专题03 整式（考点清单，9个考点梳理+8个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

专题03 整式（9个考点梳理+8个题型解读+提升训练） 整式 【清单 1】单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 【清单 2】多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 【清单 3】 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 【清单 4】整式：单项式和多项式统称为整式． 【清单 5】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 【清单 6】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 【清单 7】去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【清单 8】整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【清单 9】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点题型一】用字母表示数 【例1】下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B．符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； C．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1 -1】下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据代数式的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：应表示为：，故选项A不符合要求； 应表示为：，故选项B不符合要求； 应表示为：，故选项C不符合要求； 的书写规范，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的书写规范，从而完成求解． 【考点题型二】列代数式 【例2】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形为（用含有n的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， ， 第个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故选：C． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键． 【变式2 -1】北京冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，理解温差是关键．根据题意列出代数式即可． 【详解】解：某一天的温差是，最高气温是， 最低气温是． 故答案为：． 【变式2 -2】如表是某面包店的价目表： 面包品种 全麦面包 芒果面包 手撕面包 切片面包 奶香面包 单   价 5元 6元 8元 11元 12元 小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个面包，这次，小明选择了一个手撕面包． （1）如果小明买的5个面包均不相同，那么小明需要支付 元； （2）如果小明原本的结账金额为n元，那么小明后来的结账金额为 元．（用含n的式子表示） 【答案】 37 n或或 【分析】本题主要考查了列代数式， （1）根据题意得：全麦面包免费，即可求解； （2）分三种情况：当4个面包中有全麦面包时；当4个面包中没有全麦面包，且含有芒果面包时；当4个面包中既没有全麦面包，也没有芒果面包时，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：全麦面包免费， 小明需要支付元； 故答案为：37 （2）当4个面包中有全麦面包时，小明后来的结账金额为元； 当4个面包中没有全麦面包，且含有芒果面包时，小明后来的结账金额为元； 当4个面包中既没有全麦面包，也没有芒果面包时，小明后来的结账金额为元； 综上所述，小明后来的结账金额为n元或元或元； 故答案为：n或或 【变式2 -3】如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积 平方米．（用含a和r的字母表示） 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，理解阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个圆的面积即可． 【详解】解：用代数式表示图中广场空地面积为平方米； 故答案为： 【变式2 -4】用代数式表示“的2倍与的和” . 【答案】/ 【分析】由题意得，的2倍与的和用代数式表示为：，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 的2倍与的和用代数式表示为：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了列代数式，理清题意是解题的关键． 【变式2 -5】某商品原价是每件元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减50元，则第二次降价后的售价为每件 元．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据某种商品原价每件元，第一次降价打“九折”，可知第一次降价后的价格为元，第二次降价每件又减50元，可以得到第二次降价后的售价． 【详解】解：某商品原价是每件元，第一次降价打“九折”， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价每件又减50元， 第二次降价后的售价是元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题的关键． 【变式2 -6】自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为． 则n个链节依次连在一起的长度是 ，如果一辆自行车的链条（安装前）由98个这样的链节组成，那么这辆自行车的链条（安装后）的总长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律问题．观察图形，可知n节链条有处交叉重叠，总长减去重叠部分即为所求；代入98求解即可，由于首尾环形相连，总长还需再减去． 【详解】解：由题意得，n节链条的长； 故答案为：； 当时，链条拉直的长度为， 又∵自行车链条首尾环形相连， ∴这辆自行车上链条总长度是． 故答案为：． 【考点题型三】代数式求值 【例3】若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】把直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = =0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 【变式3 -1】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由相反数及倒数的概念可得，，然后代入求解． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴，， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查代数式求值，理解相反数及倒数的概念准确代入计算是解题关键． 【变式3 -2】已知代数式，当时，该代数式的值为5． (1)求的值； (2)已知：当时，该代数式的值为3．求：的值． 【答案】(1) (2)的值为2 【分析】本题考查了代数式求值的问题，关键用代入法求值． （1）把代入代数式中，便可求出的值； （2）根据的值，写出代数式为：，再把代入代数式求出的值，进而求出结果． 【详解】（1）解：把代入得：， ； （2）解：把代入中，， ， ， 的值为2． 【变式3 -3】定义一种新运算★：当时，；当时，．例如，． (1)计算：________； (2)对于式子， ①若，求的值； ②当的值分别取，，，（为整数）时，式子的值的和的最大值为_____． 【答案】(1) (2)①的值为4或6；②16 【分析】（1）根据新的运算列式计算即可； （2）①分和两种情况讨论根据新定义计算即可； ②分别对x的取值范围进行讨论得出当的值分别取，，，（为整数）时式子的值，然后求和得到最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：①当，即时，则原式可化为， 解得； 当，即时，原式可化为 综上，的值为4或6． ②当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，式子的值的和， ∵， ∴， 即的最大值为14； 当，即时，， ∵ ∴当，即时， 当时，， 当时， ， 当时，， 当时， ， ∴式子的值的和， ∵，m取整数， ∴m最大只能取1， ∴的最大值为10； 当时，x与的大小关系不确定，分别考虑m取2、3、4时，计算的值的和， 当时，， 式子的值的和为：， 当时，， 式子的值的和为：， 当时，， 式子的值的和为：， 综上所述， 式子最大值为16． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、代数式求值等知识点，正确理解代数式的值是解答本题的关键． 【考点题型四】单项式 【例4】下列说法中正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是 C．是二次二项式 D．与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，最高次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．根据单项式和多项式的定义进行判断． 【详解】解：A． 是多项式，原说法错误，不符合题意； B． 的系数是，原说法错误，不符合题意； C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D．与是同类项，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式4 -1】下列式子，，，，1，，中，单项式有 个． 【答案】4/四 【分析】根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，，，1，共4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字或字母的积，及不含加减运算，若涵除法运算是分母中不含字母，这样的式子叫单项式是解题的关键． 【变式4 -2】下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的次数是2 C．是二次三项式 D．是单项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握其定义是解答本题的关键． 根据单项式、多项式的定义，分析每个选项，是分式，的次数是，是二次三项式，是多项式，由此选出正确答案． 【详解】解：由已知得： 选项是分式，不是单项式，此说法不正确，故不符合题意； 选项的次数是，此说法不正确，故不符合题意； 选项是二次三项式，此说法正确，故符合题意； 选项是多项式，此说法不正确，故不符合题意． 故选． 【变式4 -3】下列说法：①单项式的系数是1；②单项式的次数是2；③多项式的次数是3．正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查单项式、多项式的系数、次数．根据题意逐一对序号进行分析判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵单项式的系数是1，故①正确； ∵单项式的次数是，故②不正确； ∵多项式的次数是，故③不正确， 故选：A． 【变式4 -4】单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的次数、系数的定义进行分析即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了单项式的基本概念，熟练掌握单项式的次数、系数的定义是解题的关键． 【变式4 -5】写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．据此求解即可． 【详解】根据题意可得，这个单项式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4 -6】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】解：单项式的系数是：，次数是5次． 故答案为：，5． 【点睛】本题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 【考点题型五】多项式 【例5】多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解；∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【变式5 -1】多项式是 次 项式． 【答案】 三 四 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念解答即可． 【详解】解：∵有4个项，最高次项是3次， ∴多项式是三次四项式． 故答案为；三，四． 【变式5 -2】多项式是 次 项式． 【答案】 四 三 【分析】本题考查了多项式的概念．根据多项式的概念“几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数”解答即可． 【详解】解：∵的项有，，，其中的次数是4， ∴多项式是四次三项式． 故答案为：四，三． 【变式5 -3】写出一个含字母的一次二项式，满足当时，它的值等于5，这个式子可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的定义、多项式的值，根据题意写出一个符合题意的多项式即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：当时，它的值等于5， 这个式子可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5 -4】写出一个多项式，使得它与单项式x的和是二次三项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】与单项式x的和是二次三项式，即要写出三个项，其中一个项是关于x的一次项，且至少有一个项的次数是二次． 【详解】二次三项式可为， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．也考查了合并同类项． 【变式5 -5】多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝ ． 【答案】2 【分析】​​​​​​​根据二次三项式的定义可得|m|=2，且-（m+2）≠0，计算即可. 【详解】解：由题意得：|m|=2，且-（m+2）≠0， ∴m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了多项式的概念．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．解题的关键是掌握定义． 【变式5 -6】已知代数式是关于的一次多项式． （1）若关于x的方程的解是，求的值； （2）当代数式的值是1且b=3时，求x的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题意可得：a=0，把x=2代入方程即可求解； （2）由题意可得：a=0，把b=1以及代数式的值为1代入求解即可． 【详解】因为代数式是关于的一次多项式， 所以a=0； （1）， ； （2）， ． 【点睛】本题考查了代数式的值，多项式及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． 【考点题型六】同类项定义 【例6】下列各组式子中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项．根据同类项的定义：几个单项式的字母，及其字母的指数都相同，进行判断即可． 【详解】解：A、与，是同类项，本选项不符合题意； B、与，相同字母的指数不相同，不是同类项，本选项符合题意． C、与，是同类项，本选项不符合题意； D、与，是同类项，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式6 -1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项定义及合并同类项法则依次计算判断． 【详解】解：A．， B．与不是同类项，不能合并，原题干错误，故不符合题意； C．，原题干错误，故不符合题意； D．与不是同类项，不能合并，原题干错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了同类项的定义及合并同类项法则，熟记定义及法则是解题的关键． 【变式6 -2】下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，直接判断即可．， 【详解】解：A．所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不符合题意； B．所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，符合题意； C．所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不符合题意； D．所含的字母不相同，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同类项的定义，熟记定义是解题的关键． 【变式6 -3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断各选项的运算式中的同类项，再合并同类项，逐一分析即可得到答案． 【详解】解：，运算正确，故A符合题意； ，不是同类项，不能合并，原运算错误，故B不符合题意； ，原运算错误，故C不符合题意； ，不是同类项，原运算错误，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是同类项的含义，合并同类项，熟练地判断同类项以及合并同类项是解本题的关键． 【变式6 -4】在一个多项式中，与为同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可解答． 【详解】解：与为同类项的是， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 【变式6 -5】下列各组中的两个单项式是同类项的是（    ） A．－3与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解： A、－3与不是同类项，故本选项不符合题意； B、与是同类项，故本选项符合题意； C、与不是同类项，故本选项不符合题意； D、与不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式，叫做同类项是解题的关键． 【变式6 -6】把和各看作一个字母因式，合并同类项： ． 【答案】0 【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母及字母的指数不变，进行合并同类项即可． 【详解】原式， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了同类项的概念和合并同类项的法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式6 -7】写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的概念求解即可，答案不唯一． 【详解】解：∵的字母部分是， ∴的同类项即字母部分为即可， ∴的同类项可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 【考点题型七】合并同类项 【例7】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的计算法则求解即可． 【详解】解：A、，所以A计算错误，不符合题意． B、，不能合并，所以B计算错误，不符合题意． C、，不能合并，所以C计算错误，不符合题意． D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式7 -1】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则进行判断即可，此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．与不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意； D．与不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式7 -2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】A．与不是同类项，不可以合并，故原运算错误，不符合题意； B．，故原运算正确，符合题意； C．与不是同类项，不可以合并，故原运算错误，不符合题意； D．与不是同类项，不可以合并，故原运算错误，不符合题意； 故选∶B． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【变式7 -3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项的法则，进行计算逐一判断，即可解答． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 【变式7 -4】化简： 【答案】 【分析】先确定多项式中的同类项，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握“同类项的含义与合并同类项的法则”是解本题的关键． 【变式7 -5】阅读材料：数学活动课上，小智同学提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：782﹣287＝99×（7﹣2）． (1)小智的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由． (2)已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 ．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)小智的猜想是正确的，见解析 (2)9999（m﹣n） 【分析】（1）设一个三位正整数的百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，分别表示出该三位正整数和新三位正整数，再用原数减去新数，化简可得； （2）求出原数与所得数的差即可求解． 【详解】（1）解：小智的猜想正确．证明如下： 设一个三位正整数的百位上的数为a，十位上的数为b，个位上的数为c，则 该三位正整数为100a+10b+c，新三位正整数为100c+10b+a， 因为100a+10b+c﹣（100c+10b+a） ＝100a+10b+c﹣100c﹣10b﹣a ＝99a﹣99c ＝99（a﹣c）， 所以小智的猜想是正确的； （2）解：原数与所得数的差等于10000m+n﹣（10000n+m）＝10000m+n﹣10000n﹣m＝9999m﹣9999n＝9999（m﹣n）． 故答案为：9999（m﹣n）． 【点睛】本题考查了列代数式，关键是读懂题意，列出正确的解析式． 【考点题型八】去括号 【例8】先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】此题主要考查了整式加减中的化简求值，正确合并同类项是解题关键．先去括号，再合并同类项，最后把已知的数值代入求解即可． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 【变式8 -1】先化简，再求值：，其中， 【答案】，32 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后把m、n的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【变式8 -2】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式8 -3】先化简，再求值：，其中，. 【答案】原式； 【分析】此题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则，合并同类项法则是解答此题的关键．首先去括号，然后合并同类项，再把，代入求值即可． 【详解】解：原式 ，， 原式 【变式8 -4】已知，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把所求式子变形为，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴． 即． 【变式8 -5】先化简，再求代数式的值 (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式加减运算法则是解题的关键 （1）先根据整式加减混合运算法则化简，然后再将代入计算即可； （2）先根据整式加减混合运算法则化简，然后再将代入计算即可. 【详解】（1）解： 当时，原式． （2）解： ， 当时，原式． 【变式8 -6】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时， ． 【变式8 -7】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的加减及代数式求值． 先将原式去括号，合并同类项，再将代入化简以后的式子中求值即可． 熟练掌握整式的加减及去括号法则是解题的关键． 【详解】 当时， 原式 ． 【变式8 -8】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号合并同类项，再把，代入计算． 【详解】 ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式（9个考点梳理+8个题型解读+提升训练） 整式 【清单 1】单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 【清单 2】多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 【清单 3】 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 【清单 4】整式：单项式和多项式统称为整式． 【清单 5】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 【清单 6】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 【清单 7】去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【清单 8】整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【清单 9】数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点题型一】用字母表示数 【例1】下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -1】下列各式中，符合代数式书写要求的是（   ）． A． B． C． D． 【考点题型二】列代数式 【例2】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形为（用含有n的代数式表示） A． B． C． D． 【变式2 -1】北京冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是 ．（用含的式子表示） 【变式2 -2】如表是某面包店的价目表： 面包品种 全麦面包 芒果面包 手撕面包 切片面包 奶香面包 单   价 5元 6元 8元 11元 12元 小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个面包，这次，小明选择了一个手撕面包． （1）如果小明买的5个面包均不相同，那么小明需要支付 元； （2）如果小明原本的结账金额为n元，那么小明后来的结账金额为 元．（用含n的式子表示） 【变式2 -3】如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积 平方米．（用含a和r的字母表示） 【变式2 -4】用代数式表示“的2倍与的和” . 【变式2 -5】某商品原价是每件元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减50元，则第二次降价后的售价为每件 元．（用含的式子表示） 【变式2 -6】自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为． 则n个链节依次连在一起的长度是 ，如果一辆自行车的链条（安装前）由98个这样的链节组成，那么这辆自行车的链条（安装后）的总长度是 ． 【考点题型三】代数式求值 【例3】若，则的值为 ． 【变式3 -1】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则的值为 ． 【变式3 -2】已知代数式，当时，该代数式的值为5． (1)求的值； (2)已知：当时，该代数式的值为3．求：的值． 【变式3 -3】定义一种新运算★：当时，；当时，．例如，． (1)计算：________； (2)对于式子， ①若，求的值； ②当的值分别取，，，（为整数）时，式子的值的和的最大值为_____． 【考点题型四】单项式 【例4】下列说法中正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是 C．是二次二项式 D．与是同类项 【变式4 -1】下列式子，，，，1，，中，单项式有 个． 【变式4 -2】下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的次数是2 C．是二次三项式 D．是单项式 【变式4 -3】下列说法：①单项式的系数是1；②单项式的次数是2；③多项式的次数是3．正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①②③ 【变式4 -4】单项式的系数和次数分别是（    ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【变式4 -5】写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ． 【变式4 -6】单项式的系数是 ，次数是 ． 【考点题型五】多项式 【例5】多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式5 -1】多项式是 次 项式． 【变式5 -2】多项式是 次 项式． 【变式5 -3】写出一个含字母的一次二项式，满足当时，它的值等于5，这个式子可以是 ． 【变式5 -4】写出一个多项式，使得它与单项式x的和是二次三项式： ． 【变式5 -5】多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝ ． 【变式5 -6】已知代数式是关于的一次多项式． （1）若关于x的方程的解是，求的值； （2）当代数式的值是1且b=3时，求x的值． 【考点题型六】同类项定义 【例6】下列各组式子中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6 -1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -2】下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6 -3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -4】在一个多项式中，与为同类项的是（　　） A． B． C． D． 【变式6 -5】下列各组中的两个单项式是同类项的是（    ） A．－3与 B．与 C．与 D．与 【变式6 -6】把和各看作一个字母因式，合并同类项： ． 【变式6 -7】写出单项式的一个同类项： ． 【考点题型七】合并同类项 【例7】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7 -1】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -4】化简： 【变式7 -5】阅读材料：数学活动课上，小智同学提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：782﹣287＝99×（7﹣2）． (1)小智的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由． (2)已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 ．（用含m，n的式子表示） 【考点题型八】去括号 【例8】先化简，再求值：，其中． 【变式8 -1】先化简，再求值：，其中， 【变式8 -2】先化简，再求值： ，其中，． 【变式8 -3】先化简，再求值：，其中，. 【变式8 -4】已知，求的值． 【变式8 -5】先化简，再求代数式的值 (1)，其中 (2)，其中 【变式8 -6】先化简，再求值：，其中，． 【变式8 -7】先化简，再求值：，其中． 【变式8 -8】先化简，再求值：，其中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$