第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（知识清单+3类技巧总结）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 方法01 分离变量法 【典例1】（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数. (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 【典例2】（23-24高二下·云南文山·阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的值域； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【典例3】（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知函数 (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，讨论的单调性； (3)若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式3】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 方法02：分类讨论法 【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，讨论函数在上的单调性； (2)若，，求实数的取值范围. 【典例2】（2024·福建福州·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值 【典例3】（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求a的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·天津南开·期中）已知函数． (1)求证：； (2)若当时，，求的取值范围． 【变式3】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 方法03：等价转化法 【典例1】（23-24高二下·湖北·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间和极值； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【典例2】（2024·山东日照·三模）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，对，，求正整数的最大值. 【典例3】（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数（其中），. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 【变式1】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数，，其中为常数． (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的面积； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，. (1)若，证明：函数单调递增； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 方法01 分离变量法 【典例1】（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数. (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；的极大值为，极小值为-2 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值； （2）问题等价于在区间恒成立，设，利用导数求最小值即可得的取值范围. 【详解】（1）时，，函数定义域为， ， 令，解得：或，令，解得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 时，有极大值， 时，有极小值. 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为-2 （2）时，在上恒成立， 即在区间恒成立. 设，则， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 故，故. 故的取值范围为. 【典例2】（23-24高二下·云南文山·阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的值域； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导可得，利用导数可得的单调性，进而分析最值和值域； （2）分析可知原题意等价于在上恒成立，构建，利用导数求的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）若，则，， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 当时，，可知在上的最大值为， 所以在上的值域是； （2）当时，满足要求，所以， 原题意等价于对恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可得， 综上，实数的取值范围是. 【典例3】（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知函数 (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，讨论的单调性； (3)若，已知函数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用含参分类讨论，即可求解； （3）将原问题转化为在恒成立，利用导数求出即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 故在点处的切线方程为， 即. （2），则. 当时，，所以在R上单调递增； 当时，令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由，得， 即， 令，则， 即不等式在恒成立， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 即实数a的取值范围为. 【变式1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用经过的点坐标即得切线方程； （2）将不等式恒成立问题通过参变分离法，转化成，故只须求即得. 【详解】（1）当时，， 则，，则， 曲线在点处的切线方程为，即． （2）在上恒成立， 等价于在上恒成立，即， 令，则， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故，所以，即a的取值范围为． 【变式2】（23-24高二下·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用求导思想，求出函数的最小值，即可以判断零点情况； （2）利用分离参变量思想，求出函数的最值，即可得到参数的范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由，得，由，得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 因为只有一个极小值点，也是最小值点，且， 所以，不存在零点. （2），即. 令 构造函数， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，. 则. 故的取值范围为. 【变式3】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）根据题意将问题转仳为在恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【详解】（1）由，得， 对求导得， ， 在处的切线方程为； （2）当时，恒成立，即时，恒成立， 在恒成立， 令，则， 令，则， 恒成立 当时，单调递增， ， 当时，. 当时，单调递增， ， . 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 方法02：分类讨论法 【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，讨论函数在上的单调性； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增. (2). 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数求函数在区间内的单调性； （2），即，可分离常数，通过构造函数利用导数求最值求实数的取值范围.. 【详解】（1）时，，， 因为，有，，所以， 于是函数在上单调递增. （2）解法一： ，即. 因为，所以，于是. 令，则. 当时，，，，， 则有， 于是，所以在上是增函数，，所以. 即实数的取值范围为. 解法二： 令，. 当时，，在上是增函数，. 当时，，而，不满足条件； 当时，在上恒成立； 当时，，，在上恒成立. 综上：，即实数的取值范围为. 解法三：令，由得. 下证当时，. 因为且，，，所以， 所以，即实数的取值范围为. 【典例2】（2024·福建福州·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值 【答案】(1)； (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由，得，当时，不符合题意；当时，最小值为，若恒成立，则，设．根据导数研究的最大值，即可求出的值. 【详解】（1）定义域为，由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）定义域为，， ①当时，，不符合题意． ②当时，令，解得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为． 所以. 【典例3】（23-24高二下·浙江台州·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性. （3）,讨论，根据单调性判定是否成立即可． 【详解】（1） ，. （2）由题，可得 由于，的解为，. ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以的单调增区间为，；单调减区间为； ③当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以的单调增区间为，；单调减区间为. （3） ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立； ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立； ③当时，在区间上，：在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以当时，，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 【变式1】（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）对函数求导可得，对参数进行分类讨论得出其单调性即可； （2）将恒成立转化为恒成立，利用导数求得函数的单调性，得出最小值即可求得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意知的定义域为， ， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由，得， 即， 令，将问题转化为恒成立， ， 令，则当时， 所以也就是在上单调递增，所以. ①当，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，满足题意； ②当时，即时，因为当时，， 所以存在，使得，所以存在，使得， 所以对，，所以在上单调递减， 所以，不合题意. 综上所述，满足条件的a的取值范围为. 【变式2】（23-24高二下·天津南开·期中）已知函数． (1)求证：； (2)若当时，，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到恒成立，即恒成立，从而得证； （2）令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）令，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立， 即恒成立， 又，所以恒成立，即. （2）当时，等价于， 令，， 因为在上恒成立，则在上恒成立， 因为， 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时， 则当时，，函数单调递减，，不符合题意； 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，，符合题意． 综上所述，的取值范围为． 【变式3】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论函数的单调性，求出即可. 【详解】（1）由题设当时，， 所以，得， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）若，不等式恒成立，则， ， 当时，对于，，所以在上单调递增， 所以时，，即满足题意； 当时，若，则，在上单调递减， 所以，与矛盾，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 方法03：等价转化法 【典例1】（23-24高二下·湖北·阶段练习）设函数. (1)求的单调区间和极值； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值，无极大值 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】（1）二次求导，得到函数单调性，并得到极值情况； （2）变形得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，求出. 【详解】（1），令，则 当时，，故，所以在上单调递增； 又因为， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 所以有极小值，无极大值； （2）因为当时，，恒成立， 所以当时，恒成立， 令，所以 由（1）可知当时，，，， ， 所以， 所以在上单调递增， 所以，所以 【典例2】（2024·山东日照·三模）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，对，，求正整数的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2)3. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，再按与分类讨论求出函数的单调性. （2）把代入，再等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出最小值的范围得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， ①当时，有，此时函数在区间上单调递减； ②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增； 当时，，此时函数在区间上单调递减. 所以当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）当，时，恒成立，等价于恒成立， 设，，则， 当时，有， 函数在上单调递增，且，， 则存在唯一的，使得，即， 当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设，则当时，，函数在上单调递减， 又因为，所以. 所以正整数的最大值是3. 【典例3】（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数（其中），. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，二次求导得到单调性和最小值，求出，得到答案. 【详解】（1）时，，， ，故， 故函数在点的切线方程为，即 （2）时，恒成立， 故， 令，定义域为， 则，令， 则在恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 所以，的取值范围是. 【变式1】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数，，其中为常数． (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的面积； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）把代入，求导得斜率，进而由点斜式得切线方程，并求出该切线与坐标轴转成三角形面积. （2）令，由题得在恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 则，又，因此切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点，因此该切线与坐标轴所围三角形面积为， 所以函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的面积为. （2）令，依题意，在恒成立， ，求导得， 当时，则当时，，函数在上递增， 于是，即有，则； 当时，则当时，，函数在上递减， 显然，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，. (1)若，证明：函数单调递增； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，结合配方法即可得证； （2）构造函数，先利用必要性探路法得到，再利用放缩法得到，从而利用导数证得，即充分性成立，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以函数单调递增 （2）令，则由题可得， 因为，恒成立， 所以，恒成立， 则，所以（必要性探路）； 下证当时，，恒成立， 令，所以， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即， 所以， 构建函数，所以， 所以当时，，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，所以当时，函数取得最小值， 所以， 所以的取值范围为. 【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导得，分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数讨论函数的单调性可得，即可求解. 【详解】（1）由题意，， 当时，，在R上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ， 令，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$