精品解析：山东省曲阜鲁韵技工学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

鲁韵学校2024-2025学年第一学期12月月考 高二数学试题 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡上.所有答案写在答题卡上，写在试题页上不得分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在长方体中， （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法法则计算即可. 【详解】在底面中， 由向量加法的平行四边形法则可得，， 所以. 故选：D. 2. 已知为单位向量，且，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的充要条件结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 解得. 故选：B. 3. 已知，和是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的向量表示与内积的运算法则即可得解. 【详解】因为和是相互垂直的单位向量，则， 所以. 故选：A. 4. 已知，且与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积的运算律即可求解. 【详解】， 所以， 又因为， 所以. 故选：B 5. 已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（　　） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平面法向量坐标之间的关系，判断出两个法向量的位置关系，进而判断出平面的位置关系. 【详解】根据两法向量的坐标可得出， 所以两法向量平行，根据线面关系推出两平面也平行. 故选：B. 6. 在空间直角坐标系Oxyz中，点和向量，且，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，结合可得，，的值，即得点的坐标. 【详解】设点的坐标为. 点 . 向量，且. 解得. 因此点的坐标为. 故选：D. 7. 已知点，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则. ，则. 则. 又因为夹角范围为， 所以向量与的夹角为. 故选：. 8. 若向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，则=. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.选对得分，选错、少选不得分） 9. 下列叙述正确的是（　　） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的定义与性质，判断各个选项是否正确，即可求出. 【详解】平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故A错误； 由于直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为，故C正确； 与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知点到直线的距离为，则点A的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先把直线的方程写成一般式方程，再根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意得，直线等价于. 由点到直线的距离公式可得，，解得. 当时，点的坐标是，当时，点的坐标是. 故选：AB. 11. 下列各命题中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律以及数乘的运算律，结合共线定理，可得答案. 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，根据向量数乘满足交换律和结合律，可得B正确； 对于C项，根据向量数量积满足交换律，可得C正确； 对于D项，当时，则向量与共线，当时，则向量与共线，而向量不一定共线，故D错误. 故选：D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【答案】平行或重合 【解析】 【分析】分别求出直线与的斜率，由此可得两直线的位置关系． 【详解】由已知，得，， ，但直线在y轴上的截距不确定， 直线与的位置关系是平行或重合． 故答案为：平行或重合． 13. 两平行直线，，若两直线之间的距离为1，则___ 【答案】 【解析】 【分析】利用两条平行线的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，根据两直线之间的距离为1，求出的值． 【详解】两直线，平行， 则，， 若两直线之间的距离为1, 则 ，解得. 故答案为：. 14. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程是____ 【答案】 【解析】 【分析】根据中点坐标公式及两点间的距离公式求出圆心和半径即可得解. 【详解】因为线段为圆的直径，且点，， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．第15题13分、16、17题各15分，第18、19题各17分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求经过三点，，的圆的一般方程. 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，由题意列出式子计算即可. 【详解】设圆的一般方程， 已知圆经过，，， 可得， 解得，，， 故该圆的一般方程为. 16. 已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程 【答案】 【解析】 【分析】先设出圆的一般方程为，待定系数的值可以通过联立方程组进行求解. 【详解】设圆的一般方程为： ， 令，得：，设该方程的两个根分别为： 所以圆在轴上得截距之和为： 同理，令，得：，设该方程的两个根分别为： 所以圆在轴上得截距之和为：， 由题意得：， 所以① 因为圆经过点和， 所以得到：②， ③， 由①②③解得： ， 所以所求圆得方程为： . 17. 已知两点，，两直线，，求: （1）过点且与直线平行的直线方程; （2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设所求直线方程为，将点坐标带入求得，即得所求. （2）求线段的中点以及直线与的交点，根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 设与平行的直线方程为， 将带入得，解得， 故所求直线方程为. 【小问2详解】 点，， 线段的中点为即， 设直线与的交点为，联立，解得交点， 则, 故所求直线方程为即. 18. 在中，，点C在直线上，若的面积为10，求点C的坐标 【答案】或. 【解析】 【分析】利用两点之间的距离公式可得，再利用三角形面积计算公式、点到直线的距离公式列式即可求解． 【详解】设点C到直线AB的距离为d，由题意可知， 由三角形面积为10，则，解得， 又因为直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即， 因为点C在直线上，所以设点C为， 则，解得或， 所以点C的坐标为或. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出的坐标； （2）求与所成的角的余弦值． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的棱长以及点在空间直角坐标系内的位置写出坐标即可. （2）根据直线所成角的公式代入求解余弦值即可. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为2， 所以点，，， 又因为E是DC的中点，点， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以，， 所以， 与所成的角记作，所以余弦值为， 两向量所成的角，余弦值为负说明两向量所成的角为钝角, 而题目所求为直线所成角，其范围在，因此与所成角的余弦值为, 所以与所成的角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鲁韵学校2024-2025学年第一学期12月月考 高二数学试题 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡上.所有答案写在答题卡上，写在试题页上不得分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在长方体中， （　　） A. B. C. D. 2. 已知为单位向量，且，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，和是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，且与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 5. 已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（　　） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 以上都不对 6. 在空间直角坐标系Oxyz中，点和向量，且，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 8. 若向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.选对得分，选错、少选不得分） 9. 下列叙述正确的是（　　） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10. 已知点到直线的距离为，则点A的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 11. 下列各命题中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 13. 两平行直线，，若两直线之间的距离为1，则___ 14. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程是____ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．第15题13分、16、17题各15分，第18、19题各17分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求经过三点，，的圆的一般方程. 16. 已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程 17. 已知两点，，两直线，，求: （1）过点且与直线平行的直线方程; （2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程. 18. 在中，，点C在直线上，若的面积为10，求点C的坐标 19. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出的坐标； （2）求与所成的角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $