专题14 计数原理（十二大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题14 计数原理 平均分组问题 1．（23-24高三上·北京丰台·期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（    ） A．18 B．19 C．31 D．37 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（    ） A． B． C． D． 部分平均分组问题 3．（21-22高三上·北京通州·期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 二项展开式的通项公式 4．（23-24高三上·北京丰台·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．120 C． D．60 5．（23-24高三上·北京东城·期末）的展开式中，的系数为（   ） A．1 B．5 C．10 D．20 6．（22-23高三上·北京东城·期末）在的展开式中，若第3项的系数为10，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 8．（22-23高三上·北京通州·期末）已知，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 9．（21-22高三上·北京东城·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A．5 B． C．10 D． 10．（22-23高三上·北京大兴·期末）在展开式中，的系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 11．（23-24高三上·北京顺义·期末）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 根据二项式展开式的通项即可求解. 12．（23-24高三上·北京通州·期末）在的展开式中，的系数为 . 13．（23-24高三上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 14．（23-24高三上·北京海淀·期末）在的展开式中，的系数为 . 15．（22-23高三上·北京通州·期末）在展开式中，的系数为 .(用数值表示) 16．（22-23高三上·北京海淀·期末）在的展开式中，的系数为 . 17．（2022·北京门头沟·一模）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 18．（23-24高三上·北京房山·期末）的展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高三上·北京丰台·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．24 C． D．48 20．（19-20高三上·北京朝阳·期末）展开式的常数项是 ．（用数字作答） 21．（22-23高三上·北京房山·期末）的展开式中常数项是 .（用数字作答） 22．（21-22高三上·北京·期末）的展开式中的常数项为 .（用数字作答） 23．（22-23高三上·北京·期末）展开式中的常数项为 . 24．（21-22高三上·北京西城·期末）的展开式中的常数项是 . （二项式）系数之和问题 25．（21-22高三上·北京·期末）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 . 26．（22-23高三上·北京·期末）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 27．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则（    ） A． B．32 C．495 D．585 系数的最值 28．（22-23高三上·北京通州·期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（22-23高三上·北京昌平·期末）图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 30．（21-22高三上·北京顺义·期末）数列：满足，称为数列的指数和. (1)若，求所有可能的取值； (2)求证:的充分必要条件是； (3)若，求的所有可能取值之和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 计数原理 平均分组问题 1．（23-24高三上·北京丰台·期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（    ） A．18 B．19 C．31 D．37 【答案】B 【分析】设吉祥物宸宸记为，莲莲记为，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可. 【详解】设吉祥物宸宸记为，莲莲记为 ①每人得到一张，一张，共有1种分法； ②将这八张纪念卡分为四组， 再分给四个人，则有种分法 ③将这八张纪念卡分为四组， 再分给四个人，则有种分法 共有：种. 故选：B. 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解. 【详解】由题意得, 把全年级6个班分为甲､乙两组共有种方法， 高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组共有种方法， 所以高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是， 故选:C. 部分平均分组问题 3．（21-22高三上·北京通州·期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先将剩下的3名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可. 【详解】先将剩下的3名志愿者分为两组有种，再把小明和小李分别放在两组中有2种， 最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2种，则共有种. 故选：C. 二项展开式的通项公式 4．（23-24高三上·北京丰台·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．120 C． D．60 【答案】D 【分析】求出的通项，令即可得出答案. 【详解】的通项为：， 令可得：的系数为. 故选：D. 5．（23-24高三上·北京东城·期末）的展开式中，的系数为（   ） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】由二项展开式的通项计算即可得. 【详解】二项展开式的通项为， 令，即，有， 故的系数为10. 故选：C. 6．（22-23高三上·北京东城·期末）在的展开式中，若第3项的系数为10，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】展开式的通项为，故，. 故选：B 7．（22-23高三上·北京昌平·期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式为， 令，解得， 所以. 故选：B 8．（22-23高三上·北京通州·期末）已知，则（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出答案即可. 【详解】因为 所以 故选：C 9．（21-22高三上·北京东城·期末）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数. 【详解】解：由题设，， ∴当时，. ∴含项的二项式系数. 故选：A. 10．（22-23高三上·北京大兴·期末）在展开式中，的系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【详解】展开式中含的项为，所以的系数为， 故选：C 11．（23-24高三上·北京顺义·期末）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】10 【分析】 根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，可得， 所以的系数为， 故答案为：10 12．（23-24高三上·北京通州·期末）在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】由展开式的通项求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 所以x的系数为， 故答案为：-56. 13．（23-24高三上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 取，得的系数为. 故答案为： 14．（23-24高三上·北京海淀·期末）在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可. 【详解】的展开式的通项为 令得，所以，的系数为. 故答案为：. 15．（22-23高三上·北京通州·期末）在展开式中，的系数为 .(用数值表示) 【答案】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】解： 令，则 ，即的系数为， 故答案为： 16．（22-23高三上·北京海淀·期末）在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】利用二项式定理得到的展开通项，从而求得的系数. 【详解】因为的展开通项为， 令，得，此时， 所以的系数为. 故答案为：. 17．（2022·北京门头沟·一模）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】首先写出通项，再令，求出，代入即可求出. 【详解】由二项式定理的通项公式得：，则令，求出 . 所以的系数为：. 故答案为：. 18．（23-24高三上·北京房山·期末）的展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 写出二项式展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 19．（22-23高三上·北京丰台·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．24 C． D．48 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项． 【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为 故选：B 20．（19-20高三上·北京朝阳·期末）展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】24 【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答. 【详解】展开式的通项公式是， 由，得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：24 21．（22-23高三上·北京房山·期末）的展开式中常数项是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中常数项是. 故答案为：. 22．（21-22高三上·北京·期末）的展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为求解出的值，将的值代入展开式则常数项可求. 【详解】展开式的通项为， 令，， 所以常数项为， 故答案为：. 23．（22-23高三上·北京·期末）展开式中的常数项为 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案. 【详解】由题意的展开式的通项为 ， 令， 故展开式中的常数项为， 故答案为：60 24．（21-22高三上·北京西城·期末）的展开式中的常数项是 . 【答案】 【分析】根据二项式的展开式的通项可得答案. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. （二项式）系数之和问题 25．（21-22高三上·北京·期末）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案. 【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则. 则展开式中第项为. 令可得，则的系数为. 故答案为： 26．（22-23高三上·北京·期末）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 【答案】 【分析】先根据二项式系数之和求出，然楼根据展开式的通式，令的次数为零即可得常数项. 【详解】由展开式的二项式系数之和为64得，解得， 即，其展开式的通式为 令得， 故答案为：. 27．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则（    ） A． B．32 C．495 D．585 【答案】C 【分析】利用赋值法，分别将赋值为，利用方程的思想，可得答案. 【详解】令，可得，解得； 令，可得，则； 令，可得，则； 令，，则. 故选：C. 系数的最值 28．（22-23高三上·北京通州·期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果. 【详解】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 29．（22-23高三上·北京昌平·期末）图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】由上而下依次归纳小球到每一层相邻两球空隙处的线路数后可正确的选项. 【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1； 第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1， 第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：即为， 第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：即为， 第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：即为， 第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：即为， 故小球落入D区的路线数有20条. 故选：C. 30．（21-22高三上·北京顺义·期末）数列：满足，称为数列的指数和. (1)若，求所有可能的取值； (2)求证:的充分必要条件是； (3)若，求的所有可能取值之和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值. （2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可. （3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和. 【详解】（1）由题设，，又， 所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，； 综上，. （2）证明充分性：当时，可得； 证明必要性：当时，用反证法， 假设，则矛盾. 从而； 所以的充分必要条件是，得证. （3）当时，由（2）知：，反之亦然. 当时，有中不同取值方式， 其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种， 因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次， 从而所有指数和之和为 . 【点睛】关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$