2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：二次函数的图象及其性质

二次函数的图象及其性质 教材考点梳理 考点1　二次函数的概念及解析式 1．二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.a，b，c分别为函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝_______是二次函数的特殊形式. 注意　(1)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是二次函数的一般式，并不是每个二次函数关系式都必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都没有.(2)抓住概念中的两个关键点：①自变量的最高次数是2；②二次项系数不为零. ax2 2．二次函数解析式的三种形式(a≠0) x＝－ 一般式 y＝ax2＋bx＋c，对称轴为直线_______________，顶点坐标为 ____________________ 顶点式 y＝a(x－h)2＋k，对称轴为直线________，顶点坐标为________ 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2分别为抛物线与x轴交点的横坐标. (h，k) 注意　实际解题时要根据题中已知条件，灵活选择恰当的解析式求解. 考点2　二次函数的图象和性质 1．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－ 顶点坐标 最值 当x＝－时，y有最______值，为 当x＝－时，y有最______值，为 增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 小 大 2．二次函数图象画法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法(五点作图法)： ①利用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为顶点式y＝a(x－h)2＋k； ②确定其开口方向、对称轴和顶点坐标； ③在对称轴两侧左、右对称地描点画图．一般选取顶点(h，k)、与y轴的交点__________以及该点关于对称轴的对称点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)五个点． 注意　若与x轴没有交点，则取一组关于对称轴对称的点． (0，c) 考点3　二次函数图象与系数a，b，c的关系 1．开口方向 由a决定：开口向上⇔a______0；开口向下⇔a______0. 2．对称轴的位置 (1)若对称轴在y轴的左侧，则b与a________． (2)若对称轴在y轴的右侧，则b与a________． >  <  同号 异号 3．抛物线与y轴交点的位置 (1)若抛物线与y轴交于正半轴，则c______0. (2)若抛物线与y轴交于负半轴，则c______0. 4．抛物线与x轴的交点情况 (1)若抛物线与x轴有两个交点⇔b2－4ac______0. (2)若抛物线与x轴只有一个交点⇔b2－4ac______0. (3)若抛物线与x轴没有交点⇔b2－4ac______0. >  <  ＞ ＝ <  5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的特定关系 (1)当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝___________． (2)若a＋b＋c>0，即当x＝1时，y>0；若a＋b＋c<0，即当x＝1时，y______0. a－b＋c <  考点4　二次函数图象的平移 1．平移的方法 (1)将抛物线的解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标(h，k)． (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标即可． 2．平移规律(左加右减，上加下减)(m＞0) (1)向上平移m个单位长度，y＝a(x－h)2＋k＋m. (2)向______平移m个单位长度，y＝a(x－h)2＋k－m. (3)向左平移m个单位长度，y＝a(x－h＋m)2＋k. (4)向______平移m个单位长度，y＝a(x－h－m)2＋k. 下 右 考点5　二次函数与方程及不等式的关系 1．与方程的关系 (1)当b2－4ac>0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有_____个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． (2)当b2－4ac＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有_____个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根． (3)当b2－4ac<0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴________交点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根． 2 1 没有 2．与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴______方对应点的横坐标的取值范围． (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴______方对应点的横坐标的取值范围． 上 下 核心考点突破 突破点1　二次函数的性质 【例1】已知抛物线y＝－(x＋1)2＋3，给出下列结论：①抛物线开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵a＝－<0，∴抛物线开口向下，故①正确；对称轴为直线x＝－1，故②错误；顶点坐标为(－1，3)，故③正确；∵此抛物线开口向下，∴x>1时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故④正确． 答案　C 1．(2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如右表： D x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　) A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 2．(2024·广元)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1<x1<0，2≤x2<3.则下列结论：①a－b＋c<0；②方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根；③a＋b＞0；④a>；⑤b2－4ac＞4a2.其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 3．(2024·凉山州)抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 D 4．(2024·西藏)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3，0)，B(1，0)，则下列结论正确的个数是(　　) B ①abc<0； ②3b＋2c>0； ③对任意实数m，am2＋bm≥a－b均成立； ④若点(－4，y1)，在抛物线上，则y1<y2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(2024·通辽)关于抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－4(m是常数)，下列结论正确的是________(填写所有正确结论的序号)． ①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴； ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝－4； ③若点A(m－2，y1)，B(m＋1，y2)在抛物线上，则y1<y2； ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2. ①④ 6．(2024·德阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，有以下结论：①abc＞0；②5b＋2c<0；③若抛物线经过点(－6，y1)，(5，y2)，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝4无实数根，则n<4.其中正确结论是__________(填序号)． ①②④ 突破点2　二次函数的图象与平移变换 【例2】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的函数解析式是(　　) A．y＝(x－5)2－4 B．y＝(x－5)2－1 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2－4 解析　将y＝x2－6x＋5化为顶点式为y＝(x－3)2－4，由“左加右减，上加下减”，得平移后的抛物线的解析式为y＝(x－1)2－1. 答案　C 7．(2024·包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2 8．(2021·西藏)将抛物线y＝(x－1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为(　　) A．y＝x2－8x＋22 B．y＝x2－8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2 A D 9．(2023·西藏)将抛物线y＝(x－1)2＋5通过平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是(　　) A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D 10．(2024·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． 11．(2024·内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移2个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1______(填“＞”或“<”)． k≥3 <  突破点3　二次函数的最值问题 【例3】已知实数a，b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 解析　∵a－b2＝4，∴b2＝a－4，∴原式＝a2－3(a－4)＋a－14＝a2－2a－2＝(a－1)2－3.∵b2＝a－4≥0，∴a≥4.∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，(a－1)2－3＝6，∴原式的最小值6. 答案　6 12．(2024·乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　) A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 C 13．(2024·眉山)定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2× 3)(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为(　　) A．－21 B．－9 C．－7 D．－5 14．(2020·西藏)当－1≤x≤3时，二次函数y＝x2－4x＋5有最大值m，则m＝______． B 10 $$