2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试题

2024-2025学年高二上学期期末模拟 （范围：人教A版（2019）第一章至第四章） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D D B C D AC BD AC 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【解析】D由于的斜率为，故倾斜角满足， 又，从而. 2. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 【解析】C由题设， 结合，得. 3. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. C. D. 【解析】A 数列是公差为2的等差数列， ，， 成等比数列， ，即，解得. 4. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 5. 已知双曲线的离心率为 ，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由题意可得，可得， 因此，双曲线的渐近线方程为. 6. 如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【解析】B 在平行六面体 中，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 . 7. 设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由点关于原点对称，得线段互相平分，则四边形为平行四边形， 由，得，则是矩形，，， 设，由，得， 由，得，整理得， 而 所以的离心率． 8. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题： ①当时，是函数的一个对称中心； ②当时，函数在上单调递增； ③函数的值域是； ④对任意的实数，任意的正整数，恒成立. 其中是真命题的为（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 【解析】D 由集合的子集个数为知，，所以，， 对于①：，所以， 因为， 所以不是函数的一个对称中心，故①错误； 对于②：因为，所以，令， 则在上单调递增，所以函数在上单调递增，故②正确； 对于③：， 所以当时，取最大值，所以当时，取最小值， 即函数的值域是，故③正确； 对于④：，故④正确； 综上，真命题为②③④. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 【解析】AC ， ， 当时，，选项A正确； 故， 选项B错误； 数列的前项和为 , 选项C正确； 又 , 选项D错误. 10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 【解析】BD 由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 11. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（ ） A. B. 的最小值为1 C. （为原点）的最大值为 D. 的最小值不可能为6 【解析】AC 对于选项A，因为点在上，所以，得到，所以，故选项A正确， 对于选项B，易知直线斜率不为，设， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由，消得到， 由韦达定理得， 又， 当直线的斜率不存在时，， 所以，故选项B错误， 对于选项C，当直线的斜率不存在时，， 此时， 当直线的斜率存在时，设， 则， 又 ， 由选项B知，， 所以， 易知，时，，时，， 又的两根为或， 可得， 所以，所以选项C正确， 对于选项D，， 由选项B知，当直线的斜率存在时，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时斜率存在，所以选项D错误. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，则__________. 【解析】设公比为，因为，所以由得，即，解得， 所以. 13. 已知分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点 P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为_________. 【解析】由为等腰三角形，，则有，而， ，若，则，， 由，得，则， 在中，， 在中，， ，即，整理得，则. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【解析】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前2024项和. 【解析】（1）设数列的公比为，则. 因为是和的等差中项，所以， 即， 解得或（舍去）或（舍去） 所以. （2）由（1）知 ， . ， 故的前2024项和. 16. 已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与只有一个公共点，求的值. 【解析】（1）设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. （2）由圆，可得为圆， 则满足，解得，且圆心，半径， 又由圆心，半径为3， ①当两圆内切，可得，即， 整理有：，解得： ②当两圆外切，可得，即， 整理有：，解得： 且满足，所以或. 17. 如图，在平面五边形中，，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点． （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）翻折前，在平面五边形中，，，，， 则， 翻折后，在四棱锥，且，， 所以，，则，所以，， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，则四边形为平行四边形，则， 所以，， 因为为的中点，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，故. （2）因为，且，所以，，则， 因为平面，，则平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 因为，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 19 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【解析】（1）可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. （2）设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末模拟 （范围：人教A版（2019）选择性必修第一章至第四章） 满分：150分 考试时间：120分钟 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. C. D. 4. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为 ，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体 中，底面和侧面都是正方形，，点P是与的交点，则 （ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 7. 设椭圆的左､右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题： ①当时，是函数的一个对称中心； ②当时，函数在上单调递增； ③函数的值域是； ④对任意的实数，任意的正整数，恒成立. 其中是真命题的为（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 11. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（ ） A. B. 的最小值为1 C. （为原点）的最大值为 D. 的最小值不可能为6 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，则__________. 13. 已知分别是椭圆 的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点 P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为_________. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前2024项和. 16. 已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与只有一个公共点，求的值. 17. 如图，在平面五边形中，，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点． （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 19 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$