期末复习（压轴题50题）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

期末复习（压轴题50题） 一、单选题 1．观察下面三行数： ，，， ① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，根据每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为，即可得即，，，再代入代数式计算即可求解，根据每行所给数找出规律是解题的关键． 【详解】解：由每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为， ∴第①②③行的第个数分别为，，， 即，，， ∴ ， 故选：． 2．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 3．在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，寻找规律式即可求解，解题的关键是寻找规律 【详解】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，共6个相乘， ∴ 故选：C 4．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 5．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 6．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101． 故选：C． 7．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简的结果为（   ） A． B． C． D．b 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据数轴得到，再根据负数的绝对值是它的相反数得到，进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：A ． 9．数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距3个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或3， 故选：C． 10．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 11．若关于的多项式中不含有的一次项，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项法则，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键； 先把多项式合并，然后令的一次项系数等于，再解方程即可． 【详解】解：， 即， 解得：， 故选：C 12．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 13．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键； 设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或， 故选：C 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，先表示出，再求出y，最后再求解x即可． 【详解】解：设正方形框内部分为，如图 则由题意得，， ∴， 则， ∴， 解得：， 由 得， ∴， ∴， 由， 得： ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，所以，第行，第列的数是． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是， ∴第行，第列的数是第一个数是， 下一个数出现在第行，第列为 ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 16．若，，且，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的计算，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键．先计算绝对值，结合，确定a，b的值，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， ∴或， 故答案为：或． 17．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 18．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题， 根据题意得出变化规律，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得； ； ， ∴． ∴． 故答案为：120． 19．如果记 ，并且表示当时，y的值，即 ，同理 表示当 时y的值，即 ，…那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算，，，的值得到，，从而得到规律，然后利用此规律得到最后的值． 【详解】解：，， ， ，， ， 同理可得， ． ， 故答案为：． 20．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据是边长为的正方形纸片面积的一半，得到的面积为，依此论推的面积为，的面积为，，于是得到结论，正确地找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵是边长为的正方形纸片面积的一半， ∴的面积为， 依此论推的面积为， 的面积为， ， 因此，求的值， 即为求将图形分割下去空白部分的面积， 此时剩余阴影部分面积为， ∴， 故答案为：． 21．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为100，我们发现第一次输出的结果为50，第二次输出的结果为25，第三次输出的结果为28，…，则第2024次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，求出前几个数字，得到从第五次开始，运算结果以为一个循环节，进行循环，进而求出第2024次输出的结果即可． 【详解】解：第1次输出结果为：50， 第2次输出结果为：25， 第3次输出结果为：， 第4次输出结果为：， 第5次输出结果为：， 第6次输出结果为：， 第7次输出结果为：， 第8次输出结果为：， 第9次输出结果为：， 第10次输出结果为：， 第11次输出结果为：， 第12次输出结果为：， 第13次输出结果为：， 第14次输出结果为：， ， ∴从第9次开始，运算结果以为一个循环节，进行循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为1； 故答案为：1． 22．如图， 条直线相交，最多个交点； 条直线相交最多有个交点； 条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 三、解答题 23．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 24．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 【答案】(1)或 (2)45或50或110或135或170 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键． （1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线顺时针旋转、逆时针旋转时；②射线逆时针旋转、顺时针旋转时，根据射线与旋转的角度即可得出答案； （2）分四种情况讨论：①当即时，②当时，③当即时，④当时，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线顺时针旋转、逆时针旋转时， 由题意得： ， ∴， ∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2； ②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时， 由题意得：， ∴， ∴射线与旋转的速度之比为5：4； 综上，射线与旋转的速度之比为1：2或5：4， 故答案为：1：2或5：4； （2）解：①当即时， 由题意得：， 解得：； ②当时， 由题意得：， 解得：； ③当即时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； ④当时， 由题意得：或或， 解得：或135或170； 综上，t的值为45或50或110或135或170． 25．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 26．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且． (1)填空：______，______； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，已知点C为数轴上一动点，且满足，求出点C表示的数； (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且的值始终是一个定值，求m的值及该定值． 【答案】(1) (2)或17 (3)m的值为，该定值为3． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，非负数，解题的关键是数形结合，运用方程思想解题； （1）利用非负数的意义即可求得结论； （2）分三种情况讨论解答：点C在点A的左侧，点C在点B的右侧，点C在线段上，根据列方程解答即可； （3）分D点向左运动和向右运动两种情形解答，依据题意列出的值的式子，整理后使得的系数为0即可求得结论． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为x， 当点C在点A的左侧时，则， ， ， 解得：， 当点C在点B的右侧时，， ， ， ， 当点C在线段上时， 则， 故此情况不成立，舍去， 综上所述：点C表示的数为或17； （3）解：当点D从原点向左运动时，则D表示的数为：，A表示的数为：， B表示的数为：， ， ， 的值始终是一个定值， ， 解得：， 此时， 当点D从原点向右运动时，则D表示的数为：，A表示的数为：， B表示的数为：， ， ， 的值始终是一个定值， ， 解得：， ， ∴此种情形不存在， 综上所述，m的值为，该定值为3． 27．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 28．观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256 (2)， (3)不存在m的值，使这三个数的和等于514 【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点， （1）根据第一组对应的数为的序数次幂的规律即可得解； （2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为即可得解； （3）根据规律构建方程即可解决问题； 熟练掌握探究的规律是解决此题的关键． 【详解】（1）观察知，第一组第一个数为， 第一组第二个数为， 第一组第三个数为， 第一组第四个数为， ∴第一组第n个数为， ∴第一组的第8个数分别是， 故答案为：256； （2）观察知，第二组第一个数为， 第二组第二个数为， 第二组第三个数为， 第二组第四个数为， ∴第二组第n个数为， 观察知，第三组第一个数为， 第三组第二个数为， 第三组第三个数为， 第三组第四个数为， ∴第三组的第n个数， 故答案为：，； （3）由题意知， ∴， ∵， ∴不存在m的值，使这三个数的和等于514． 29．已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)；或 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据及已知条件，即可得出答案； （2）根据及已知条件，先求出和的长；当点为中点时，则，然后根据即可求出的长，根据即可求出的长；分两种情况讨论：）当在点左侧时；）当在点右侧时；分别画出图形，然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 当点为中点时， 则， ， ， ； 分两种情况： ）当在点左侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； ）当在点右侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 30．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右边．且与之间的距离是6，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数 ，与点的距离为3的点表示的数是 ． (2)点表示的数 （用含的代数式表示），点表示的数 （用含的代数式表示）． (3)当运动时间为几秒时，点与点到原点的距离相等？ 【答案】(1)4；1或7 (2)； (3)当或2时，点与点到点距离相等 【分析】（1）由点表示的数、的长及点在点的右边，即可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出与点的距离为3的点表示的数； （2）由点，的出发点、运动速度及运动方向，可找出当运动时间为秒时，点，表示的数； （3）由点与点到点距离相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解： 点表示的数为，在的右边，且与的距离是6， 点表示的数为． ，， 与点的距离为3的点表示的数是1或7． 故答案为：4；1或7； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：；； （3）解：依题意，得：， 即或， 解得：或． 答：当或2时，点与点到点距离相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出各点表示的数；（2）根据各数量之间的关系，利用含的代数式表示出点，表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 31．已知，，三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为，，，点为原点． (1)若，点对应的数为5，点为，中点，则________，________． (2)如图2所示，线段位于数轴正半轴，点在之间并满足，点在之间并满足，若，，请用含，的式子表示线段． (3)在（1）条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．在运动过程中，若剪下线段，并将端点沿着线段上的点向左折叠，得到（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，30 (2) (3)0或或 【分析】（1）根据绝对值方程和点A的位置即可求出a的值，根据数轴上两点间距离可求b的值； （2）设点M表示的数为m，根据数轴上两点间距离，并结合已知可求出点C、D表示的数，然后数轴上两点间距离求解即可； （3）先求出t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，则，设在上剪切处为Q，在剪切处为，则，然后分①，②，③三种情况讨论，结合已知可求出，，再根据数轴上两点间距离即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 又A在原点左边， ∴， ∵点对应的数为5， ∴， ∵点为，中点， ∴， ∴， 故答案为：，30； （2）解：∵， ∴点B表示的数是b， 设点M表示的数为m， ∴， ∵， ∴点N表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点D表示的数为， ∵， ∴， ∴点C表示的数为， ∴； （3）解：根据题意，得t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 设在上剪切处为Q，在剪切处为，如图， 则， ①当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； ②当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； ③当时， ∴，， ∴， ∴点P表示的数为； 综上，点P表示的数为0或或． 【点睛】本题考查了绝对值方程，数轴上两点间距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 32．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出两个连续奇数乘积的倒数与两个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出规律． 【详解】（1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 33．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数轴帮助我们把数和点对应起来，体现了数形结合的思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，数轴是“数形结合”的基础．某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图， [探究]操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示__________的点重合 操作二： （2）折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示的点与表示_________________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为在的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是_________________，_________________， 操作三： （3）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条钱段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是________________ 【答案】（1）；（2）①；②；；（3）1或2或3 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据两点中点计算公式找到折叠点表示的数，再根据折叠后重合的两点到折叠点的距离相等进行求解即可； （2）①同（1）求解即可；②求出点A和点B到折叠点的距离都为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当时，当时，当时，分别求 出、、的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可． 【详解】解：（1）∵折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）①∵折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：7； ②∵数轴上A、B两点之间距离为在的左侧），且A、B两点经折叠后重合， ∴点A和点B到折叠点的距离都为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案为：；； （3）如图，当时，    设，，， ∴， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：； 如图，当时，    设，，， ∴， ∴， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图，当时，   ，，， ∴， ∴， ，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是1或2或3． 故答案为：1或2或3． 34．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 35．如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动至C点需要多少时间? (2)点P、Q在M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)秒 (2) (3)t为2或或11或17 【分析】本题综合考查了数轴与动点，一元一次方程在数轴上的应用．熟练掌握路程、速度、时间三者的关系，数轴上动点表示的数，数轴上两点间的距，分类讨论，是解题的关键． （1）求出三段路程上的时间和，即可； （2）由P、Q在上时，P表示的数为，Q表示的数为，在M点相遇时，，解得，即得点对应的数； （3）当时，，解得；当时， ，解得；当时， ，解得；当时， ，无解；当时， ，解得． 【详解】（1）解：动点P从点A运动至C点需要时间： （秒）； （2）解：∵P到O时花了8秒，8秒后点P在上， ∴点P表示的数为：， ∵Q到B花了5秒，5秒后点Q在上， ∴点Q表示的数为：， 当在M点相遇时，， 解得， ∴点M所对应的数为： （3）解：∵运动时间为t秒，， ①当时， P表示的数为：，， Q表示的数为：，， ∴， 解得； ②当时， P表示的数为：，， Q表示的数为：，， ∴， 解得； ③当时， P表示的数为：，， Q表示的数为：，， ∴， 解得； ④当时， P表示的数为：，， Q表示的数为：，， ∴， 无解； ⑤当时， P表示的数为：，， Q表示的数为：，， ∴， 解得； 综上，t为2或或11或17． 36．阅读下列材料，我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果_______； (2)若已知，求的值； (3)拓展探索：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，整体代入即可； （3）将原式去括号整理成，再整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 37．两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 【答案】(1) (2) (3)为定值，这个定值为 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，理解图示中角度的关系，掌握角度之间的数量关系，角度的和差计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，，由平角的性质可得，由此即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，设，则，，由此可得，根据，即可求解； （3）根据可以得可得，运动的速度差为秒，，用含的式子分别表示出，再根据题意计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则，， ∴，整理得，， ∵， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 由（1）可得，， ∵三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，设运动时间为秒， ∴速度差为秒，， ∴，， ∴， ∴为定值，这个定值为． 38．材料1： 已知数轴上M，N两点对应的数分别为，，则点和点之间的距离表示为． 材料2： 已知数轴上，两点对应的数分别表示为，，则线段的中点表示的数为． 知识运用： （1）可理解为数轴上的数到_____的距离； （2）若数轴上表示3和的两点分别为和，则的中点表示的数为_____； 深入探究： （3）在数轴上，点表示的数为，则的最小值是_____，的最大值是_____； （4）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为9，若点，点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．秒后，点，点，点三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）4；12；（4）当或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，求中点， 对于（1），根据两点之间的距离判断，再根据中点的算式解答（2），然后根据点P到两个数之间的距离解答（3），最后表示三个点，分三种情况根据中点的算式解答（4）． 【详解】（1）可以理解为数轴上的数x，到的距离； 故答案为：； （2）的中点表示的数是； 故答案为：1； （3）表示数轴上的点P到和1的距离之和的最小值为4（点P在两个数之间），表示数轴上的点P到的距离减去这个点到9的距离的最大值为12（点P在数9的右边）； 故答案为：4,12； （4）t秒时A，B，C三点的数为， 当以点B为中点时3，， 解得； 当以点C为中点时3，， 解得； 当以点A为中点时3，， 解得． 所以或4或16． 39．如图，将一根木棒（阴影部分）放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上对应的数为8；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上对应的数为2，由此可得到图中点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)体会（1）的探究过程，借助数轴这个工具，解决下面的问题：一天，瀚瀚问妈妈，爷爷的年龄是多少，妈妈说：“爷爷若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若到了爷爷现在的年龄，爷爷就是120岁的老寿星了，哈哈！”求瀚瀚现在的年龄． 【答案】(1)4；6 (2)爷爷现在的年龄为65岁 【分析】（1）由观察数轴可知三根这样长的木棒的长度，即可求出这根木棒的长；根据这根木棒的长，结合图中的已知条件即可求得A和所表示的数； （2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示瀚瀚的年龄，小木棒的端表示爷爷的年龄，则小木棒的长表示二人的年龄差，由此参照（）中的方法结合已知条件分析解答即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， ∴图中点A表示的数是，点表示的数是； 故答案为：4；6． （2）解：借助数轴，把瀚瀚和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像瀚瀚这样大时，可看作点移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为，瀚瀚像爷爷现在的年龄时，可看作点移动到点，此时点B向右移后所对应的数为，且爷爷比瀚瀚大， ， ∴爷爷现在的年龄为（岁）， ∴瀚瀚现在的年龄为（岁）． 【点睛】此题考查认识数轴及用数轴表示有理数和有理数的加减法，有理数四则混合运算的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，难度一般，读懂题干要求是关键． 40．已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含，的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【详解】（1）解：①大长方形的长为， 故答案为：； ②阴影的长为，宽为， 阴影的面积为， 故答案为：； （2）阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为， 阴影与阴影的周长的和为： 阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 41．某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款． (1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值 【答案】(1)， (2)甲商店购买合算 (3)或 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据甲、乙两家的优惠方案相差400元，可列方程即可． 本题考查了代数式的求值、列代数、由实际问题抽象出一元一次方程，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据题意列出算式是解题关键． 【详解】（1）解：依题意，甲商店购买需付款：元， 乙商店购买需付款：元； 故答案为：，； （2）解：当时， 则甲商店需（元）， 则乙商店需（元）； ∵， ∴甲商店购买合算； （3）解：∵两家的优惠相差400元， ∴． 解得； 或， 解得． ∴x的值为或． 42．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 【答案】综合运用一：（1）5；（2）①或3；②当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二：（1），13，7；（2）①，；②或6；（3）秒或2秒 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】解：综合运用一： （1）∵点E表示为，点F表示为2， ∴； 故答案为：5 （2）①∵点E表示为，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； 故答案为：或3 ②∵是指表示x的点到点E的距离与到点F的距离之和， 由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段的长，此时它们的距离之和最小， ∴当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7 （2）①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：， ②当时，， ∴， 解得或6 （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 43．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为单，送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了_______单；最少的一天送了_______单； 求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1) ，；该外卖小哥这一周平均每天送餐单． (2)该外卖小哥这一周工资收入元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表格中的数值判断出最大值，最小值，与相加减即可；求出表中数据的平均数，再加上标准数即可； （2）根据题意可列该外卖小哥这一周工资收入的式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了：（单）， 最多的一天送了：（单）， 故答案为：，． 由题意可得：， ， （单）． ∴该外卖小哥这一周平均每天送餐单． （2）解：根据题意可列，小哥这一周工资收入：， ， ． 故该外卖小哥这一周工资收入元． 44．如图，已知数轴上A，B两点分别位于原点O两侧，点B对应的数为2，且． (1)点A对应的数是______； (2)动点P，Q分别同时从A，B出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为的中点，N点在上，且，设运动时间为． ①当点M，N重合时，求t的值； ②在P，Q运动的过程中，探究的值是否发生变化？若不会变化，请求出它的值；若会变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②当时，的值是不变的；当时，，值是变化的 【分析】本题考查了数轴与动点问题，列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）点B对应的数为2，且，得出点A对应的数是； （2）依题意可得，P点所表示的数是，M点所表示的数是，Q点所表示的数是，N点所表示的数是． ①当点M，N重合时，，即可求出t的值； ②在P、Q运动的过程中，分情况讨论，当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：点B对应的数为2，且， 由数轴可知，点A对应的数是， 故答案为：； （2）依题意可得，P点所表示的数是，， M是的中点， ， M点所表示的数是， 同理可得，Q点所表示的数是，， ， N点所表示的数是， ， ①当点M、N重合时，， ，即， 当点M、N重合时，， ②依题意可得，，， （ⅰ）当时，， ； （ⅱ）当时，所以， ， 综上所述，在P、Q运动的过程中，当时，的值是不变的；当时，，值是变化的． 45．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，或者； (2)或． (3)存在最大值，最大值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，整式的加减的应用． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）由表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和，再分三种情况，当时，，可得当时，对应的点在的右边或的左边，再进一步求解即可； （3）由表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者． （2）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和， ∴当时，， 当时， ∴对应的点在的右边或的左边， 当对应的点在的右边时， ∴， ∴， 解得：， 当对应的点在的左边时， ∴， ∴， 解得：； 综上：或． （3）解：存在最大值，最大值为，理由如下： ∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差， 当时， ； 当时， ， 此时， 当时， ， 综上：的最大值为． 46．在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 【答案】(1)； (2)经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度 (3)或秒时，点到点，的距离相等 【分析】本题考查了数轴、绝对值、解一元一次方程，关键是注意分类讨论． （1）根据，，可得、； （2）分类讨论：当未碰撞时，两滑块在轨道上相距个单位长度，可得，解得，当碰撞时，，可得相撞时，，在数轴上，当碰撞后，可得，综合以上即可解得； （3）分类讨论：当点还未追上点时，可得，当点追上点时，可得，即可解得． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：还未碰撞时，， 解得：， ， 解得：， 相撞时，，在数轴上处； 碰撞后，的速度为个单位秒，的速度为个单位秒， ， 解得：， ， 经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度； （3）解：当点还未追上点时， ， 解得：， 当点追上点时， ， 解得：， 或秒时，点到点，的距离相等． 47．已知多项式的常数项是a，次数是b，a、b在数轴上分别表示的点是A、B（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求a，b的值； (2)若数轴上有一点C满足，求点C表示的数； (3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值不随时间t的变化而改变？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)C点表示的数为或 (3)①或10；② 【分析】（1）根据多项式的常数项与多项式的次数的定义即可求出答案； （2）分三种情况：当点C在点A的左侧；当点C在点A，B之间时；当点C在点B的右侧时；进行讨论可求C点表示的数； （3）①分两类情况来讨论：点A，B在相遇前时；点A，B在相遇时；依此可求t的值；②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，可得 ，依此可求m的值． 【详解】（1）解：多项式的常数项是，次数是30． 所以，； （2）解：分三种情况讨论： 当点C在点A的左侧， ∵， ∴， ∴C点表示的数为； 当点C在点A，B之间时， ∵， ∴， ∴C点表示的数为； 当点C在点B的右侧时， 与条件相矛盾，不符合题意． 综上所述，C点表示的数为或； （3）解：①如下图所示： 当时，，． 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为． ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为． 下面分两类情况来讨论： 点A，B在相遇前时， ∵， ∴， 解得； 点A，B在相遇时，，此时A与B重合， 则，解得； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． 此时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，整式的加减运算的应用，解题的关键是：（1）根据多项式的定义，找出a，c的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 48．如图，在射线上有三点，，，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 【答案】(1)点运动的速度为或； (2)经过或两点相距； (3)2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. （1）由于点P及Q是运动的，当时实际上是P正好到了的三等分点上，分二种情况讨论，当和时，由此就可求出它的速度； （2）若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为，运用速度公式求解即可； （3）先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可． 【详解】（1）解：当P在线段上时，由及， 可求得，， 故点P运动时间为． 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 答：点运动的速度为或； （2）解：设运动时间为， 由题意得， 解得或40， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动，当点Q运动到点O时，，之后点P继续运动即，则 ，此时， 故经过或两点相距； （3）解：如图， 设，点P在线段上，，， ， ∴． 49．综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有，两种型号的冷柜车，若型车的平均速度为60千米小时，型车的平均速度为75千米小时，从某县到甲地型车比型车少用2小时． 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 10元（小时辆） 8元（小时辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） (1)请求出A型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【答案】(1)A型车从某县到甲地的时间为10小时 (2)这批砂糖橘共有32吨 (3)单独安排A型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是4000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设型车从某县到甲地的时间为小时，则型车从某县到甲地的时间为小时，根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有吨，根据单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【详解】（1）解：设型车从某县到甲地的时间为小时，则型车从某县到甲地的时间为小时， 由题意得，， 解得：． 答：A型车从某县到甲地的时间为10小时； （2）解：设这批砂糖橘共有吨， 由题意得，， 解得：． 答：这批砂糖桔共有32吨； （3）解：∵型车为（辆）； 型车为（辆）4（吨），即：（辆）； ∴运输32吨砂糖橘，型车需要4辆，型车需要5辆， 某县到甲地的距离为：（千米）． 安排型车的总费用：（元）， 安排型车的总费用：（元）， 因为，所以单独安排运输能使总费用较少，是4000元． 50．已知，点A、B在数轴上对应的数分别是；      (1)则______，______； A，B两点之间的距离为______； (2)若为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值是 ． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求D点运动的方向及的值． 【答案】(1)，，10 (2)10 (3)点运动的方向是向左， 【分析】（1）根据非负数的意义即可得到的值，进而得到，两点之间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离即可解答； （3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意，表示在数轴上表示x的点到表示的点的距离与表示x的点到表示的点的距离之和， 当时，式子有最小值，最小值为； （3）解：根据题意：点A表示的数为：，点B表示的数为：， 当点D向左运动时，则点表示的数为， ∴， ∴ ， 的值始终保持不变， ∴， ∴； 当点D向右运动时，则点表示的数为， ∴， ∴ ， 的值始终保持不变， ∴， ∴（舍去）； 综上，当点D向左运动，时，的值始终保持不变． 【点睛】本题主要考查了列代数式，非负数的意义，整式的加减及一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（压轴题50题） 一、单选题 1．观察下面三行数： ，，， ① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 3．在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 5．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 7．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 8．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简的结果为（   ） A． B． C． D．b 9．数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 10．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 11．若关于的多项式中不含有的一次项，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．3 12．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 13．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则为 ． 15．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是 ． 16．若，，且，则的值等于 ． 17．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 18．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为 ． 19．如果记 ，并且表示当时，y的值，即 ，同理 表示当 时y的值，即 ，…那么 ． 20．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，的值为 ． 21．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为100，我们发现第一次输出的结果为50，第二次输出的结果为25，第三次输出的结果为28，…，则第2024次输出的结果为 ． 22．如图， 条直线相交，最多个交点； 条直线相交最多有个交点； 条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 三、解答题 23．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 24．如图，点O是直线上的一点，从点O引出一条射线，使，射线、同时绕点O旋转． (1)若两条射线、旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线、同时与射线重合，则射线与旋转的速度之比为____； (2)若两条射线、同时绕点O顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，设旋转时间为t秒，，当时，求t的值． 25．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 26．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且． (1)填空：______，______； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，已知点C为数轴上一动点，且满足，求出点C表示的数； (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且的值始终是一个定值，求m的值及该定值． 27．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 28．观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 29．已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 30．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右边．且与之间的距离是6，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数 ，与点的距离为3的点表示的数是 ． (2)点表示的数 （用含的代数式表示），点表示的数 （用含的代数式表示）． (3)当运动时间为几秒时，点与点到原点的距离相等？ 31．已知，，三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为，，，点为原点． (1)若，点对应的数为5，点为，中点，则________，________． (2)如图2所示，线段位于数轴正半轴，点在之间并满足，点在之间并满足，若，，请用含，的式子表示线段． (3)在（1）条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．在运动过程中，若剪下线段，并将端点沿着线段上的点向左折叠，得到（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 32．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 33．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数轴帮助我们把数和点对应起来，体现了数形结合的思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，数轴是“数形结合”的基础．某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图， [探究]操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示__________的点重合 操作二： （2）折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示的点与表示_________________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为在的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是_________________，_________________， 操作三： （3）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条钱段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是________________ 34．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 35．如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒．问： (1)动点P从点A运动至C点需要多少时间? (2)点P、Q在M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 36．阅读下列材料，我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果_______； (2)若已知，求的值； (3)拓展探索：已知，求的值． 37．两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 38．材料1： 已知数轴上M，N两点对应的数分别为，，则点和点之间的距离表示为． 材料2： 已知数轴上，两点对应的数分别表示为，，则线段的中点表示的数为． 知识运用： （1）可理解为数轴上的数到_____的距离； （2）若数轴上表示3和的两点分别为和，则的中点表示的数为_____； 深入探究： （3）在数轴上，点表示的数为，则的最小值是_____，的最大值是_____； （4）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为9，若点，点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．秒后，点，点，点三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求的值． 39．如图，将一根木棒（阴影部分）放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上对应的数为8；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上对应的数为2，由此可得到图中点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)体会（1）的探究过程，借助数轴这个工具，解决下面的问题：一天，瀚瀚问妈妈，爷爷的年龄是多少，妈妈说：“爷爷若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若到了爷爷现在的年龄，爷爷就是120岁的老寿星了，哈哈！”求瀚瀚现在的年龄． 40．已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图2），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含，的代数式表示下面的问题： ①大长方形的长：__________；②阴影的面积：__________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 41．某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款． (1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值 42．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 43．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为单，送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了_______单；最少的一天送了_______单； 求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 44．如图，已知数轴上A，B两点分别位于原点O两侧，点B对应的数为2，且． (1)点A对应的数是______； (2)动点P，Q分别同时从A，B出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为的中点，N点在上，且，设运动时间为． ①当点M，N重合时，求t的值； ②在P，Q运动的过程中，探究的值是否发生变化？若不会变化，请求出它的值；若会变化，请说明理由． 45．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 46．在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 47．已知多项式的常数项是a，次数是b，a、b在数轴上分别表示的点是A、B（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求a，b的值； (2)若数轴上有一点C满足，求点C表示的数； (3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值不随时间t的变化而改变？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 48．如图，在射线上有三点，，，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 49．综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有，两种型号的冷柜车，若型车的平均速度为60千米小时，型车的平均速度为75千米小时，从某县到甲地型车比型车少用2小时． 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 10元（小时辆） 8元（小时辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） (1)请求出A型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 50．已知，点A、B在数轴上对应的数分别是；      (1)则______，______； A，B两点之间的距离为______； (2)若为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值是 ． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求D点运动的方向及的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$