数列中，满足，则等于（ ） A. 98 B. C. 45 D. 6. 如图，四边形ABCD是梯形，，则（ ） A. B. C. D. 7. 圆心为且于直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 把4个不同的球，任意投入3个不同的盒子中，共有不同的投法的种数有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 10. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是（ ） A. B. C. 160 D. 560 12. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 13. 若角的终边过点，则等于（ ）． A. B. C. D. 14. 已知向量和，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 对于函数与且的图像，位置关系正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 若双曲线的焦距为6，则k的值是（ ） A. 7 B. 2 C. 14 D. 4 17. 盒子内有9支铅笔，其中红色铅笔5支，蓝色铅笔4支，从中任取2支，恰好取到颜色相同的铅笔的概率（ ） A. B. C. D. 18. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 19. 在中，已知，，且，则的面积为（ ）． A. 6 B. C. 3 D. 20. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 16 B. 32 C. 49 D. 96 第II卷（非选择题，共60分） 二､填空题（本题分为5道小题，每题4分，共20分） 21. 已知，则等于__________. 22. 不等式的解集为__________. 23. 已知函数，若，则实数的值为__________. 24. 某单位有老､中､青年职工共计430人，青年职工160人，中年职工数是老年职工数的两倍，为了解职工身体健康状况，现采取分层抽样的方法进行调查，在抽样的样本中有青年职工32人，则该样本中，老年职工人数为__________. 25. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则椭圆的离心率为__________. 三､解答题（26题6分､27题8分､28题8分，29题8分､30题10分，共40分） 26. 已知函数且，函数在上最大值和最小值的乘积是．求： （1）实数的值； （2）满足不等式的实数的取值范围． 27. 在等比数列中，已知公比，且，．求： （1）数列的通项公式； （2）数列前10项的和． 28. 如图所示，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点，．求证： （1）平面； （2）． 29. 在中，内角所对的边分别为.且. （1）求角的大小： （2）如果函数，求函数的单调区间. 30. 设椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸城市春考部2024—2025上学期月考考试试题 数学试题 第I卷（选择题，共60分） 一､选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1. 已知全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念运算即可. 【详解】已知全集， 集合， 则， . 故选：C. 2. 已知复数，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，再根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为复数， 所以. 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据0和负数无对数，和指数幂，底数不为0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 已知函数是奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用求函数值即可. 【详解】因为为奇函数，则满足， 则， 故选：A. 5. 在数列中，满足，则等于（ ） A. 98 B. C. 45 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析递推公式得到公差，再代入等差数列通项公式求第25项即可. 【详解】， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 记作公差为， 根据等差数列通项公式. 故选：C. 6. 如图，四边形ABCD是梯形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加法运算结合四边形ABCD求解即可. 【详解】如图，四边形ABCD是梯形， 则. 故选：B. 7. 圆心为且于直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离即为圆的半径，利用点到直线的距离公式求出半径即可得到圆的方程． 【详解】设圆的半径为r， 圆心到直线的距离，故， 所以圆的方程为． 故选：A． 8. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据倾斜角得到直线斜率，再列出直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以斜率， 又直线过点，所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为， 故选：C. 9. 把4个不同的球，任意投入3个不同的盒子中，共有不同的投法的种数有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数法即可求解. 【详解】每一个球都有3种不同的投法， 根据分步计数法可知，4个球总共的投法有种， 故选：D. 10. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，代入解析式中，求出，再由列方程求解即可. 【详解】已知， 令，则， 即， 由得， 解得. 故选：A. 11. 已知的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是（ ） A. B. C. 160 D. 560 【答案】B 【解析】 【分析】先由二项式的项数求解n的值，再由二项式的增减性即可求解. 【详解】因为的二项展开式有7项，所以，即， 则展开式中二项式系数最大的项为第项， 所以， 所以二项式系数最大的项的系数是. 故选：B. 12. 不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】， ， 解得：， 所以不等式的解集为. 故选：B. 13. 若角的终边过点，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角的终边上一点套公式求角的三角函数值即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以，，， 所以． 故选：. 14. 已知向量和，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相等向量和相反向量的概念即可判断. 【详解】由可得，但时不一定成立，可能存在方向相反的情况， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 15. 对于函数与且的图像，位置关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和对数函数的图像性质求解即可. 【详解】且，则图像为，排除选项C，D. ，则图像为， ，则图像为，排除选项B. 故选：A. 16. 若双曲线的焦距为6，则k的值是（ ） A. 7 B. 2 C. 14 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用，即可求解. 【详解】由于， ，， ， 又， . 故选：D. 17. 盒子内有9支铅笔，其中红色铅笔5支，蓝色铅笔4支，从中任取2支，恰好取到颜色相同的铅笔的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出从9支铅笔中，任取2支的基本事件的总数，再求出恰好取到颜色相同的铅笔的基本事件的个数，最后运用古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知有9支铅笔，任取2支，共有个基本事件， 其中红色铅笔5支，蓝色铅笔4支， 则恰好取到颜色相同的铅笔有个基本事件， 所以恰好取到颜色相同的铅笔的概率为. 故选：C. 18. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合题设题设条件得到，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，， 又，所以得到， 即， 又，所以或，即或， 故选：C. 19. 在中，已知，，且，则的面积为（ ）． A. 6 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，从而可求，再利用面积公式可求解. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理得， 又C是三角形的内角， 所以， 所以． 故选：D 20. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 16 B. 32 C. 49 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知几何体是正四棱锥，进而依据正四棱锥的体积公式求解即可； 【详解】 由几何体的三视图可知，几何体是底面边长为4，高为6的正四棱锥； 所以其体积为， 故选：B. 第II卷（非选择题，共60分） 二､填空题（本题分为5道小题，每题4分，共20分） 21. 已知，则等于__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式、两角差的正切公式与同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，解得， 所以, 故答案为： 22. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】或或. 不等式的解集为 故答案为：. 23. 已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将代入合适的解析式中，求出，再将的值代入合适的解析式中列方程求出的值. 【详解】已知函数， 且，则， 所以， 即，解得. 故答案为：. 24. 某单位有老､中､青年职工共计430人，青年职工160人，中年职工数是老年职工数的两倍，为了解职工身体健康状况，现采取分层抽样的方法进行调查，在抽样的样本中有青年职工32人，则该样本中，老年职工人数为__________. 【答案】18 【解析】 【分析】先计算中年职工和老年职工的人数，再根据分层抽样比计算. 【详解】中年职工数是老年职工数的两倍，令老年职工数是人，则中年职工数是人， 即，得到人， 老年职工数是人，则中年职工数是人， 令样本中的老年职工有人，根据分层抽样的原理，则，得到人， 故答案为：. 25. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则椭圆的离心率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，椭圆离心率的求法，即可求解. 【详解】根据题意，设椭圆方程为， 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 设直线方程为， 又椭圆中心到的距离为其短轴长的， ， ， 离心率. 故答案为：. 三､解答题（26题6分､27题8分､28题8分，29题8分､30题10分，共40分） 26. 已知函数且，函数在上最大值和最小值的乘积是．求： （1）实数的值； （2）满足不等式的实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性列式即可求解 （2）由（1）可知，则原不等式为，根据对数函数的单调性列式即可求解. 【小问1详解】 因为函数且是指数函数， 所以函数的最值在区间的端点上取得， 所以由，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，所以原不等式为， 因为函数在定义域上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 27. 在等比数列中，已知公比，且，．求： （1）数列的通项公式； （2）数列前10项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出首项和公比，再代入等比数列的通项公式即可. （2）求出等比数列前n项和，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 因为， 所以， 即， 又因为公比， 所以， 所以， 所以通项公式． 【小问2详解】 因为等比数列的前n项和， 所以． 28. 如图所示，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点，．求证： （1）平面； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）先证明线面垂直，再由线面垂直即可得到线线垂直. 【小问1详解】 在直三棱柱中，， 因为在中D，E分别为，的中点， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为直三棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为在中，E为的中点，且， 所以， 因为，平面， 平面， 所以平面， 因为平面， 所以. 29. 在中，内角所对的边分别为.且. （1）求角的大小： （2）如果函数，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）为增区间，为减区间. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，即可求解. （2）先根据两角和差的正弦公式化简，再根据正弦函数的单调性求解. 【小问1详解】 因为在中，， 所以根据正弦定理可知，即， 得到， 又，，所以，即. 【小问2详解】 因为，， 所以得到， 根据正弦函数的性质，当即，函数单调递增， 所以为增区间， 当，即，函数单调递减， 所以为减区间. 综上所述，为增区间，为减区间. 30. 设椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点的坐标. 【答案】（1） （2）中点坐标 【解析】 【分析】（1）根据离心率和椭圆上点的坐标求解. （2）写出直线方程，联立直线与椭圆方程，得到两交点坐标关系，求解. 【小问1详解】 ∵椭圆过点，代入方程得 ，得到. 离心率，即，. 且， 故得到，. 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 设过点且斜率为的直线与椭圆相交与两点. 直线方程为，代入椭圆方程，得到，， 化简得，. 根据韦达定理，. 所以，直线被椭圆所截线段的中点的横坐标为，代入直线方程，得到. 故线段中点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $