6.3 角（第1课时 角的概念）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

6.3 角 人教版（2024）七年级数学上册 第六章 几何图形初步 第一课时 角的概念 目录/CONTENTS 数学活动 考点梳理 知识导图 课本复习题 学习目标 1. 明确角的意义及其表示方法. 2. 知道角的度量单位，会进行简单的单位换算. 3. 了解方位角的表示方法. 情景导入 在日常生活中，角的实例随处可见.例如，钟面上的时针和分针、棱锥相交的两条棱、三角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象. 新知探究 我们知道，有公共端点的两条射线组成的图形叫作角． 这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. ∠AOB 或 ∠O ∠ 1 ∠α 角通常用如下图的方法来表示. 如图，能把∠α 记作∠O 吗？为什么？ ∠α还可以怎样表示？ 唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来记角. α β O 不可以，以 O 为顶点的角不止一个， 记作∠O 分不清是哪一个. 思 考 角也可以看作由一条射线绕着它的端点形成的图形.如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OA 和 OB 重合时，又形成什么角？ 终边 始边 A O B A O (B) 平角 周角 我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 如图，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′； 把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是六十进制的，六十进制起源于四大文明古国之一的古巴比伦. 1周角=_____° 1平角=_____° 1直角=_____° 360 180 90 例如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α = 48º56ʹ37ʺ. 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 此外，还有其他度量角的单位制。例如，以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制，等等. 借助三角尺，可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角； 借助量角器，可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角. 最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密(Ptolemaeus，约90-168)的《天文学大成》托勒密在书中将圆周分为360等份，将1份记为1°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制. 溯 源 课本例题 例1 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、和海岛D方向的射线. O 北 南 西 东 A 60° 在航行中，测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如 “北偏东 30° ” “南偏东 25°”. O 北 南 西 东 A 60° 解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在位置. B 40° 类似地，你能在图中画出表示货轮C和海岛D方向的射线吗？ C D 10° 45° 课堂练习 1. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？ 8时30分呢？ 解：分别是180°，120°，75°的角. 2. 根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来. 表示 方法1 ∠1 ∠3 ∠D 表示 方法2 ∠CAD ∠ACB ∠ABC ∠ACD ∠2 ∠B ∠4 ∠BAC ∠ADC 3.（1）35°等于多少分？等于多少秒？ （2） 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？ 解：（1）35°=2100'=126000'' （2）这两个角不相等，38°15'大. 4. 从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形（六条边相等，六个角也相等）构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形. 分层练习-基础 1. 下列说法中正确的是(　D　) A. 两条射线所组成的图形叫作角 B. 角是有公共端点的两条线段组成的图形 C. 角可以看作由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 D. 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D 2. 下列4个图形中，能用∠1，∠ AOB ，∠ O 三种方法表示 同一角的图形是(　B　) A B B C D 3. [2023临沂]下图中用量角器测得∠ ABC 的度数是(　C　) A. 50° B. 80° C. 130° D. 150° C 4. 下列说法正确的是(　C　) A. 平角就是一条直线 B. 小于平角的角是钝角 C. 平角的两条边在同一条直线上 D. 周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0° C 5. [2024衡水一模]嘉嘉一家去赵州桥参观.如图，嘉嘉站在 点 B 处，赵州桥在点 A 处，则从点 B 看点 A 的方向是 (　A　) A. 南偏东43° B. 南偏东47° C. 北偏西43° D. 北偏西47° A 6. [教材P172练习T1变式]某一时刻，时钟上显示的时间是9 时30分，则此时时针与分针的夹角是(　C　) A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° C 7. 计算： (1)40°12'36″＝ °； (2)7.26°＝ ° ' ″； (3)35.15°＝ ° '. 40.21　 7　 15　 36　 35　 9　 8. 如图，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角； 解：(1)∠ A ，∠ C . (2)写出以点 B 为顶点的角； 解：(2)∠ ABE ，∠ EBC ，∠ ABC . (3)图中共有几个小于平角的角？ 解：(3)图中共有7个小于平角的角. 分层练习-巩固 9. [2024石家庄模拟]一个20°的角放在10倍的放大镜下看是 (　A　) A. 20° B. 2° C. 200° D. 无法判断 A 10. [2024长沙开福区模拟]已知∠1＝30°36'，∠2＝ 30.36°，∠3＝30.6°，则下列说法正确的是(　C　) A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠3 D. ∠1，∠2，∠3互不相等 C 11. 用一副三角尺不能画出(　C　) A. 75°角 B. 135°角 C. 160°角 D. 105°角 C 12. [教材P172练习T1变式]小明晚上放学到家时，钟表的时 间显示为6时15分(如图)，此时时钟的分针与时针所成角 的度数是 ⁠. 97.5°　 13. 【新视角·规律探索题】有公共端点的两条射线组成的图 形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点. (1)如图①，过点 A 在角的内部作1条射线，那么图中一 共有 个角； (2)如图②，过点 A 在角的内部作2条射线，那么图中一 共有 个角； (3)如图③，过点 A 在角的内部作3条射线，那么图中一 共有 个角； (4)在一个角的内部作 n 条射线，那么一共 有 个角.(用含 n 的式子表示) 3　 6　 10　 　 分层练习-拓展 14. 【新视角·项目探究题】综合与实践： 【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成 夹角的度数也随之变化，记时针和分针的夹角为α(α大于 或等于0°，且小于或等于180°).我们可以求出任意时 刻α的度数吗？ 【初步探究】小明所在的兴趣小组开展研究如下. 分针运动规律 分针每分钟走6 ° 时针运动规律 时针每小时走30 °，即每分钟走0.5 ° 规定 当时针和分针指向刻度12时记为0 ° 特例探究 1(8时50分) 分针绕中心点 O 旋转所得角的度数是 6 °×50＝300 °，时针绕中心点 O 旋转所得角的度数是30 °×8＋0.5 °×50＝ 265 °，所以α＝300 °－265 °＝35 °. 特例探究 2 (8时30分) 分针绕中心点 O 旋转所得角的度数是6 °×30＝ 180 °，时针绕中心点 O 旋转所得角的度数是30 °×8＋0.5 °×30＝255 °，所以α＝255 °－ 180 °＝75 °. 特例探究 3 (8时10分) 分针绕中心点 O 旋转所得角的度数是6 °×10＝ 60 °，时针绕中心点 O 旋转所得角的度数是30 °×8＋0.5 °×10＝245 °，此时245 °－60 °＝185 °，因为185 °＞180 °，所以α＝360 °－185 °＝175 °. 【深入探究】 (1)当时间为7时30分时，α的度数为 ⁠. 45°　 (2)王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不 到8时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直 角，求王老师外出散步用了多少分钟？ 解：(2)设王老师外出散步用了 x 分钟， 则｜30×7＋0.5 x －6 x ｜＝90，解得 x ＝ 或 . 答：王老师外出散步用了 分钟或 分钟. 课堂小结 有 的 射线组成的图形叫作角；角也可以看作由一条射线绕着它的 旋转而形成的图形． 角 概念 表示 公共端点 度量和单位 1 周角＝　　°，1 平角＝　　°， 1°＝　　′，1′＝　　″ 两条 端点 ∠AOB 或 ∠BOA 或 ∠O ∠α ∠1 360 180 60 60 图中表示的角记作 图中表示的角记作 图中表示的角记作 $$