2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：不等式(组)

　不等式(组) 教材考点梳理 考点1　不等式的有关概念 1．不等式和一元一次不等式 (1)不等式：用不等号(如“>”“<”“≥”“≤”“≠”)表示_____ ______的式子，叫做不等式． (2)一元一次不等式：只含有________未知数，并且未知数的次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式． 不等 一个 1 关系 2．不等式的解与不等式的解集 (1)不等式的解：能使不等式成立的_________的值，叫做不等式的解. (2)不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的___________，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 未知数 所有的解 (3)不等式的解集在数轴上的表示： 解集 在数轴上表示 x<a x＞a x≤a x≥a 方法点拨　在数轴上表示不等式解集的步骤：①定边界：有等号的用实心圆点，表示包括这一点，无等号的用空心圆圈，表示不包括这一点；②定方向：大于向右，小于向左． 考点2　不等式的性质 性质 文字描述 数学语言 性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或式子，不等号的方向________ 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向________ a＞b，c＞0则ac＞bc，＞ 性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向________ 若a＞b，c<0，则ac<bc，< 不变 不变 改变 易错警示　在使用性质2时，同乘除的不能是0，因为同乘0就为等式了，同除以0无意义；在使用性质3时，一定要注意不等号的方向要改变. 考点3　一元一次不等式的解法 1．解不等式 求不等式的________的过程叫做解不等式． 解集 2．解一元一次不等式 (1)解一元一次不等式与解一元一次方程的方法类似：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1. (2)在利用不等式的基本性质3对不等式进行变形时，要注意________不等号的方向． 改变 3．一元一次不等式ax＞b解集的基本情形 (1)当a＞0时，解集为_________． (2)当a＝0且b<0时，x______________；当a＝0且b≥0时，________. (3)当a<0时，解集为_________． x＞ 取一切实数 无解 x< 考点4　一元一次不等式组及其解法 1．一元一次不等式组及其解集 (1)由含有________相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． (2)一元一次不等式组的解集：不等式组中各个不等式解集的_______ ______，叫做这个不等式组的解集． 一个 公共 部分 (3)两个一元一次不等式构成的不等式的组的解集的四种情况(a，b均为实数且a<b)： 类型 图示 解集 口诀 ________ 两大取大 ________ 两小取小 x＞b x<a a<x<b 类型 图示 解集 口诀 __________ 大小交叉中间找 ________ 大小分离找不到 无解 2．解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集． (2)将各不等式的解集在数轴上表示出来． (3)利用数轴确定各个不等式解集的公共部分，即得到不等式组的解集． 考点5　一元一次不等式(组)的应用 列一元一次不等式(组)解实际问题的一般步骤： (1)审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于(＞)”“小于(<)”“不大于(≤)”“不小于(≥)”“至少(≥)” “至多(≤)”等． (2)设：设出适当的未知数． (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式(组)． (4)解：解出所列的不等式(组)的解集． (5)答：写出答案，并检验答案是否符合题意． 核心考点突破 突破点1　解一元一次不等式 【例1】解不等式≤1，并把解集在数轴上表示出来． 解答 解：去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6. 去括号，得4x－2－9x－2≤6. 移项，得4x－9x≤6＋2＋2. 合并同类项，得－5x≤10. 系数化为1，得x≥－2. 解集在数轴上表示如下： 方法技巧　解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，不等式两边同时乘(或除以)一个负数，要改变不等号的方向． 1．(2024·湖北)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是(　　) A 2．(2024·广西)不等式7x＋5<5x＋1的解集为__________． x<－2 3．(2024·眉山)解不等式：－1≤，把它的解集表示在数轴上. 解：－1≤， 2(x＋1)－6≤3(2－x)， 2x＋2－6≤6－3x， 2x＋3x≤6＋6－2， 5x≤10， x≤2. 其解集在数轴上表示如下： 突破点2　解一元一次不等式组 【例2】解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 解答 解： 解不等式①，得x<4. 解不等式②，得x≥3. ∴不等式组的解集为3≤x<4. 在数轴上表示如下： 方法技巧　(1)解不等式组的方法是分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分． (2)把解集在数轴上表示出来时，要注意“边界点”是实心还是空心，方向是向左还是向右． 4．(2023·西藏)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) C 5．(2024·浙江)不等式组的解集在数轴上表示为(　　) A 6．(2024·吉林)不等式组的解集是_________． 2<x<3 7．(2024·临夏州)解不等式组： 解：解不等式①，得x≥1. 解不等式②，得x<2. 故原不等式组的解集为1≤x<2. 8．(2024·西藏)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 解： 由①得3x>3，则x>1. 由②得2x－1＞3x－6，则x<5， 故原不等式组的解集为1<x<5. 在数轴上表示其解集如下： 突破点3　一元一次不等式(组)的整数解 【例3】若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是(　　) A．－1<m<0 B．－1<m≤0 C．－1≤m≤0 D．－1≤m<0 解析　由题意，得m－1<x<1.∵恰有两个整数解，∴这两个整数解是0，－1.∴－2≤m－1<－1，∴－1≤m<0. 答案　D 方法技巧 (1)解此类问题时，先要求出含字母的不等式(组)的解集，再根据具体的条件(含字母的代数式的范围)，建立新的不等式(组)，求出该字母的取值范围． (2)要注意“边界点”能不能取到的问题． 9．(2024·烟台)关于x的不等式m－≤1－x有正数解，m的值可以是_________________________(写出一个即可)． 10．(2024·黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是____________． 0(答案不唯一，m<1即可) －≤a<0 11．(2024·凉山州)求不等式组－3<4x－7≤9的整数解． 解：－3<4x－7≤9， 即 解不等式①，得x＞1. 解不等式②，得x≤4. 所以不等式组的解集是1<x≤4. 所以不等式组－3<4x－7≤9的整数解是2，3，4. 突破点4　一元一次不等式(组)的应用 【例4】(应用意识)某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》的相应要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价； 解析　(1)根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元，购买3个篮球和5个足球共需费用810元，列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； 解答 解：(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元．由题意，得 　解得 故篮球的单价是120元，足球的单价是90元． (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5 500元．有哪几种购买方案？ 解析　(2)根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5 500元，列出相应的不等式组，从而求得篮球数量的取值范围，即可写出相应的购买方案． 解答 解：(2)设计划采购篮球m个，则采购足球为(50－m)个.由题意，得 解得30≤m≤33. ∵m为整数， ∴m的值可以为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案． 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个． 方法技巧 (1)利用不等式(组)解决实际问题，关键是抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式(组)，问题的答案不仅要根据解集来确定，还要根据使实际问题有意义的条件来确定． (2)在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，常用分类讨论的思想，对方案的优劣进行探讨，也可以利用函数的增减性进行解决． 12．(2024·资阳)2024年巴黎奥运会已于7月26日至8月11日举行.某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱.已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元. (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； 解：(1)设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x元，y元.由题意，得 则　解得 故A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元． (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 解：(2)设购买m件B种纪念品，则购买了(70－m)件A种纪念品.根据题意，得 60m＋80(70－m)≤5 000， 解得m≥30. 即至少应购买B款纪念品30个． 13．(2024·达州)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A种柑橘礼盒比B种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A种柑橘礼盒和15件B种柑橘礼盒的总价共3 500元． (1)A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ 解得x＝80， ∴x＋20＝100. 即A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元. 解：(1)设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为(x＋20)元．由题意，得 25x＋15(x＋20)＝3 500， (2)已知加工A，B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元和60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种柑橘礼盒共1 000盒，且A种柑橘礼盒售出的数量不超过B种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A，B两种柑橘礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 解：(2)设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为(1 000－m)盒.由题意，得 解得595≤m≤600. 设收益为w元，由题意，得 w＝(80－50)m＋(100－60)(1 000－m)＝－10m＋40 000. ∵－10<0， ∴w随m的增大而减小． ∴当m＝595时，w有最大值 wmax＝－10×595＋40 000＝34 050， 此时，1 000－m＝1 000－595＝405. 即使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元． $$