精品解析：山东省德州市2024-2025学年上学期九年第二次月考数学模拟卷

2024-2025学年山东省德州市九年级（上）第二次月考数学模拟卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后正确是（ ） A B. C. D. 3. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 方程的解是(　　) A. B. C. D. 5. 一个不透明袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后不放回搅匀，如此继续．根据上表，小明在摸完两次后，第三次摸球摸到红色的概率是 （　　） 次数 第一次摸球 第二次摸球 第三次摸球 颜色 红色 红色 ？ A. B. C. D. 6. 年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 9. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的直径，弦于，且点为半径的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 函数，的图象在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四边形内接于，连接对角线与交于点，且为的直径，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 关于的方程的两个实数根是，则方程的两个实数根是______． 15. 把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是______填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为________． 17. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留） 18. 如图，的直径为，弦，，垂足为．则沿射线方向平移____时可与相切． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了__________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名，“D烹饪与营养”的男生有__________名； （2）补全上面的条形统计图； （3）求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数； （4）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求证：直线AB与⊙O相切； （2）求图中所示阴影部分的面积（结果用π表示） 22. 如图，小明训练推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是． （1）第一次推铅球时，铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 ，求铅球推出的水平距离； （2）第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度； （3）小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足10米，直接写出b的取值范围． 23. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数．  小伟是这样思考的：如图，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． (1)请你回答：图中的度数等于________． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图，在正方形内有一点，且，，，求的度数和正方形的边长． 24. 已知关于的函数的图象与轴有两个不同交点． （1）求的取值范围； （2）若，是函数图象与轴两个交点的横坐标，且满足，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，请直接写出函数的最大值和最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； （3）如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省德州市九年级（上）第二次月考数学模拟卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、当时，不是一元二次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，， A、若，不符合题意； B、若，不符合题意； C、若，符合题意； D、若，不符合题意． 故选：C． 4. 方程的解是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程；方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程分解因式得：， 可得或， 解得：． 故选：C． 5. 一个不透明的袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现从中随机摸出一球，记下颜色后不放回搅匀，如此继续．根据上表，小明在摸完两次后，第三次摸球摸到红色的概率是 （　　） 次数 第一次摸球 第二次摸球 第三次摸球 颜色 红色 红色 ？ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：由题意，得：第三次摸到红球的概率为：； 故选B． 6. 年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 7. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，由旋转的性质得出，，，推出为等腰直角三角形，从而得到，即可得解． 【详解】解：由根据旋转的性质得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断； ②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围； ③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围； ④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可. 【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误； ②∵a、b互相反数， ∴将x=-1与x=2代入解析式得：， 则：， ∵当时，对应的函数值， ∴得：，即：， ∴. 故②正确； ③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值， ∴方程的正实数根在1和 之间， ∵抛物线过点（0，2）与点（1，2）， ∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线， ∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间. 故③正确； ④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值， ∴可以判断抛物线开口向下， ∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立， ∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时； ∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足， ∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，， ∴综上当时，. 故④错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题. 9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的面积计算公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面展开图为扇形，且该扇形的半径为，弧长为， 该扇形的圆心角为． 该圆锥的侧面展开图面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式，熟记扇形面积计算公式是解题的关键． 10. 如图，为的直径，弦于，且点为半径的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，圆周角定理．根据垂径定理求得，由，求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵点为半径的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 函数，的图象在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质、二次函数的图象与性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，再结合当时，抛物线开口向上，直线经过第一、二、三象限，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为直线，故选项D错误； 当时，抛物线开口向上，直线经过第一、二、三象限，故B正确． 故选B． 12. 如图，四边形内接于，连接对角线与交于点，且为的直径，已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，由同弧所对的圆周角相等得，根据三角形内角和定理可得，即可解答．掌握直径所对的圆周角为、直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵和所对的弧是，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入化简即可解答． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ，即， ∴． 故答案为： 14. 关于的方程的两个实数根是，则方程的两个实数根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，得或，即可求出方程的两个实数根． 【详解】解：设，则方程变为， ∵方程的两个实数根是， ∴或， ∴或， ∴或， ∴方程的两个实数根是． 故答案为：． 15. 把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是______填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据过，，，得到，则，，，即可判断前3个，由与有个交点，相当于抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点，则将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，即可求解． 【详解】解：由图象可得：过，，， ∴设函数， 将点代入可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①错误； ，②正确； ，③错误； ∵与有个交点，即抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点， 将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，故④正确； 故答案为：②④． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为________． 【答案】， 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，． 故答案为，． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 17. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，的直径为，弦，，垂足为．则沿射线方向平移____时可与相切． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．根据垂径定理可知，，利用勾股定理可求，利用，可求出． 【详解】解：，垂足为， ， 在中，， ， ∴沿射线方向平移时，可与相切， 故答案为：4． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 因式分解得：， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了__________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名，“D烹饪与营养”的男生有__________名； （2）补全上面的条形统计图； （3）求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数； （4）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20；2；1 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数； （2）根据（1）中所求数据，补全图形即可； （3）用乘以该项的百分比即可. （4）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴一共调查了20人； ∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 故答案为： 【小问2详解】 补全图形如下： 【小问3详解】 “D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数． 【小问4详解】 用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求证：直线AB与⊙O相切； （2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）作OD⊥AB于D，由弧长公式和已知条件求出半径OM=，由直线解析式求出点A和B的坐标，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面积的计算方法求出OD，即可得出结论； （2）阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，即可得出结果． 【详解】解：（1）作OD⊥AB于D，如图所示： ∵劣弧的长为， ∴=， 解得：OM=，即⊙O的半径为， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 当y=0时，x=3；当x=0时，y=4， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB==5， ∵△AOB的面积=AB•OD=OA•OB， ∴OD===半径OM， ∴直线AB与⊙O相切． （2）解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积==． 【点睛】本题考查切线的判定、一次函数图象上点的坐标特征、弧长的计算、扇形面积的计算，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 22. 如图，小明训练推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是． （1）第一次推铅球时，铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 ，求铅球推出的水平距离； （2）第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度； （3）小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足10米，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）8m （2）m （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式，然后令，求出铅球推出的水平距离即可； （2）运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可； （3）把代入（2）中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可． 【小问1详解】 解：设， 即， ∵， ∴， ∴， 令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球推出的水平距离米； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴， ∴推出铅球行进的最大高度为米； 【小问3详解】 解：抛物线的解析式为， 当过时，， 解得：， ∵推出的水平距离超过第一次，但不足10米， ∴． 【点睛】本题考查二次函数实际问题，运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 23. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数．  小伟是这样思考的：如图，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． (1)请你回答：图中的度数等于________． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图，在正方形内有一点，且，，，求的度数和正方形的边长． 【答案】（1）150°；（2）135°； 【解析】 【分析】把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△，根据旋转的性质可得PA=PA,PC=PB,∠PAP=60°，再用勾股定理得出∠PPC=90°，然后求出∠APC,即为∠APB的度数；把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，然后判断出△APP是等腰三角形，根据等腰三角形性质求出PP，∠PAP=45°，再运用勾股定理逆定理得出∠PPD=90°，然后求∠APD,即为∠APB度数，在求出P,P,B三点共线，过点A作AE⊥PP于E，根据等腰三角的性质求出AE,然后求BE，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB即可. 【详解】解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′， 由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°， ∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25， ∴PP′2+P′C2=PC2， ∴∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°； 故∠APB=∠AP′C=150°； 故答案为． 如图，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故， ∵， ∴点、、三点共线， 过点作于， 则， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键. 24. 已知关于的函数的图象与轴有两个不同交点． （1）求的取值范围； （2）若，是函数图象与轴两个交点的横坐标，且满足，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，请直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】（1）且 （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值以及函数顶点坐标的求法，正确根据函数图象确定最值，利用数形结合思想是关键． （1）由函数的图象与轴有两个不同交点可知该函数为二次函数，且当时，据此解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程求得的值； （3）把函数式化为顶点式，画出函数图象，根据函数图象确定最值． 【小问1详解】 解：∵函数的图象与轴有两个不同交点， 该函数为二次函数，且当时，， ， 解得，即且． 综上所述，的取值范围是且． 【小问2详解】 解：，是函数图象与轴两个交点的横坐标， ，， ． ， 且． ， 解得：， 不合题意，舍去． 所求值为． 【小问3详解】 解：如图，，，且． 由图象知：当时，；当时，． 的最大值为，最小值为．  25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； （3）如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 【答案】（1） （2） （3）相交，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识； （1）已知抛物线交轴于，交轴于、两点坐标分别为，，把以上三点的坐标分别代入抛物线，求出，，的值即可求出此二次函数的解析式； （2）过点作轴与点，设，再证明即可求解； （3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的解析式及、的坐标，分别求出线段、、的长度，再求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可． 【小问1详解】 抛物线交轴于，交轴于两点坐标分别为， ， 解得 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴与点． 点在抛物线上， 设点坐标为． ，， ，， ， ， ， ． 解得：或（舍去）． ． 点的坐标为． 【小问3详解】 相交． 证明：连接，则， 抛物线交轴于两点坐标分别，． 对称轴， ，，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 抛物线的对称轴与相交． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$