4.2.2等差数列的前n项和公式 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和 1 第一课时 The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation 1 2 ADD YOUR TITLE HERE 复习导入 一、 等差数列定义 二、等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 三、几种计算公差d的方法: 四、 等差中项 a,A,b组成等差数列 m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 五、等差数列的性质 3 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3 ＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？ 高斯的算法是： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 第50项与倒数第50项的和: … 于是所求的和是：101× =5050 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101 50+51=101 4 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 思考1：如何求1＋2＋3＋…＋100+101的值？ 1 2 3 101 101 100 99 1 算法过程： 由①+②，得 5 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 思考2：已知数列{an}是等差数列，如何求 的值？ 因为数列{an}是等差数列， 所以a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-2 =···， 由 ①，得 ②， 由① ) 所以 倒序相加法 6 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点一 等差数列的前n项和 两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量. 通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也 是等差数列的基本问题形式之一. 7 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例6 已知数列{an}是等差数列. (1)若a1=7，a50=101，求S50; (2)若a1=2，a2=，求S10; (3)若a1=，d=-， Sn =-5,求n. 解： (1) (2) --2= +d 2+ 解得 (3)+d,得 n+ 整理,得 -7n-60=0 n=12或n=-5（舍去） 8 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习一 （课本P22练习T1) （1） 5 10 95 （2） 100 -2 50 （3） -2 10 -130 （4） 在等差数列中，根据已知的三个数，求未知的两个数. 10 500 2550 2 -4 -22 10 -19 知三求二 9 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习二 （课本P22练习T2) ２．等差数列－１，－３，－５，...的前多少项的和是－１００？ 10 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例7 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 解：由题意知 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 方程思想 11 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例7 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.求数列{an}前30项的和. 变式1： 由例7可得： 法一： 12 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点二 证 明： 即等差数列依次m项之和仍为等差数列. 设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和， 则Sm,S2m-Sm，S3m-S2m仍构成等差数列，且公差为m2d. 13 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例7 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.求数列{an}前30项的和. 变式1： 由等差数列的性质，可得： 法二： 成等差数列. 解得：前30项的和为2730 . 14 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习三（课本P23练习T3) 3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，则S4=6,S8=20，求S16. 法二： 法一： 15 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 16 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和， 则{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn. 3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，则S4=6,S8=20，求S16. 法三： 17 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点四 设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和， 则{an}是等差数列⇔是等差数列，公差为. 3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，则S4=6,S8=20，求S16. 法四： 18 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习二 （课本P15练习T2、5) 下列说法是否正确？并说明理由． 数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等． 正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 19 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 一、等差数列的前n项和 20 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 二、等差数列的性质 设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和，则 (2){an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn. (3){an}是等差数列⇔是等差数列，公差为. (1)Sm,S2m-Sm，S3m-S2m仍构成等差数列，且公差为m2d. 21 第二课时 The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation 2 22 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例 等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数 项之和为120，则n等于________； 23 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点一 若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， 24 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习一 （课本P23练习T5) ５．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为２９０，所有偶数项的和为２６１．求此数列中间一项的值以及项数. 25 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例 (1)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn， 且，则＝________. (2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn， 且，则＝________. 之间的转化 26 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 (2)由等差数列前n项和及等差中项的性质， 得Sn,同理Tn=, 故＝== 27 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习二 已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn， 且，则+＝________. 28 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 将第１排到第２０排的座位数依次排成一列，构成数{an} 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳８００个座位，报告厅共有２０排座位，从第２排起每排都比前一排多２个座位．问第１排应安排多少个座位． 【思路分析】 利用等差数列的前n项和公式求首项 {an}是等差数列，公差及前２０项的和已知 设数列{an}的前n项和为Sn 29 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习三（课本P24上面练习T1) 1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择价值２０００元的奖品；第二种，从１２月２０日到第二年的１月１日，每天到该商场领取奖品，第１天领取的奖品价值为１００元，第２天为１１０元，以后逐天增加１０元．你认为哪种领奖方式获奖者领取的奖品价值更高？ 30 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 思考1：既然等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数， 那么它的最值怎么求？ 用二次函数的最值求Sn的最值，但要注意 31 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例9 已知等差数列{an}中,a1=10，公差d=-2,求当n取何值时,Sn最大？最大值为多少？ 法一: a1=10，d=-2 所以当n=5或6时,Sn最大，最大值为30. 32 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例9 已知等差数列{an}中,a1=10，公差d=-2,求当n取何值时,Sn最大？最大值为多少？ 法二: ∴ an=10+(n-1) ×(-2)=－2n+12 由 公差d=-2<0,{an}为递减数列. 所以当n=5或6时,Sn最大，最大值为 33 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点二 求等差数列的前n项和Sn的最值 则Sn最大. 则Sn最小. 2.利用等差数列的单调性及an的符号变化求解： 1.将Sn配方，求二次函数的最值，注意 注意：当数列中有数值为0的项时，n应有两解. 34 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习四（课本P24练习T3) 3.已知等差数列－４.２，－３.７，－３.２，...的前n项和为Sn，Sn是否存在最大 （小）值？如果存在，求出取得最值时n的值. 35 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 一、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， 36 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 二、求等差数列的前n项和Sn的最值 则Sn最大. 则Sn最小. 2.利用等差数列的单调性及an的符号变化求解： 1.将Sn配方，求二次函数的最值，注意 注意：当数列中有数值为0的项时，n应有两解. 37 4.2.2等差数列的前n项和 38 解: 因为等差数列共有2n＋1项， 所以S奇－S偶＝an＋1＝eq \f(S2n＋1,2n＋1)， 即132－120＝eq \f(132＋120,2n＋1)， 解得n＝10. 解:（1）由等差数列的性质，知 . 12.0 $$