第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题（知识清单+6类技巧总结）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 方法01 分离变量法 【典例1】（23-24高二下·河南焦作）已知函数． (1)求的极值； (2)若在时有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值为0，无极大值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）直接求导确定单调性求出极值即可； （2）先参变分离得到，再构造函数求导确定最小值，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1），当时，，当时，，则在上单减，在上单增， 故的极小值为，无极大值. （2）在时有解，即在时有解，令， 则，由（1）知在上单增，且，则， 则当时，单减，当时，单增，所以，故. 【典例2】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案； （2）将原问题转化为恒成立，令，，利用导数求解函数最值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知的定义域为，， 由于函数在时取得极值，且满足， 故，且， 解得，则， 经验证函数在时取得极小值，适合题意 故； （2）由题意存在实数，使得成立， 即恒成立； 令，，则， 令，则在上恒成立， 故在单调递增， 又， 故存在唯一的使得，即， 则当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得，故整数的最小值为5. 【典例3】（23-24高二下·重庆南岸·期中）已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增, 当时，有极小值，无极大值. (2) 2 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】(1) 求出，得到，从而可得在上单调递增，且，得出函数的单的区间和极值. (2)由题意即存在实数，使得成立，设，即，求出函数的导数，得出其单调区间，结合隐零点的代换，可得答案. 【详解】（1）由，可得 又恒成立，则在上单调递增，且 所以当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有极小值，无极大值. (2) 存在实数，使得成立 即存在实数，使得，即成立 设，即 ， 所以在上单调递增. , 所以存在，使得，即，也即 所以当时，，单调递减. 当时，,单调递增. 所以 当时， 所以，由题意， 所以整数的最小值为2. 【变式1】（3-24高三上·安徽宿州·阶段练习）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，然后分和讨论研究函数单调性； （2）将问题转化为，记利用导数求其最小值即可. 【详解】（1）由题意得，，． 当，即时，，故函数在上单调递增； 当，即时，令，解得， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）若关于x的不等式在上有解， 则在上有解，∴ 记，则， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，故实数a的取值范围． 【变式2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值． (1)求函数； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导后，根据和，解得即可得解； （2）转化为，再利用导数求出函数在上的最小值，然后解不等式可得结果. 【详解】（1）∵， 由，得且，解得，， 又，∴， 经检验，时，满足题意, ∴； （2）存在，使得，等价于， ∵， 当时，，当时，， ∴在上递减，在上递增， 又，， ∴在上的最小值为， ∴，解得或， 所以的取值范围是． 【变式3】（2024·云南）已知是自然对数的底数，函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值； （2）若当时，有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由求出的值，可得出函数的解析式，再利用导数法可求得函数的最小值； （2）由参变量分离法可知，不等式在时有解，令，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由得. 曲线在点处的切线斜率为，， ，. 当时，，，， 当时，，，则， 在上单调递增，； （2），设，， 则当时，有解. ，. 当时，，解，可得或，解得，. 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. ，，且， ，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 方法02分类讨论法 【典例1】（23-24高二下·北京顺义）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）由导数的几何意义结合题意知，，解方程即可得出答案； （2）对求导，讨论和时，即可得出函数的单调区间； （3）由（2）知，当时，，则存在，使得，当时，，解不等式即可求出a的取值范围． 【详解】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为， 因为，所以由导数的几何意义知，， 所以，解得：. （2）的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，令，解得：， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，则单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3）若存在，使得，转化为证明， 由（2）知，当时，则在上单调递增，而， 则存在，使得， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以， 解得：，因为，所以. a的取值范围为. 【典例2】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数，（其中）． (1)当时，证明函数的图象与轴正半轴只有一个交点； (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性，结合零点存在定理证明结论成立； （2）分类讨论，时，由（1）得存在使，即，是极小值点，由，需引入新函数，确定函数的单调性，得出的范围，及时同样由单调性证明求解． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∴在上为增函数，又， ∴，， 所以，函数的图象与轴正半轴只有一个交点． （2）解：当时，， 由（1）可知，存在使，即， ∴当时，，在上为减函数； 当时，，在上为增函数， ∴， 由，知，设，则， ∴在上为减函数，又， ∴当时，；当时，， ∴存在，使不等式成立，此时； 当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以不存在，使不等式成立， 当时，取，即，所以， 所以存在，使不等式成立， 综上所述，的取值范围是或． 【典例3】（23-24高三上·安徽安庆）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）根据（1）的结论对进行分类讨论，由，结合构造函数法以及导数来求得的取值范围. 【详解】（1）已知函数，定义域为， ， ①当时，， x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 在上单调递增，在上单调递减； ②当时，，函数在单调递增； ③当时，， x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）若存在，使得成立，即使得. 由（1），可知当时，在上单调递增，， 不满足； 当时， x - 0 + 递减 极小值 递增 ，所以，即， 令，∴， ∴在上单调递减， 又∵，由，得. 综上，实数a的取值范围为. 【变式1】（23-24高二下·天津滨海新）已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：在定义域内有且只有一个零点； （3）若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程； （2）利用导数说明其单调性，再根据零点存在性定理证明即可； （3）由题意知：只需，，设，利用导数说明其单调性，再对参数分类讨论，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：（1）因为，所以则， 则切线斜率，又，即切点为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减；由于当时， 所以在内无零点； 当时，，单调递增，，， 由零点的存在性定理，在有零点，且只有一个零点. （3）由题意知：只需，， 设 ，令得， 故在单调递减，单调递增， ①若，则在单减，则只需， 即， 记，， 因为，所以在递减，递增， 而，，所以在恒成立， 又因为，所以对任意恒成立 ②若，，只需， 即，解得， 综上，. 【变式2】（2024·广西来宾·模拟预测）已知函数. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求出导函数，利用导数确定的正负，得的单调性后可得值域； （2）当时，不等式为，引入函数，求出，按和分类讨论，前者利用不等式的性质得，可证得不等式恒成立，后者可得有极小值点，不等式不能恒成立．从而得出结论． 【详解】解：（1）当时， 有 令，有 令，可得，故函数的增区间为，减区间为 有，可得函数单调递增 又由， 故函数在区间上的值域为 （2）当时，恒成立 令，有 ①当时，，可得此时函数单调递增，又由，故有； ②当时，令，可得函数单调递增，又由，，可得存在，使得，可得函数的减区间为，又由，有，不合题意 由上知正数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数值域，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题可转化求函数的最值，利用最值满足的关系说明不等式成立．一般是分离参数求得函数的最值，然后解不等式得范围，一种直接求函数的最值，由最值满足的不等关系得结论． 【变式3】（2024江西·模拟预测）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）． 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求函数的导数，解与不等式，即得函数的递减区间； （2）由题意不等式能成立只需,对函数求导,对参数a进行讨论，判断函数单调性，由单调性得函数最小值，从而可求出a的范围． 【详解】（1） 又时，或时， 在单调递增，在单调递减. （2）∵存在使成立，由（1）可得， ①当时， 即，令， 在单调递增，在单调递减，恒成立， 即当时，不等式恒成立； (另解：当时，在单调递减，单调递增， .) ②当时，在单调递增，， ， 综合①②得． 【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 方法03等价转化法 【典例1】（23-24高二下·山东烟台）已知函数，． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若不等式有解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】求对数型复合函数的定义域、已知函数的定义域求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，分，两种情况， 利用函数的单调性求解函数的取值范围，进而研究的取值范围即可； （2）将问题转化为有解，当时，，则有解，转化为有解，令，然后研究的单调性，求最大值，即可得到答案 【详解】（1）要使的定义域为，只需在上恒成立． 令，只需在上恒成立． 当，即时，在单增，恒有， 因此，对任意均成立． 当，即时，在单减，单增，只需， 即，解得，所以． 综上，的取值范围为． （2）若不等式有解，即， 可得有解． 因为当时，，所以，对任意实数，总存在， 使得，即有解． 由可得，． 令，，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，即． 【典例2】（23-24高二下·福建宁德）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）设函数，，使成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】(1)对函数求导，判断出函数的单调性，比较两个端点值的大小，可得函数的最值； (2)列出不等式参变分离，构造新函数并利用导数求出函数的最值，可得实数的取值范围． 【详解】(1)，令，得或， 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，又， . 函数的值域为. (2)由得， 即， 设，则， 令，得或1. 在时，在上单调递减； 在时，在上单调递增. 在上的最小值为， ∴实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数在函数最值中的应用，考查导数解决能成立问题，考查学生运算化简能力､推理论证能力和方程思想，属于中档题． 【典例3】（23-24高三上·福建福州）已知函数. （1）设函数，求函数的极值； （2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，极大值为，无极小值；当时，无极值；（2）或. 【知识点】利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）求出，对分类讨论求出单调区间，即可求出结论； （2）在上存在一点，使得成立，即为，只需，结合（1）中的结论对分类讨论求出，即可求解. 【详解】（1）依题意，定义域为， ∴， ①当，即时， 令，∵，∴， 此时，在区间上单调递增， 令，得. 此时，在区间上单调递减. ②当，即时，恒成立， 在区间上单调递减. 综上，当时， 在处取得极大值，无极小值； 当时，在区间上无极值. （2）依题意知，在上存在一点，使得成立， 即在上存在一点，使得， 故函数在上，有. 由（1）可知，①当， 即时，在上单调递增， ∴，∴， ∵，∴. ②当，或， 即时，在上单调递减， ∴，∴. ③当，即时， 由（2）可知，在处取得极大值也是区间上的最大值， 即， ∵，∴在上恒成立， 此时不存在使成立. 综上可得，所求的取值范围是或. 【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式能成立等基础知识，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题题. 【变式1】（2024·河南商丘）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题 【解析】（1）分别求出及，即可得到切线的斜率及切点坐标，结合点斜式可求出切线方程； （2）由，整理得，从而可知不等式存在解，只需，求解即可. 【详解】（1）时，，∴， ∴，又， ∴在点处的切线斜率， ∴所求切线方程为，即. （2）∵，，∴， ∴，，∴， 依题意，， 令，. 由，得.∴时，，∴在上为增函数. ∴. ∴. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式存在解问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 【变式2】（2024·全国）已知函数 （1）求在上的最小值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围， 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】(1)对求导,利用导数研究其单调性,再对与的大小关系进行分情况讨论最小值; (2),设,则利用导数求出的最大值即可得出结论. 【详解】(1), 时,,函数单调递增, 时,,函数单调递减, , 当时,, 当时,, 综上所述:; (2), 设, 则,, 令,令, 所以在上单调递减,在上单调递增, , , . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,利用导数解决能成立问题,属于中档题.在遇见含参数的恒(能)成立问题时,常考虑分离参数法解决问题,也可利用分类讨论法答题. 【变式3】（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数. （1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数的单调区间求参数 【解析】（1）先求导得到，令，原命题等价于 在内或恒成立，再分两种情况讨论得解；（2）先求出函数的最值，再对分三种情况讨论得解. 【详解】（1）， 令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，满足或恒成立， 当且仅当时，，时，， 因为，所以当且仅当时，，时，， 因为在内有，当且仅当即时取等号， 所以当时，，，此时在单调递增， 当时，，，此时在单调递减， 综上，的取值范围为或. （2）因为在上是减函数， 所以时，；时，，即， ①当时，由（1）知在上递减，所以，不合题意， ②当时，由， 由（1）知当时，在上单调递增， 所以，不合题意， ③当时，，， 由题意可得，只需时，，即可， 由（1）知在上是增函数，， 又在上是增函数，则，， 而，， 只需，解得， 综上的取值范围是. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 方法04最值定位法解决双参不等式问题 【典例1】（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号； （2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围. 【详解】（1）因为函数，所以． 设，则，故在上递减． ，即， 在上单调递减，最小值为． （2）令，则在上恒成立， 即函数在上单调递减，所以， 所以，即在上恒成立； 又，当时， 在区间上单调递增； 在区间上单调递减． 函数在区间上的最大值为． 综上，只需，解得，即实数的取值范围是． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性； （2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可. 【详解】（1）∵，∴， 令，可得两根分别为1，， ∵，∴ 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． （2），，由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴在上的最小值为． 对，，使，即 在上的最小值不大于在上的最小值，（*） 又， ∴①当时，，此时与（*）矛盾； ②当时，，同样与（*）矛盾； ③当时，，且当时，， 解不等式，可得， ∴实数b的取值范围为． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）设函数，． (1)若曲线在处的切线过点，求的值； (2)设若对，，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，再分别求导，分类讨论分析最大值即可. 【详解】（1）∵， ∴． 又，即切点为， ∴，解得． （2）“对，，使得成立”，即 “在上，”． ∵，， ∴在上单调递增， ∴． 令，得或． ①当时，在上恒成立，单调递增， ，解得； ②当时，在上恒成立，单调递减，在上恒成立，单调递增， 或， ∴或． 解得：或，∴； ③当时，在上恒成立，单调递减，，解得， ∴． 综上所述：或，即的取值范围为 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】将，，使成立，等价为，再求出和，代入化简求解即可． 【详解】将，，使成立，等价为， 由，，则， 又，且，则， 则当时，；当时，， 所以在区间上单调递减；在区间上单调递增， 所以． 又，，则， 又，， 所以在区间上单调递增， 所以， 又，则，解得， 故m的取值范围为． 【变式2】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得该函数的极大值和极小值； （2）由题意可得，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则 令，得或，列表如下： x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ，. （2）解：由题意可得， 由（1）可知在单调递减， ∴，∴在有解，， 令，，令， 单调递增 极大值 单调递减 所以，. 【变式3】（23-24高二下·重庆綦江）已知函数（），（）． (1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值； (2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案； （2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1），由得， ∴，， 即切点为，代入方程得， 所以，； （2）由题意可得时，． ∵时，在恒成立， 故在为增函数， ∴， ． ①当时， 在区间上递增，所以， 由解得，舍去； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，解得或， ∴； ③当时，在区间上递减，所以， 由解得，∴. 综上，. 方法05值域法解决双参等式问题 【典例1】（23-24高三上·江西宜春·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】(1)求导数，分类讨论由和，解得单调区间. （2）问题转化为在的值域和在的值域满足：， 分别求两个函数在区间内的值域，可解得实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，时恒成立，时恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知，问题转化为在的值域和在的值域满足：， 二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，故在的值域. 由(1)可知，当时，在上单调递增，故值域. 所以，解得，即实数的取值范围为. 【典例2】（23-24高三上·吉林·阶段练习）已知函数，. （1）求函数的极值； （2），，使成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，从而求得函数的极值； （2）由（1）中求得函数的值域，再对函数求导函数，讨论分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由已知建立不等式，求解可得所求的范围. 【详解】解：（1）因为，所以，且定义域为， 令，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： - + - 极小值 极大值 因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为. （2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以， 即在上，因为，所以，， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又， 所以的取值范围为. 【典例3】（2024·宁夏银川）已知函数，，． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若对于，总存在，且满，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导可得，令，可得对恒成立，即可得，根据单调性，可得在恒成立，即可得答案. （2）利用导数可得的单调性，根据自变量范围，可得，根据题意及二次函数的性质，可得，列出方程组，即可求得答案. 【详解】解：（1）由题意得， ∴，令， ∵对恒成立， ∴，即在上为增函数 ∴ ∵在上单调递减 ∴对恒成立，即， ∴ （2）当时， ∴在区间上为增函数， ∴时，， ∵的对称轴为， ∴为满足题意，必须，此时，的值恒小于和中最大的一个 ∵对于，总存在，，且，满足（，2）， ∴ ∴ ∴ 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性的方法，若无法判断正负时，常常构造，再判断的正负，可得的单调性及值域，在判断的正负，可得的单调性，属中档题. 【变式1】（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）用导数法求函数的单调性即可； （2）由题意可转化为求与的最值问题，先求出与的最值，再按要求列出式子求解即可 【详解】（1）． 在和上，，单调递增． 在上，，单调递减． 综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减． 又，，，． 所以在上，． 又． 所以在上，，， 即． 因为，，， 所以解得． 故的取值范围是． 【变式2】（23-24高三·山东·阶段练习）已知函数：. （1）当时，求的最小值； （2）对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据不同情况下函数的单调性，即可求得函数的最小值； （2）根据题意，求得不同情况下的值域，结合其值域为的子集，列出不等式，则问题得解. 【详解】（1） 时，递增，, 时，递减，， 时，时递减， 时递增， 所以 综上，当； 当 当 （2）因为对于任意的都存在唯一的使得成立, 所以的值域是的值域的子集. 因为 递增，的值域为 （i）当时，在上单调递增， 又， 所以在[1,e]上的值域为, 所以， 即. （ii）当时，因为时，递减，时，递增，且， 所以只需 即，所以 （iii）当时，因为在上单调递减，且， 所以不合题意. 综合以上，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查求含参函数最值得求解，涉及利用导数求函数值域的问题，属综合中档题. 【变式3】（2024·北京房山）已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】(Ⅰ)求解出点，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在、和三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围. 【详解】(Ⅰ)当时，，所以 所以 所以曲线在处的切线方程为，即 (Ⅱ)的定义域是， 令，得 ①当时，，所以函数的单调增区间是 ②当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 ③当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 (Ⅲ)因为，所以 当时， 所以在上恒成立，所以在上单调递增 所以在上的最小值是，最大值是 即当时，的取值范围为 由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增 因为，所以不合题意 当时，，在上单调递减 所以在上的最大值为，最小值为 所以当时，的取值范围为 “对于任意，总存在，使得成立”等价于 即，解得 所以的取值范围为 【点睛】本题考查了利用导数求解切线方程、讨论含参数函数的单调性、利用不等关系求解参数范围问题.重点考查了恒成立与能成立相结合的问题，解决问题的关键是能够将问题转化为两个函数的值域之间的包含关系，从而使问题得到解决，对学生转化与化归思想的应用要求较高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 方法01 分离变量法 【典例1】（23-24高二下·河南焦作）已知函数． (1)求的极值； (2)若在时有解，求实数a的取值范围． 【典例2】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【典例3】（23-24高二下·重庆南岸·期中）已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【变式1】（3-24高三上·安徽宿州·阶段练习）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围． 【变式2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值． (1)求函数； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式3】（2024·云南）已知是自然对数的底数，函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值； （2）若当时，有解，求实数的取值范围. 方法02分类讨论法 【典例1】（23-24高二下·北京顺义）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【典例2】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数，（其中）． (1)当时，证明函数的图象与轴正半轴只有一个交点； (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【典例3】（23-24高三上·安徽安庆）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·天津滨海新）已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：在定义域内有且只有一个零点； （3）若存在，使得，求实数的取值范围. 【变式2】（2024·广西来宾·模拟预测）已知函数. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围. 【变式3】（2024江西·模拟预测）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 方法03等价转化法 【典例1】（23-24高二下·山东烟台）已知函数，． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若不等式有解，求的取值范围． 【典例2】（23-24高二下·福建宁德）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）设函数，，使成立，求的取值范围. 【典例3】（23-24高三上·福建福州）已知函数. （1）设函数，求函数的极值； （2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 【变式1】（2024·河南商丘）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【变式2】（2024·全国）已知函数 （1）求在上的最小值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围， 【变式3】（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数. （1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 方法04最值定位法解决双参不等式问题 【典例1】（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）设函数，． (1)若曲线在处的切线过点，求的值； (2)设若对，，使得成立，求的取值范围． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围． 【变式2】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【变式3】（23-24高二下·重庆綦江）已知函数（），（）． (1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值； (2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 方法05值域法解决双参等式问题 【典例1】（23-24高三上·江西宜春·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【典例2】（23-24高三上·吉林·阶段练习）已知函数，. （1）求函数的极值； （2），，使成立，求的取值范围. 【典例3】（2024·宁夏银川）已知函数，，． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若对于，总存在，且满，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围． 【变式1】（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，，求的取值范围． 【变式2】（23-24高三·山东·阶段练习）已知函数：. （1）当时，求的最小值； （2）对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围. 【变式3】（2024·北京房山）已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$