精品解析：福建省福州市连江黄如论中学贵安学校2024-2025学年上学期九年级数学期中模拟卷

连江黄如论中学贵安学校2024—2025学年九年级上学期数学试卷11.9 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数是（　　） A. B. C D. 3. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 心理社团活动开始的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知二次函数（），当时，的取值范围是，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ___________． 12. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______． 13. 如图，点A，B，C在上，且，，是切线，则为_______度． 14. 已知抛物线有最大值7，则_______． 15. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为 _________． 16. 如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 18. 某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染人数相同）． （1）每轮传染中平均一个人传染多少人？ （2）如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 20. 某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件；销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 21. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 22. 如图，为的直径，点C，D为圆上两点，，且有平分，过C作于E． （1）求证：为的切线 （2）若，求半径． 23 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 24. 如图，已知直线AB：与抛物线交于A、B两点， （1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标； （2）当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离. 25. 已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4． （1）将线段AB绕点A旋转至如图1所示的AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数； （2）如图2，M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM垂直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数； （3）如图3，D为BC边上一点，已知DB＝DA，将△ABC沿BC翻折至△FBC，将线段BD绕点B顺时针旋转得到线段BH，连FH，N为FH的中点，连AN，请直接写出在旋转过程中AN的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连江黄如论中学贵安学校2024—2025学年九年级上学期数学试卷11.9 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列函数是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别．形如（为常数，且）的函数叫二次函数，根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．当时不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数，分母中含有，故本选项不符合题意； C．函数，是二次函数，故本选项符合题意； D．函数，是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 4. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 5. 如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，求出∠A＝90°﹣∠ABC＝40°，由圆周角定理得出∠BDC＝∠A＝40°即可． 【详解】解：连接AC，如图所示： ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BDC＝∠A＝40°； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 6. 点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离垂线段最短及圆与直线相交圆心到直线距离要小于半径即可得到答案． 【详解】解：根据点到直线距离垂线段最短及圆与直线相交圆心到直线距离要小于半径可得， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆与直线相交的条件及点到直线距离垂线段最短，解题的关键是熟练掌握两个知识点． 7. 心理社团活动开始的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设有x人参加活动，由于每个人都要与其他人都握手一次，那么一共握手次，再由于相同两人之间的握手只算作一次，故总握手次数为次，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 8. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识如图，过点作轴于．解直角三角形求出，H即可． 【详解】解：如图，过点作轴于． ∵，． ∴ ∵旋转， ∴ 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 详解：连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C． 点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP． 10. 已知二次函数（），当时，取值范围是，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：如下图， 根据题意可知，该二次函数图像开口向下，其对称轴为， ∵， ∴与点相比，点更靠近对称轴， 即，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 12. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是_______． 【答案】答案不唯一，y=x2-2． 【解析】 【分析】二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，-2）得出c=-2，写出一个符合的二次函数即可． 【详解】答案不唯一，如：y=x2-2， 故答案为：y=x2-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键． 13. 如图，点A，B，C在上，且，，是切线，则为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是圆的切线的性质定理，圆周角定理，四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． 连接，，利用切线的性质定理，圆周角定理和四边形的内角和定理解答即可． 【详解】解：连接，，如下图所示： ，是切线， ，， ． ，， ， 故答案为：． 14. 已知抛物线有最大值7，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了抛物线的顶点坐标，要注意判断出抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为7，然后列式求解即可． 【详解】∵抛物线有最大值7， ∴， 解得，， ∴m的值是． 故答案为： 15. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为 _________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，解题的关键是理解题意，学会利用整体代入的思想解决问题．本题a、b是方程的两个实数根，推出，，再利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：2025． 16. 如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，根据将绕某点逆时针旋转，得到，为中点，可得，，，，即可求得直线解析式为，直线解析式为，从而可解得，即可． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 将绕某点逆时针旋转，得到， ，，， 为中点， ， ，，，， 由，得直线解析式为， 由得直线解析式为， 联立，解得， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，勾股定理，正确建立坐标系，通过联立直线解析式求出点F的坐标是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5， ∴x＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 18. 某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． （1）每轮传染中平均一个人传染多少人？ （2）如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】（1）9人 （2）1000人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：每轮传染中平均每个人传染了9个人． 【小问2详解】 （人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 20. 某商场试销一种进价为3元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4元，又不高于8元，试销期间经调查发现：当销售单价为4元时，平均每天能售出50件；销售单价每增加1元，平均每天就少售出10件．设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】（1） （2）袜子销售单价定价为6元时，每天销售的利润最高，最高利润是90元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，列出表达式是解题关键． （1）设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元，根据利润等于一件的利润乘以总数量求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该种袜子的销售单价为x元，每天销售的利润为y元， 由题意得：； 【小问2详解】 解：∵ ∵,, ∴抛物线开口向下 ∴当时，的最大值为90， ∴袜子销售单价定价为6元时，每天销售的利润最高，最高利润是90元． 21. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）直线经过点E，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，为半径画弧交于点D，分别以A、C为圆心，为半径画弧交于点E，再连接A、D、E即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，从而求得，再由，可得，再由，可证点E、C、B在一条直线上，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E、C、B在一条直线上， ∴直线经过点E． 【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22. 如图，为的直径，点C，D为圆上两点，，且有平分，过C作于E． （1）求证：为的切线 （2）若，求半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质可得，即可得，进而得到即可证明结论； （2）如图∶连接，过C作于F．根据角平分线的性质定理可得，由圆周角定理可得，再由勾股定理可得；设半径为R，则在中运用勾股定理列关于R的方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵是半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图∶连接，过C作于F． ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设半径为R，则在中，， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 23. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时, ，解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为； 对称轴为直线 ∴点的对称点为， 是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为； （3）∵， ∴点的纵坐标为， ， 解得 ， ∵， ， 当时， 随的增大而减小， ∴当时, 要使， 则， ∵当时, 随的增大而增大，且时， ， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 24. 如图，已知直线AB：与抛物线交于A、B两点， （1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标； （2）当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离. 【答案】（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1， ）；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可． （2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标． （3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 试题解析：（1）∵当x=-2时，, ∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）． ∴点C的坐标为（-2，4）． （2）∵， ∴直线AB的解析式为． 联立 ，解得： 或． ∴点A的坐标为（-3，），点B的坐标为（2，2）． 如答图1，过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N． 设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a． ∴． ∵点P在直线AB下方，∴. ∵， ∴， 整理得：，解得：． 当时，．此时点P坐标为（-2，2）． 当a=1时，．此时点P的坐标为（1， ）． ∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1， ）． （3）如答图2，过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F． ∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°． ∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF． ∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴． 设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t， 则点A、B、D的纵坐标分别为， ∴． ∴，化简得：． ∵点A、B是直线AB：与抛物线交点， ∴m、n是方程即两根．∴． ∴，即，即. ∴（舍）． ∴定点D的坐标为（2，2）． 如答图3，过点D作x轴的平行线DG， 过点C作CG⊥DG，垂足为G， ∵点C（-2，4），点D（2，2），∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4． ∵CG⊥DG，∴． 过点D作DH⊥AB，垂足为H，如答图3所示， ∴DH≤DC．∴DH≤． ∴当DH与DC重合即DC⊥AB时， 点D到直线AB的距离最大，最大值为 ． ∴点D到直线AB最大距离为． 考点：1.二次函数综合题；2. 因式分解法解一元二次方程；3.根与系数的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质；6.分类思想的应用． 25. 已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4． （1）将线段AB绕点A旋转至如图1所示的AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数； （2）如图2，M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM垂直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数； （3）如图3，D为BC边上一点，已知DB＝DA，将△ABC沿BC翻折至△FBC，将线段BD绕点B顺时针旋转得到线段BH，连FH，N为FH的中点，连AN，请直接写出在旋转过程中AN的最大值． 【答案】（1）15°，（2）60°，（3）8 【解析】 【分析】（1）求出∠BAP的度数，再根据等腰三角形的性质可求∠ABP的度数； （2）延长QE至G，使GE=EQ，连接BG、AG、AQ，证明△QME≌△GBE，再证△ACQ≌△ABG，得出∠AGB=∠AQC，导角得出∠MQC=60°； （3）取BF中点P，连接NP、AP、AF，求出NP、AP长，即可求出AN的最大值． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∵AP∥BC， ∴∠PAC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAP＝150°， ∵AB＝AP， ∴∠ABP＝∠P＝15°； （2）延长QE至G，使GE=EQ，连接BG、AG、AQ， ∵BE=EM，∠BEG＝∠MEQ， ∴△QME≌△GBE， ∴BG=QM，∠BGE＝∠MQE， ∵∠AEQ＝90°，GE=EQ， ∴GA=AQ， ∵Q为线段CM垂直平分线上一点， ∴BG=QM=CQ， ∴△ACQ≌△ABG， ∴∠AGB=∠AQC，∠BAG=∠CAQ， ∴∠GAQ＝∠BAC＝120°， ∴∠AGQ＝∠AQG＝30°， ∠MQC=∠AQC+∠AQM=∠AGB+∠AQM=∠AGQ+∠EGB +∠AQM=30°+∠MQE +∠AQM=30°+∠AQE=30°+30°=60°； （3）取BF中点P，连接NP、AP、AF， ∵DB＝DA， ∴∠DBA＝∠DAB＝30°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝90°， ∴CD＝2DA， ∴ ， ∴，由旋转得，， ∵将△ABC沿BC翻折至△FBC， ∴△FBA等边三角形， ∵P是BF中点， ∴AP⊥BF，∠PAB＝30°， ∴， ， ∵P是BF中点，N为FH的中点， ∴, ∵， ∴AN的最大值为8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是恰当作辅助线构建全等三角形或中位线进行推理证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$