精品解析：河北省承德市第八中学2025届高三上学期11月份月考数学试卷

河北省承德市第八中学 2024--2025学年第一学期高三年级数学11月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. i 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得正确答案. 【详解】由于，所以. 故选：D 3. 函数的图像与轴的两个相邻交点的距离是，若将的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，结合函数的周期求出，即可求出解析式，再根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】因为， 又函数的图象与轴的两个相邻交点的距离是， 所以，解得，所以， 将的图象向左平移个单位长度得到， 将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到， 即. 故选：A 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，再计算导函数值得出切线斜率，最后应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由，得， 当时，， 故曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 5. 已知平面向量 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，利用可得结果. 【详解】∵，∴， ∴. ∵，∴，即， ∴，故. 故选：D. 6. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法中不正确的是（ ）. A. “，”的否定是“，” B. “”的必要不充分条件是“” C. “且”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称命题的否定以及充分、必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】对于A.“，”的否定是“，”，故A错误； 对于B.因为的解为或， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C. 当且时，， 但，不一定有且，如时，故C错误； 对于D. 当时，有成立，当，不一定有， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：AC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法求出的函数值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，选项A正确. 对于B，定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，选项B错误. 对于C，令，则， 函数可变形为，对称轴为直线，函数在上为增函数. 当时，，故函数的值域为，选项C正确. 对于D，由函数的定义域为得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据已知等式化简得出再应用基本不等式判断A,结合取值范围判断B，C,再应用立方和公式结合已知条件，应用不等式取等条件判断D. 【详解】由，得， 所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； 取，，可得，，满足条件， 此时则，A错误； 由，得， 所以， 第二个等号在，即时成立，故两个等号不同时成立， 因此，D正确； 取，，可得，，满足条件， 此时，C错误； 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方关系、角的范围算得，进一步算出的值即可得解. 【详解】因为，所以． 又， 所以， 所以，所以． 故答案为：. 13. 已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解化简求解,即可将必要条件转化为，进而列不等式可求解. 【详解】由可得， 由于是的必要条件，故, 因此，解得， 故答案为： 14. 已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件得到要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积. 【详解】 要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大， 此时，又都在面上， 故面，且故， 设外接圆半径为， 则由余弦定理， 所以，所以，即， 所以，外接球半径，故其表面积为， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里. （1）求A处距离航标灯D的距离AD； （2）求的值； （3）为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）. 【答案】（1）（海里） （2） （3）不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动. 【解析】 【分析】（1）在△中利用余弦定理即可求解； （2）在△中利用余弦定理即可求解； （3）结合保护自然环境提出建议即可. 【小问1详解】 ∵，，， ∴在△中由余弦定理得， ∴（海里）. 【小问2详解】 ∵，由正弦定理得， ∴. 【小问3详解】 略 16. 在数列中，，其前n项和为，且（且）. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项； （2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可. 【小问1详解】 因为，代入， 整理得， 所以， 以上个式子相乘得， . 当时，，符合上式，所以. 【小问2详解】 . 所以，① ，② ①②得， ， 所以. 由得：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 则, 设平面的法向量为， 则，取，则， 由于，故， 又平面，故平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直求证， （2）根据两平面法向量的夹角，即可求解， （3）利用点面距离的向量法公式，即可代入求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 由于，故； 【小问3详解】 由于，平面的法向量， 点到平面的距离. 18. 如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； （2）求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 【答案】（1）为中点， 证明：取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，则，所以，当为的中点时，、、、四点共面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，利用平行线的传递性证明出，即可得出结论； （2）取中点，连接、，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）设点，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，可求得、的长，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接、， 因为，，则，所以，， 则为等腰直角三角形，所以，，且， 因为，，为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，所以，则， 因为，则，所以，，， 因为，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. 【小问3详解】 假设在棱上存在点满足题设条件， 设点，，， 设平面的一个法向量为，则 ， 取，则，，故， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，故， 设半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角， 所以， 所以，即，（舍去）， 此时，，则， 故在棱上存在点，当时， 半平面与半平面所成二面角的余弦值为. 19. 设函数． （1）若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①； ②证明：令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，. （2） 【解析】 【分析】（1）①对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解. ②令，利用导数法求得其在上单调递减，结合，即可证明. （2）对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 ①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即． ②略 【小问2详解】 由函数，可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市第八中学 2024--2025学年第一学期高三年级数学11月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. i 3. 函数的图像与轴的两个相邻交点的距离是，若将的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法中不正确的是（ ）. A. “，”的否定是“，” B. “”的必要不充分条件是“” C. “且”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 已知，且，则__________． 13. 已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是______. 14. 已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里. （1）求A处距离航标灯D的距离AD； （2）求的值； （3）为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）. 16. 在数列中，，其前n项和为，且（且）. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； （2）求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 19. 设函数． （1）若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $