专题07 角（考点清单，6个考点梳理+5个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

专题07 角（6个考点梳理+5个题型解读+提升训练） 【清单01】角的概念： （1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。 （2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。 【清单02】角的表示方法：角用“∠”符号表示 （1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间） （2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。 （3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。 （4）直接用一个大写英文字母来表示。 【清单03】角的度量：会用量角器来度量角的大小。 【清单04】角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。 【清单05】锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 （1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。 （2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。 （3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。 【清单06】角的平分线 从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。 若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 【考点题型一】角的定义和表示方法 【例1】下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -1】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1 -2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -3】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -4】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1 -5】图中共有 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 个． 【考点题型二】钟面角 【例2】钟面上，时针与分针在不停的旋转，从6时到18时，若某整点时刻的时针与分针构成的角为，则这个时刻是（    ） A．10时 B．11时 C．10时或14时 D．11时或13时 【变式2 -1】在时刻9:30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为（    ） A． B． C． D． 【变式2 -2】10时整，钟表的时针与分钟所构成锐角的度数是 ． 【考点题型三】角的度量与换算 【例3】计算： ． 【变式3 -1】= ＇． 【变式3 -2】计算： ． 【变式3 -3】计算： ． 【变式3 -4】 °． 【变式3 -5】若，，则 ． 【变式3 -6】 ． 【变式3 -7】单位换算： 度 分． 【变式3 -8】15.7°= 度 分． 【变式3 -9】计算：27°48'+105°27'= ． 【考点题型四】角的大小比较 【例4】比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【变式4 -1】在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式4 -2】比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式4 -3】已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α ∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【变式4 -4】若，，则 （填“”“”或“”）． 【考点题型五】角平分线的有关计算 【例5】如图，，平分，平分，则 ． 【变式5 -1】已知射线在内部，下列条件①；②；③；④中，能够确定射线是角平分线的有 ．（只填序号） 【变式5 -2】如图，∠AOB=120°，OC平分∠AOB．若∠COD=20°，∠BOD= °． 【变式5 -3】如图，点O在直线上，，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若为的平分线，求的值． 【变式5 -4】已知，作射线，，射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时， ①如图1，若，则的度数为_______； ②如图2，若，补全图形，并求的度数（用含的式子表示）． 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：因为是的平分线，且， 所以（__________）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以________． 所以_________． (2)当射线在的外部时，的度数为________． 【变式5 -5】根据题意，补全解题过程： 如图，已知射线，，在内部，平分，平分，若，，求的度数． 解：∵平分， ∴______， ∵， ∴______， ∵______，， ∴______， ∵平分， ∴______＝______． 【变式5 -6】已知：如图，．若，平分，依题意补全图形并求的度数． 【变式5 -7】完成下面的解答． 如图，OE是直角的角平分线，OD是的角平分线，若，求的度数． 解：∵是直角， ∴． ∵OE是直角的角平分线， ∴________（________）（填推理的依据）． ∵， ∴________________． ∵OD是的角平分线， ∴________________． 【变式5 -8】如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，射线OE在∠COD内部，且∠AOE＝2∠DOE． (1)如图1，若OD是∠BOC的平分线，求∠COE的度数； 下面是小宇同学的解答过程，请帮小宇补充完整． 解：如图1， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠ ＝60°， ∴∠AOD＝180°－∠BOD＝120°． ∵∠AOD＝∠AOE＋∠DOE，∠AOE＝2∠DOE， ∴∠AOD＝3∠ ， ∴∠DOE＝∠AOD＝40°， ∴∠COE＝∠ －∠DOE＝20°． (2)如图2，小宇发现当∠BOD的大小发生变化时，∠COE与∠BOD的数量关系保持不变，请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由． 【变式5 -9】已知：如图，从点О引出OA，OB，OC，OD四条射线，OE，OF分别是，的角平分线． (1)如图1，若，，，求的度数． ①依题意补全图1； ②完成下面解答过程． 解：如图1， ∵平分，平分， ∴，.（_____________） ∵，，， ∴，， ∴，___________． ∴____________． (2)如图2，若，，，则的度数为________． 【变式5 -10】已知，，OC平分∠AON． （1）如图1，射线与射线OB均在∠MON的内部． ①若，∠MOA＝ °； ②若，直接写出∠MOA的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若，求∠MOA的度数（用含的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得，直接写出∠MOD的度数． 【变式5 -11】如图，已知，平分．反向延长射线至C． （1）依题意画出图形，直接写出的度数_______． （2）完成下列证明过程： 证明：如图，∵是的平分线， ∴_______．（_______） ∵， ∴_______． ∵_______． ∴．（_________） 【变式5 -12】补全解题过程． 如图，已知，，平分，求的度数． 解：，（已知） ______°． 平分（已知） ______°． ______°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 角（6个考点梳理+5个题型解读+提升训练） 【清单01】角的概念： （1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。 （2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。 【清单02】角的表示方法：角用“∠”符号表示 （1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间） （2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。 （3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。 （4）直接用一个大写英文字母来表示。 【清单03】角的度量：会用量角器来度量角的大小。 【清单04】角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。 【清单05】锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 （1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。 （2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。 （3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。 【清单06】角的平分线 从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。 若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 【考点题型一】角的定义和表示方法 【例1】下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键． 【详解】解：A．表示同一个角，没有可以用表示的角，故此选项不符合题意； B．能用三种方法表示同一个角，故此选项符合题意； C．不能表示同一个角，图中没有用表示的角，故此选项不符合题意； D．可以表示同一个角，图中没有能用表示的角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1 -1】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，理解并掌握角的表示方法是解题关键．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A.以为顶点的角有一个，可用，，三种方法表示同一个角，符合题意； B.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意； C. 与，不是同一个顶点，，，三种方法表示的不是同一个角，不符合题意； D.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意． 故选：A． 【变式1 -2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不能用表示，故A选项错误； B、能用，，三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、不能用表示，故C选项错误； D、与，表示的不是同一个角，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了角的表示法，解题的关键是掌握角的表示方法的运用． 【变式1 -3】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法和图形进行判断即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误； B、图中的不能用∠1表示，故本选项错误； C、图中的不能用表示，故本选项错误； D、图中、、表示同一个角，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【变式1 -4】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的表示的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A选项中，可用，，三种方法表示同一个角； B选项中，能用表示，不能用表示； C选项中，点A、O、B在一条直线上， ∴能用表示，不能用表示； D选项中，能用表示，不能用表示； 故选：A． 【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的表示的性质，从而完成求解． 【变式1 -5】图中共有 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 个． 【答案】 7； 2． 【分析】根据平角定义和角的表示方法，即可得出． 【详解】图中小于平角的角，即小于的角有，，，，，，，，共7个，其中可以用一个大写字母表示的角有2个，它们是，， 故答案为：7；2． 【点睛】数角时，确定一个顶角，将此处的角都数出来，以免漏角． 【考点题型二】钟面角 【例2】钟面上，时针与分针在不停的旋转，从6时到18时，若某整点时刻的时针与分针构成的角为，则这个时刻是（    ） A．10时 B．11时 C．10时或14时 D．11时或13时 【答案】C 【分析】根据钟面的12个数字把钟面分成12份，每一份的角度为30°，整点时分针指向12，再结合角度即可得出时刻． 【详解】解：若某整点时刻的时针与分针构成的角为， 那么它的时针指向10或2，从6时到18时，对应的时刻为10时或14时， 故选：C． 【点睛】本题考查钟面角．理解钟面上相邻两个时刻的夹角是30°是解决此题的关键． 【变式2 -1】在时刻9:30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：9：30时针与分针相距3.5份，每份的度数是30°， 在时刻9：30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为3.5×30°=105°． 故选：B． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键． 【变式2 -2】10时整，钟表的时针与分钟所构成锐角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】由于钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 【详解】解：钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数． 故答案为：． 【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度． 【考点题型三】角的度量与换算 【例3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查度分秒的换算，掌握是解题的关键． 利用度、分、秒的换算即可，秒的结果若满60，则转化为1分，分的结果若满60，则转化为1度． 【详解】解：原式， ， ， ， 故答案为：． 【变式3 -1】= ＇． 【答案】 【分析】本题考查的是角的单位互化，熟记大化小用乘法即可． 【详解】解：； 故答案为：， 【变式3 -2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度计算．先将化成度数形式，再进行运算即可得到本题答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3 -3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算，掌握是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3 -4】 °． 【答案】49 【分析】此题主要考查了角度的计算，首先计算，然后再根据即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：49． 【变式3 -5】若，，则 ． 【答案】/26度 【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度，从而得出答案． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可． 【变式3 -6】 ． 【答案】 12 14 24 【分析】根据角度的换算可进行求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为12、14、24． 【点睛】本题主要考查度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的换算是解题的关键． 【变式3 -7】单位换算： 度 分． 【答案】 【分析】根据度分秒是进制，把乘以进行计算即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，是基础题，主要利用了度分秒是进制． 【变式3 -8】15.7°= 度 分． 【答案】 15 42 【分析】①度、分、秒是60进制.②在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐级进行. 【详解】15.7°=15°＋0.7° 0.7°= 故为15° 故答案为①15②42 【点睛】本题考查角度制的换算，掌握进制和换算方法是本题关键． 【变式3 -9】计算：27°48'+105°27'= ． 【答案】133°15' 【分析】根据角度的加法运算法则求解即可，注意进率为60． 【详解】 故答案为：133°15'． 【点睛】本题考查角度的加法运算，熟记进率为60是解题关键． 【考点题型四】角的大小比较 【例4】比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较． 【变式4 -1】在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】根据叠合法比较角的大小即可得出答案． 【详解】解：解：如图， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较角的大小，掌握叠合法比较角的大小是解题的关键． 【变式4 -2】比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】> 【分析】先把单位化统一，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了角的大小比较，注意单位要化统一，依据1°=60′，1′=60′′是解题的关键． 【变式4 -3】已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α ∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【答案】＜ 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠β的度数化成分的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵∠β＝0.35°=（0.35×60）'=21'． ∴∠α＜∠β， 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了角的大小比较，掌握度分秒之间的换算法则是解本题的关键． 【变式4 -4】若，，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了度与度分秒的换算角度大小比较，根据角度之间的换算，再进行比较即可，解题的关键是熟练掌握角度之间的换算． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型五】角平分线的有关计算 【例5】如图，，平分，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，结合角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5 -1】已知射线在内部，下列条件①；②；③；④中，能够确定射线是角平分线的有 ．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】①如图1，因为，所以平分角，所以①结论正确，符合题意； ②如图1，因为，所以平分角，所以②结论正确，符合题意； ③如图2，因为，但不是的平分线，所以③结论错误，不符合题意； ④如图1，因为，所以平分角，所以④结论正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义进行判定是解决本题的关键． 【变式5 -2】如图，∠AOB=120°，OC平分∠AOB．若∠COD=20°，∠BOD= °． 【答案】40 【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到∠BOC=∠AOB=60°，再根据角的和差关系，即可得出∠BOD的度数． 【详解】∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB． ∴∠BOC=∠AOB=60°． ∵∠COD=20°， ∴∠BOD=∠BOC －∠COD ＝60°-20° =40°． 故答案为40． 【点睛】要熟记角平分线的定义以及角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 【变式5 -3】如图，点O在直线上，，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若为的平分线，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2) 【分析】本题考查了平角定义，角平分线的性质和角的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）直接根据平角定义用即可解题； （2）根据角平分线的性质，可得，，进而可得，从而可求得的值． 【详解】（1）解：，， ， 答：的度数为； （2）解：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ， ． 【变式5 -4】已知，作射线，，射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时， ①如图1，若，则的度数为_______； ②如图2，若，补全图形，并求的度数（用含的式子表示）． 下面是小东的解答过程，请你补充完整． 解：因为是的平分线，且， 所以（__________）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以________． 所以_________． (2)当射线在的外部时，的度数为________． 【答案】(1)①②作图见详解；；角的平分线定义；； (2)或． 【分析】该题主要考查了角的计算以及角平分线定义，解题的关键是画出图象； （1）①根据，分别是，的平分线得出再结合，，即可求解； ②根据题意画图即可；根据是的平分线，且，得出，再根据是的平分线，且，得出，即可求解； （2）分为当在同侧时，当在两侧时，分别画图求解； 【详解】（1）①，分别是，的平分线， ，， 若 则 ； ②补全图形如图所示：下图画出其一即可． 小东的解答过程补充如下． 因为是的平分线，且， 所以（角的平分线定义）（填写推理依据）． 因为是的平分线，且， 所以． 所以． （2）当射线在的外部时， 分两种情况讨论： 当在同侧时，如图， 当在两侧时，如图， 综上，的度数为或． 【变式5 -5】根据题意，补全解题过程： 如图，已知射线，，在内部，平分，平分，若，，求的度数． 解：∵平分， ∴______， ∵， ∴______， ∵______，， ∴______， ∵平分， ∴______＝______． 【答案】，，，，，． 【分析】利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【变式5 -6】已知：如图，．若，平分，依题意补全图形并求的度数． 【答案】或 【分析】利用角的和差关系计算．根据题意可得此题要分两种情况讨论即可，一种是在内部，另一种是在外部． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①如图，在的内部． ∵平分， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在的外部． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确的作出图象是解决本题的关键． 【变式5 -7】完成下面的解答． 如图，OE是直角的角平分线，OD是的角平分线，若，求的度数． 解：∵是直角， ∴． ∵OE是直角的角平分线， ∴________（________）（填推理的依据）． ∵， ∴________________． ∵OD是的角平分线， ∴________________． 【答案】45；角平分线的定义；；25；；50 【分析】直接根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵是直角， ∴． ∵OE是直角的角平分线， ∴45（角平分线的定义）． ∵， ∴25． ∵OD是的角平分线， ∴50． 故答案为：45；角平分线的定义；；25；；50． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【变式5 -8】如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，射线OE在∠COD内部，且∠AOE＝2∠DOE． (1)如图1，若OD是∠BOC的平分线，求∠COE的度数； 下面是小宇同学的解答过程，请帮小宇补充完整． 解：如图1， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠ ＝60°， ∴∠AOD＝180°－∠BOD＝120°． ∵∠AOD＝∠AOE＋∠DOE，∠AOE＝2∠DOE， ∴∠AOD＝3∠ ， ∴∠DOE＝∠AOD＝40°， ∴∠COE＝∠ －∠DOE＝20°． (2)如图2，小宇发现当∠BOD的大小发生变化时，∠COE与∠BOD的数量关系保持不变，请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)COD，DOE，COD (2)∠BOD＝3∠COE，理由见解析 【分析】（1）根据OD是∠BOC的平分线，可得∠BOD＝∠COD＝60°，从而得到∠AOD＝180°－∠BOD＝120°．再由∠AOE＝2∠DOE，可得∠DOE＝∠AOD＝40°，即可求解； （2）设∠COE＝α°，根据∠COD＝60°，可得∠DOE＝ (60－α)°．再由∠AOE＝2∠DOE，可得∠AOD＝ (180－3α)°，从而得到∠BOD＝180°－∠AOD＝3α°，即可求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， ∴∠AOD＝180°－∠BOD＝120°． ∵∠AOD＝∠AOE＋∠DOE，∠AOE＝2∠DOE， ∴∠AOD＝3∠DOE， ∴∠DOE＝∠AOD＝40°， ∴∠COE＝∠COD－∠DOE＝20°． （2）∠BOD＝3∠COE． 理由如下：设∠COE＝α°， ∵∠COD＝60°， ∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝60°－α°＝(60－α)°． ∵∠AOE＝2∠DOE，∠AOD＝∠AOE＋∠DOE， ∴∠AOD＝3∠DOE＝3(60－α)°＝(180－3α)°， ∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－(180－3α)°＝3α°， ∴∠BOD＝3∠COE． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差，理解题意，准确得到角与角间数量关系是解题的关键． 【变式5 -9】已知：如图，从点О引出OA，OB，OC，OD四条射线，OE，OF分别是，的角平分线． (1)如图1，若，，，求的度数． ①依题意补全图1； ②完成下面解答过程． 解：如图1， ∵平分，平分， ∴，.（_____________） ∵，，， ∴，， ∴，___________． ∴____________． (2)如图2，若，，，则的度数为________． 【答案】(1)①补全图见解析；②角平分线的定义；10°；45°． (2)45° 【分析】（1）①补出和的平分相关；②根据角平分线的定义求解即可； （2）先计算出 ，，根据角平分线的定义得，进一步得出，从而可得出． 【详解】（1）①依题意补全图形如图， ②解：如图， ∵平分，平分， ∴，.（___角平分线的定义_） ∵，，， ∴，， ∴，____10°_______． ∴___45°___． 故答案为：角平分线的定义；10°；45°． （2）∵，， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴ 故答案为：45° 【点睛】本题主要考查了角的运算和角平分线，灵活运用角平分线是解答本题的关键． 【变式5 -10】已知，，OC平分∠AON． （1）如图1，射线与射线OB均在∠MON的内部． ①若，∠MOA＝ °； ②若，直接写出∠MOA的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若，求∠MOA的度数（用含的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得，直接写出∠MOD的度数． 【答案】（1）①40；②；（2）①；②． 【分析】（1）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； ②先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； （2）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； ②先根据角的和差可得，从而可得，再根据即可得． 【详解】解：（1）①， ， 平分， ， ， ， 故答案为：40； ②， ， 平分， ， ， ； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②如图，由（2）①已得：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键． 【变式5 -11】如图，已知，平分．反向延长射线至C． （1）依题意画出图形，直接写出的度数_______． （2）完成下列证明过程： 证明：如图，∵是的平分线， ∴_______．（_______） ∵， ∴_______． ∵_______． ∴．（_________） 【答案】（1）画图见解析，60；（2）AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换 【分析】（1）根据题意画出图形即可，利用平角的定义以及角的和差即可求得∠BOC的度数； （2）利用角平分线的定义求得∠AOP=60°，即可证明∠AOP=∠BOC． 【详解】解：（1）画出图形如图所示， ∵∠AOB=120°，且∠AOC=180°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°， 故答案为：60； （2）证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠AOP=∠AOB．（角平分线的定义） ∵∠AOB=120°， ∴∠AOP=60°． ∵∠BOC=60°． ∴∠AOP=∠BOC．（等量代换） 故答案为：AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义、根据图形正确计算是解题的关键． 【变式5 -12】补全解题过程． 如图，已知，，平分，求的度数． 解：，（已知） ______°． 平分（已知） ______°． ______°． 【答案】120；60；10 【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOD=60°，进而得出答案． 【详解】解：，（已知） 　　120　　____°． 平分（已知） _60__°． __10__°． 故答案为：120；60；10 【点睛】此题主要考查了角平分线，正确掌握相关定义是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$