专题13 圆锥曲线经典小题汇编-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题13圆锥曲线经典小题汇编 求圆锥曲线的方程 1．（23-24高三上·北京房山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定最小时，点的位置，进而求出的关系即得. 【详解】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限， 由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号， 因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时， 取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即， 则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足， 所以双曲线C的方程可能是. 故选：C 2．（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案. 【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为， 故选：A 3．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【详解】由于焦点，所以且双曲线的焦点在轴上， 双曲线的渐近线，所以， 结合可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D 4．（22-23高三上·北京昌平·期末）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率以及求得，从而求得抛物线的方程. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 过作，垂足为，连接， 由于，所以三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以， 所以抛物线方程为. 故选：B 5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 6．（21-22高三上·北京门头沟·期末）已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为 【答案】 【分析】设，然后由题意直接列方程求解 【详解】设，则， 因为， 所以， 化简得， 所以动点的轨迹方程为 故答案为： 根据方程求参数范围 7．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知双曲线的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，， 所以 ，由，解得. 故选：A. 8．（21-22高二上·北京海淀·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出“方程表示椭圆”的充要条件，即可判断. 【详解】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且. 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 焦点三角形 9．（22-23高三上·北京东城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程为，所以.再结合题意可得到，解出，即可求得的焦距. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，的面积为4， 所以，解得，， 所以，即的焦距为. 故选：C. 10．（22-23高三上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义可求坐标，进而由三角形面积公式即可求解. 【详解】抛物线焦点为，准线方程为， ，，， 代入抛物线方程可得，不妨设点在x轴上方，即， 又， 所以，即，同理可得 所以点的纵坐标为 故选：C． 11．（22-23高三上·北京海淀·期末）点在抛物线上，若点到抛物线的焦点的距离为，为坐标原点，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据抛物线的性质求出，然后求出和，进而利用三角形面积公式，可以直接计算求解. 【详解】由已知得，焦点为，故点到抛物线的焦点的距离为，则根据抛物线的性质，可得，得到，焦点，故，得到， 所以 故答案为：1 12．（21-22高三·北京·期末）已知点在抛物线上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为 ；的面积为 . 【答案】 【分析】根据点在抛物线上，求得p即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为； 则的面积为， 故答案为：， 距离的最值问题 13．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线定义，数形结合即可求出的最小值. 【详解】 由题拋物线是抛物线的焦点， 则，准线方程为， 是抛物线上的点，过作垂直准线于， 过作垂直准线于交抛物线于， 则由抛物线定义知， 由图像可知, 即的最小值的最小值为， 由，准线方程为， 所以. 故选：C 14．（21-22高三上·北京门头沟·期末）点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离公式得解. 【详解】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离， 所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值， 即焦点到直线的距离：. 故选:B. 圆锥曲线的简单几何性质 15．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，分别表示出和即可. 【详解】抛物线的焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：D. 16．（21-22高三上·北京东城·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：，又， ∴△为等边三角形，易知：. 故选：C. 17．（22-23高三上·北京海淀·期末）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长，由此可求，再求离心率，再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期. 【详解】设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为， 因为圆柱的底面直径为2，所以，故，因为椭圆截面与底面的夹角为，所以，所以，所以，所以，所以， 观察图4知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以. 故选：B. 18．（22-23高三上·北京房山·期末）若抛物线（）上一点到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或9 D．2或9 【答案】C 【分析】由题设抛物线准线为且对称轴为x轴，令且，结合已知列方程组求参数p即可. 【详解】由抛物线（）知：准线为且对称轴为x轴， 不妨令且，则，可得， 所以，解得或，均满足题设. 故选：C 19．（22-23高三上·北京海淀·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线交点坐标为，算出即可. 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题. 20．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】设，焦点为,， 由抛物线的定义可知： ，所以， 将其代入抛物线方程中得故，所以点到轴的距离等于4， 故选：B 21．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知两点，，若直线上存在点P，使得成立，则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线”是（ ） ①；②；③ ；④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】由题可知点在以为焦点的双曲线的右支上，问题等价于直线和该双曲线右支有交点，求出双曲线方程，联立直线方程和双曲线方程，判断根的情况即可得答案. 【详解】∵，∴点在以为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线标准方程为：(a＞0，c＞0)， 则即，∴， ∴其标准方程为：. 对于①，联立和可得：， ∴，∴①不是单曲直线； 对于②，联立和可得：，∴②是单曲直线； 对于③，∵是的一条渐近线，∴③不是单曲直线； 对于④，联立和可得：， ∴，且方程两根之积为－32，方程有一正根，∴④是单曲直线. 故选：D. 22．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在上． 若是坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合抛物线第一定义求出坐标，再由向量数量积公式即可求解. 【详解】由可知，点，由得，故，所以. 故选：A 23．（23-24高三上·北京西城·期末）已知抛物线：.①则的准线方程为 ；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用以及抛物线的焦半径公式求得点的横坐标. 【详解】抛物线，，所以准线方程为，焦点， 设，则， 由于轴，平分，所以， 所以，即，， 所以的横坐标为. 故答案为：； 24．（23-24高三上·北京通州·期末）已知抛物线的焦点为，点为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于两点.若，则圆的方程为 ；若，则 . 【答案】 【分析】先根据点的纵坐标代入抛物线方程求出其横坐标，再求得圆心和半径即得圆的方程；根据可判断得到正三角形，利用其高长与边长的关系列方程解得. 【详解】 如图，当时，把代入中，解得：，因点在第一象限,故得， 依题意，圆心为，圆的半径为,故圆的方程为：. 当时，依题，，即为正三角形，因 ，则， 由解得：或. 因当时，,此时，以点为圆心，为半径的圆与准线不相交，不合题意舍去， 而显然满足题意.故. 故答案为：；. 25．（22-23高三上·北京朝阳·期末）抛物线的准线l的方程为 ．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为 ． 【答案】 ； 【分析】由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程，即可求得切线倾斜角，此时取最大值. 【详解】抛物线即的准线l的方程为； l与y轴交于点A，则有，则当AP与抛物线相切时最大， 设切点为，，∴切线方程为，切线过点A，则，解得. ∴切线斜率为，即倾斜角为或，故的最大值为. 故答案为：；. 26．（19-20高三上·北京海淀·期末）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ． 【答案】(x-1)2+y2=4. 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2， 焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1， 以F为圆心， 且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 27．（16-17高三上·北京房山·期末）抛物线y2=2x的焦点坐标为 ． 【答案】（，0）． 【详解】试题分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标． 解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0）， 故答案为（，0）． 考点：抛物线的简单性质． 28．（21-22高三上·北京密云·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过双曲线的一个焦点，并且与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为 ；若点，则的值为 ． 【答案】 【分析】求出的值，根据已知条件得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出双曲线的方程；判断出点在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可求得的值. 【详解】在直线的方程中，令可得，则， 由于直线与双曲线的一条渐近线平行，则，解得 ， 因此，双曲线的方程为； 因为，所以，点在双曲线的左支上，故. 故答案为：；. 29．（21-22高三上·北京门头沟·期末）双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 【答案】 【分析】根据题意双曲线的一条渐近线为求出，即可求出答案. 【详解】双曲线的渐近线为， 由于双曲线的一条渐近线为， 故. . 的焦距为. 故答案为：. 30．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则 ． 【答案】/2.5 【分析】由离心率得关系，结合点到直线距离公式，由焦点到其渐近线的距离得，结合关系式，即可求解. 【详解】由题可知，，设双曲线一条渐近线为，即，结合点到直线距离公式，得，即，又因为，联立解得. 故答案为： 求离心率 31．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率. 【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率， 所以双曲线离心率. 故选：D 32．（22-23高三上·北京丰台·期末）设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可. 【详解】由题知：，平行的一条渐近线为， 则直线， ，即. 因为为线段的中点，所以. 把代入得：， 化简得，即，则. 故选：C 33．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为正方形，若椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】分别根据椭圆与双曲线的性质求离心率，进而得答案. 【详解】解：因为椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点， 设其焦距为,椭圆中，长轴为,短轴为；双曲线中，实轴长为,短轴长为, 所以，对于椭圆，有，即，故，解得 对于双曲线，有，即，故，得， 所以，椭圆与双曲线的离心率之积为 故选：C 34．（22-23高三上·北京大兴·期末）某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出方程，代入坐标即可求解. 【详解】设曲线的方程为：， 代入点得：①， 代入点得：②， 联立①②解得：，， 所以曲线为双曲线，其方程为：， 离心率， 故选：D. 35．（22-23高二上·北京海淀·期末）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面，再结合三角形内切圆性质求出长即可作答. 【详解】依题意，平面截球O得球面大圆，如图，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F， 显然，而，则，又，有， 由圆的切线性质知，， 在中，，则，于是得椭圆长轴长，即， 又F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，因此， 所以椭圆的离心率. 故选：A 36．（21-22高三·北京·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以， 所以双曲线C的离心率为， 故选：C 37．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】 由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于的方程,再结合离心率公式求解即可. 【详解】由题意得，易知双曲线，即的渐近线方程为得 所以该双曲线的离心率 故答案为：. 38．（23-24高三上·北京石景山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据与的关系求得双曲线的离心率. 【详解】由于双曲线的一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 39．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为 . 【答案】 【分析】将点代入渐近线方程得，结合离心率公式即可得解. 【详解】由题意双曲线渐近线方程为，它过点， 所以，即，所以其离心率为. 故答案为：. 40．（21-22高三上·北京东城·期末）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则 ；的离心率为 . 【答案】 1 【分析】求出渐近线，利用渐近线垂直得到，求出和离心率. 【详解】由题意得：两条渐近线方程为，且，解得：，此时离心率为 故答案为：1， 41．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据渐近线得到，得到离心率. 【详解】由题意可知，，离心率. 故答案为：. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于简单题. 42．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知双曲线的一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得离心率. 【详解】由双曲线的焦点坐标为， 所以，， 所以离心率， 故答案为：. 双曲线的渐近线 43．（21-22高三上·北京朝阳·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的方程求出的值，代入渐近线方程即可. 【详解】因为双曲线，所以, 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 44．（22-23高三上·北京·期末）已知双曲线过抛物线的焦点，虚轴端点是圆与坐标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，以及圆与轴的交点坐标，可得出、的值，由此可得出该双曲线渐近线的方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为，由于双曲线过点，则， 圆与轴的交点坐标为，由题意可知， 所以，该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 45．（21-22高三上·北京通州·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的方程求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以a=4，b=3， 所以其渐近线方程是， 故选：A 46．（21-22高三上·北京石景山·期末）双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点坐标公式和渐近线方程即可直接求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即. 故答案为：；. 47．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离. 【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，， 即，，所以双曲线的渐近线方程为； 当时，， 设，则，所以. 故答案为：；. 48．（22-23高三上·北京海淀·期末）双曲线的渐近线方程 ． 【答案】 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为y=± 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 49．（22-23高三上·北京东城·期末）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 . 【答案】2 【详解】试题分析：由双曲线方程可知渐近线方程为，所以. 考点：本题考查双曲线的渐近线. 50．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为 ；若，则 . 【答案】 【分析】求得，由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得 【详解】依题意，所以双曲线的渐近线方程为， 由于，所以在双曲线的左支，所以. 故答案为：； 51．（22-23高三上·北京房山·期末）若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据离心率求得，然后求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，， ， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 52．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知双曲线的一个顶点为，且渐近线方程为，则实数 ， ． 【答案】 1 /-0.25 【分析】根据双曲线的一个顶点为，代入求得m，再根据其渐近线方程为求解. 【详解】解：因为方程表示双曲线， 所以， 因为双曲线的一个顶点为， 所以，则， 又因为其渐近线方程为， 所以，解得， 故答案为：1， 曲线上的点到点或直线的距离问题 32．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出. 【详解】设，， 又因为，所以， 故. 故选：D. 54．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知抛物线上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】由抛物线的定义知M与准线的距离为4，即知M到y轴的距离为3，进而求M的纵坐标可得到x轴的距离. 【详解】由抛物线方程知：其准线为，又其上一点M与焦点F的距离为4， ∴M与准线的距离为4，故M到y轴的距离为3， ∴M的横坐标，代入抛物线可得， ∴M到x轴的距离是. 故选：B. 55．（22-23高三上·北京西城·期末）已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可. 【详解】解:由题知双曲线, 即, 故焦点坐标为, 渐近线方程为:, 即, 由双曲线的对称性, 不妨取焦点到渐近线的距离, 故焦点到其渐近线的距离为. 故选:B 56．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值. 【详解】因为抛物线过点， 所以， 所以抛物线，则， 又因为，所以，解得：或. 故选：C. 57．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义得到，即求. 【详解】由抛物线可得，准线方程为， 因为抛物线上的点P到它的焦点的距离为5， 所以， 所以，即点到轴的距离为4. 故选：C. 58．（22-23高三上·北京海淀·期末）抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 ． 【答案】7 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】设，抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义可得，所以， 故点到轴的距离为7， 故答案为：7.    59．（21-22高三上·北京东城·期末）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 弦长问题 60．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 61．（21-22高三上·北京密云·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，且，则点到轴的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出，再由焦半径公式表示出，得到，结合这两个关系式可求解 【详解】已知焦点F到准线的距离为2，得，可得 设()，， 与抛物线方程联立可得： ，，① 又，，② 根据①②解得， 点A到y轴的距离为2. 故选：B 三角形（四边形）问题 62．（22-23高三上·北京·期末）曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得与有两个不同的交点，联立即可求解. 【详解】由题意可得与有两个不同的交点， 联立，可得. 易知，故， 要与有两个不同的交点，可得,解得. 故答案为:. 中点弦问题 63．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知F是抛物线的焦点，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为线段的中点，若，则p的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设出点，的坐标，利用抛物线定义结合已知求出，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】设，抛物线的准线为：， 因为线段的中点，则，又，解得. 故选：B 64．（23-24高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线过原点； ②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形； ③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线围成区域的面积大于． 则所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案. 【详解】设，则，到直线l的距离， 由题意可知，， ，， 当时，， 则； 当时，，则，，. 可作图如下： 由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误； 曲线经过4个点，没有其它整点，故③正确； 由，，， 四边形的面积，， ， 多边形的面积 曲线W围成区域的面积大于，故④正确. 故答案为：①③④. 65．（23-24高三上·北京东城·期末）已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的是 ①若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆 ②若三棱柱的表面积为定值，则点的轨迹为椭圆 ③若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 ④若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 【答案】①③④ 【分析】根据圆的定义判断①，根据椭圆的定义判断②，根据抛物线定义判断③，根据圆锥曲线定义判断④. 【详解】由题知，如图，建立空间直角坐标系， 设，则，， 为与平面所成的角， 所以， 化简得，所以的轨迹为圆，①正确； 易知当三棱柱的侧面积为定值时，点的轨迹为椭圆， 表面积比侧面积增加了上下底面， 而底面积是变化的，所以②错； 对于③，因为点到直线与相等， 所以点的轨迹为点到点与直线距离相等的轨迹， 即抛物线，所以③对； 对于④，因为、， 所以，于是满足条件的运动成圆锥面， 其与平面的交线为双曲线，所以④对. 故答案为：①③④ 66．（22-23高三上·北京东城·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为 .（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】设，求出直线的方程，与准线方程联立可得.设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，从而可求与的关系，即与的关系. 【详解】设， 则直线的方程为， 令，可得. 设直线的方程为， 联立，可得， 所以，即. 所以，即. 故答案为:. 67．（22-23高三上·北京海淀·期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线的渐近线方程；求出的取值范围，可得出，结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】在双曲线中，，，，则， 所以，双曲线的渐近线方程为， 直线的倾斜角为，由题意可知，则， 所以，. 故答案为：；. 68．（21-22高三上·北京顺义·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义为两点、之间的“出租车距离”. 给出下列四个结论：①若点，点，则； ②到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是； ③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是； ④若点，点是圆上的动点，则的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】利用题中定义可判断①；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断②；利用题中定义以及二次函数的性质可判断③；设点，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④. 【详解】对于①，，①对； 对于②，设点满足，即. 对于方程，当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，. 作出集合所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示： 平面区域是边长为的正方形，该区域的面积为，②错； 对于③，设点，则，令. 当时，， 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，，③对； 对于④，设点，则， 所以，的最大值是，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断③时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断④时，在涉及圆或椭圆上的点相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算. 69．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值. 【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确； 设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确； 为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误； 当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13圆锥曲线经典小题汇编 求圆锥曲线的方程 1．（23-24高三上·北京房山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京昌平·期末）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 6．（21-22高三上·北京门头沟·期末）已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为 根据方程求参数范围 7．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知双曲线的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·北京海淀·期末）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 焦点三角形 9．（22-23高三上·北京东城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高三上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高三上·北京海淀·期末）点在抛物线上，若点到抛物线的焦点的距离为，为坐标原点，则的面积为 . 12．（21-22高三·北京·期末）已知点在抛物线上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为 ；的面积为 . 距离的最值问题 13．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（21-22高三上·北京门头沟·期末）点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 圆锥曲线的简单几何性质 15．（23-24高三上·北京朝阳·期末）设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（    ） A． B． C． D． 16．（21-22高三上·北京东城·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为. 若，则（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高三上·北京海淀·期末）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高三上·北京房山·期末）若抛物线（）上一点到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或9 D．2或9 19．（22-23高三上·北京海淀·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高三上·北京大兴·期末）已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 21．（21-22高三上·北京顺义·期末）已知两点，，若直线上存在点P，使得成立，则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线”是（ ） ①；②；③ ；④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 22．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在上． 若是坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·北京西城·期末）已知抛物线：.①则的准线方程为 ；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 24．（23-24高三上·北京通州·期末）已知抛物线的焦点为，点为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于两点.若，则圆的方程为 ；若，则 . 25．（22-23高三上·北京朝阳·期末）抛物线的准线l的方程为 ．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为 ． 26．（19-20高三上·北京海淀·期末）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ． 27．（16-17高三上·北京房山·期末）抛物线y2=2x的焦点坐标为 ． 28．（21-22高三上·北京密云·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过双曲线的一个焦点，并且与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为 ；若点，则的值为 ． 29．（21-22高三上·北京门头沟·期末）双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 30．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则 ． 求离心率 31．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 32．（22-23高三上·北京丰台·期末）设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知为正方形，若椭圆与双曲线都以为焦点，且图像都过点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（    ） A． B． C．1 D． 34．（22-23高三上·北京大兴·期末）某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高二上·北京海淀·期末）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 36．（21-22高三·北京·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 37．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为 . 由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于的方程,再结合离心率公式求解即可. 38．（23-24高三上·北京石景山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 39．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为 . 40．（21-22高三上·北京东城·期末）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则 ；的离心率为 . 41．（22-23高三上·北京海淀·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为 . 42．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知双曲线的一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为 . 双曲线的渐近线 43．（21-22高三上·北京朝阳·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 44．（22-23高三上·北京·期末）已知双曲线过抛物线的焦点，虚轴端点是圆与坐标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 45．（21-22高三上·北京通州·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高三上·北京石景山·期末）双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 . 47．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 48．（22-23高三上·北京海淀·期末）双曲线的渐近线方程 ． 49．（22-23高三上·北京东城·期末）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 . 50．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为 ；若，则 . 51．（22-23高三上·北京房山·期末）若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 . 52．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知双曲线的一个顶点为，且渐近线方程为，则实数 ， ． 曲线上的点到点或直线的距离问题 32．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（    ） A． B．4 C．5 D． 54．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知抛物线上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是（    ） A． B． C．4 D．12 55．（22-23高三上·北京西城·期末）已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 56．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 57．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 58．（22-23高三上·北京海淀·期末）抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 ． 59．（21-22高三上·北京东城·期末）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 弦长问题 60．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 61．（21-22高三上·北京密云·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，且，则点到轴的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三角形（四边形）问题 62．（22-23高三上·北京·期末）曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 中点弦问题 63．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知F是抛物线的焦点，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为线段的中点，若，则p的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 64．（23-24高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线过原点； ②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形； ③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线围成区域的面积大于． 则所有正确结论的序号是 ． 65．（23-24高三上·北京东城·期末）已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的是 ①若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆 ②若三棱柱的表面积为定值，则点的轨迹为椭圆 ③若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 ④若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 66．（22-23高三上·北京东城·期末）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为 .（填“＞”“＜”或“＝”） 67．（22-23高三上·北京海淀·期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是 ；的取值范围是 . 68．（21-22高三上·北京顺义·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义为两点、之间的“出租车距离”. 给出下列四个结论：①若点，点，则； ②到点的“出租车距离”不超过的点的集合所构成的平面图形面积是； ③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是； ④若点，点是圆上的动点，则的最大值是. 其中，所有正确结论的序号是 . 69．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$