4.7 余弦函数的图像和性质（教学设计）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2023修订版·基础模块上册）

4.7 余弦函数的图像和性质 课程目标 1、掌握余弦函数的图像和性质； 2、学会利用余弦函数的图像和性质解决相应问题； 3、提高数学建模能力，锻炼数形结合能力。 重点：掌握余弦函数的图像和性质。 难点：利用相应图像和性质解决各类问题。 教学方法：通过正弦函数经过平移得到余弦函数的图像，进而得到余弦函数的图像和性质。 教学工具：多媒体。 一．情景引入 正弦函数的函数图像是一条光滑的波浪线，那么余弦函数的函数图像是什么样子呢？与正弦函数的函数图像有什么联系与区别的？ 二、探索新知 探究一 余弦函数的图像 根据诱导公式 所以余弦函数的图像就是的函数图像， 根据函数图像平移的口诀“上加下减，左加右减”可知，只需要将正弦函数的函数图像向左平移个单位，就能得到余弦函数的图像。 如图：虚线是正弦函数的函数图像，将正弦函数的函数图像向左平移得到上述实线图像，也就是余弦函数图像。 那用描点法做出余弦函数在区间的函数图像为： 把区间分成12等份，分别求出各角所对应的正弦值 0 1 0 - - -1 - - 0 1 描点，然后用平滑的曲线连接起来。 五点法作图的五个特殊点： 、、 、 、 ，要区别于正弦函数的五个点。 探究二 余弦函数的性质 性质1：周期性，最小正周期。 余弦函数是由正弦函数的图像向左平移个单位，根据正弦函数的图像可知，余弦函数也是以为最小正周期的周期函数，所以我们在研究余弦函数的性质时，仅需要研究在一个周期内的函数性质，就可以推广到任意周期。 性质2：定义域 R。 正弦函数的定义域是R，余弦函数是正弦函数向左平移个单位，所以余弦函数的定义域也是R。 性质3：值域 。 余弦函数图像是根据正弦函数图像左右平移得到的，并没有上下平移，所以并没有改变值域，余弦函数的值域为。 性质4：单调性：单调递增区间为， 单调递减区间是 正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为。因为余弦函数的图像是由正弦函数的图像向左平移个单位得到的，所以余弦函数的单调区间是由正弦函数的单调区间向左左平移个单位得到，即余弦函数的单调你递增区间为，单调递减区间为 性质5：奇偶性：余弦函数是偶函数。 余弦函数解析式,由诱导公式得,所以余弦函数是偶函数， 根据上图可知，余弦函数图像关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数。 性质6：对称轴： 。 在区间内余弦函数的对称轴为和，因为余弦函数的图像是以为最小正周期的周期函数，所以余弦函数的对称轴为： 性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。 在区间内余弦函数中当时，函数有最大值1， 当时，函数有最小值-1，因为余弦函数的图像是以为最小正周期的周期函数，所以余弦函数当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。 性质8：对称中心： 。 在区间内余弦函数的对称中心为，，因为余弦函数的图像是以为最小正周期的周期函数，所以余弦函数的对称中心为：。 例1 利用五点法作出函数在[0,2π]上的图像． 解析： 根据表中x,y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数在[0,2π]上的图像. 例2求函数y＝3cosx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合． 解析：由余弦函数的性质知,-1≤cosx≤1 ,所以-3≤3 cosx≤3 , 从而 -2≤3 cosx+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4. 故函数的最大值为4，最小值为-2. 函数y＝3cosx＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z}; 函数y＝3cosx＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}． 例3 不求值比较下列各组数值的大小： （1）与 （2）与 解析：（1）因为 , 余弦函数y=cosx在区间[0, π,]上是减函数, 所以。 （2）因为 , 余弦函数y=cosx在区间[-π,0]上是增函数, 所以 3、 巩固练习 1.用五点法作出函数y=cosx -1在[0, 2π]上的图像． 答案：以、、 、 、 五点做出函数在区间上如下图： 2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合． （1） （2） 答案：（1）最大值为1，自变量x的取值集合为; 最小值为-3，自变量x的取值集合为 。 （2）最大值为，自变量x的取值集合为； 最小值为- ，自变量x的取值集合为。 3. 不求值，比较下列各对正弦值的大小： （1）与（2）与 答案：（1）＞ （2）＞ 四、归纳总计 1、余弦函数的图像 2、余弦函数的性质 五、课后作业 1.完成余弦函数的图像和性质的配套同步练习册； 2.整理余弦函数8个重要性质的笔记； 3.思考余弦函数的图像经过平移会有什么性质。 本节内容为余弦函数的图像和性质，重点为根据正弦函数的图像平移得到余弦函数的图像，根据正弦函数的性质归纳总结余弦函数的性质，并根据余弦函数的性质求解各类问题。余弦函数的性质是难点和重点。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$