专题07 轴对称最值问题专项训练-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题07 轴对称最值问题专项训练 一、单选题 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·四川广元·期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 二、填空题 4．（22-23八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，垂直平分，点P为直线上的任意一点，则的最小值是 ． 5．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为 ． 6．（22-23八年级上·四川广元·期末）如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则 cm． 7．（22-23八年级上·四川南充·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，F．Р为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是 ． 8．（22-23八年级上·四川广安·期末）如图，在锐角三角形ABC中，，，的平分线交BC于点D，M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 9．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，是边长为6的等边的高，E为上的动点，以为边长在的右上方作等边，连接，则的周长的最小值是 ．    11．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ． 12．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 13．（21-22八年级上·四川绵阳·期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 三、解答题 14．（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，是等边三角形，D是边上一动点（不与点B，C重合），连接．点E，F分别在线段，的延长线上，且． (1)求的度数； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探索当点D从点B运动到点C的过程中，的周长是否存在最小值？若存在请说明理由． 15．（21-22八年级上·广西北海·期末）如图1，在△ABC中，，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得，过点G作分别交BC，AC于点F，D． (1)求证：； (2)若，，求AB的长度； (3)如图2，过点D作于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若，，在（2）条件下，求△AFP周长的最小值． 16．（22-23八年级上·四川达州·期末）已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点． (1)求直线l的函数表达式； (2)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标； (3)如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标． 17．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 18．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 19．（23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 轴对称最值问题专项训练 一、单选题 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴当三点共线，即点在线段上时，取得最小值，最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 3．（21-22八年级上·四川广元·期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD， ∵∠ADC=90°，C'D=CD， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小， ∵∠A=∠ADC=90° ∴CD//AB， ∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°， ∵C' D=CD，∠ADC=90° ∴CC' =2CD， ∵BC=2CD， ∴CC' =BC， ∴∠C'=∠CBC'， ∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE=AD=2， 在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2， ∴BC' =2BE=4， 即PB+ PC的值最小值为4， 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键． 二、填空题 4．（22-23八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，垂直平分，点P为直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】易得关于对称，得到，得到当三点共线时，有最小值，即为的长，即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴关于对称， ∴， 即：当三点共线时，有最小值，为的长， ∵， ∴的最小值是； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握对称求线段和最小值的方法是解题的关键． 连接，由，根据即可求得的最小值． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∴， ∵是边上的高，E为的中点， ∴，且E为的中点， ∴， 当C，P，E三点共线时，最小， 根据等边三角形三边上的高相等，可得， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 6．（22-23八年级上·四川广元·期末）如图，在等边三角形中，是角平分线，P为线段上一动点，M为的中点，连接，若的最小值为15cm，则 cm． 【答案】15 【分析】如图所示，连接，先证明在线段的垂直平分线上，则，进而推出当三点共线时，的值最小，即的值最小，再由等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是等边三角形，是角平分线， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即的值最小， ∴， 又∵M是的中点，是等边三角形， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，确定当三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 7．（22-23八年级上·四川南充·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，F．Р为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】连接，，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形面积求出，根据垂线段最短得出的最小值为的长，求出的最小周长即可． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，D为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，为定值， ∴当最小时，周长最小， ∴当最小时，最小， ∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为5， ∴周长最小值为， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了线段垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，得出当最小时，最小，即周长最小． 8．（22-23八年级上·四川广安·期末）如图，在锐角三角形ABC中，，，的平分线交BC于点D，M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】直接利用将军饮马类似的模型求解最短路径即可． 【详解】在上取一点连接， ， 由题可知，当时，有最小值，为 故答案为： 4 【点睛】此题考查轴对称的性质，以及将军饮马模型的变形图，通过对称求出两边和的最小值． 9．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是 【答案】 【分析】在x正半轴上取点，使，过A作轴于点D，先证，得，由，由点到直线的距离垂线段最短，确定最小值为，由等腰三角形的判定和含直角三角形的性质求解即可； 【详解】在x正半轴上取点，使，过A作轴于点D， 平分， ， ，， ， ， ， 当，即与D重合时，的值最小， 最小值为， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离确定最小值是本题的关键． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，是边长为6的等边的高，E为上的动点，以为边长在的右上方作等边，连接，则的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】如图：连接,证明，得，可知点F在外，使的射线上，根据将军饮马型，求得的最小值即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是高， ∴， 过C点作，交的延长线于点G，延长到H，使得，连接，与交于点I，连接，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，的值最小为：， ∴的周长的最小值为． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题、等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，证明三角形全等确定E点运动轨迹是解题的关键． 11．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短线段问题及线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，根据面积法求得，再根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】如图，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 12．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作于点，由，求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ，，， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键． 13．（21-22八年级上·四川绵阳·期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ，， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 14．（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，是等边三角形，D是边上一动点（不与点B，C重合），连接．点E，F分别在线段，的延长线上，且． (1)求的度数； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探索当点D从点B运动到点C的过程中，的周长是否存在最小值？若存在请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）延长至点，利用等边对等角得到，利用外角的性质，得到，即可得解； （2）证明，即可得出； （3）根据，，得到的周长等于，进而得到当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得到当时，最小，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想；证明如下： ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴的周长， ∵为定值， ∴的周长随着的变化而变化， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小，此时的周长最小， 故的周长存在最小值． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的外角的性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 15．（21-22八年级上·广西北海·期末）如图1，在△ABC中，，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得，过点G作分别交BC，AC于点F，D． (1)求证：； (2)若，，求AB的长度； (3)如图2，过点D作于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若，，在（2）条件下，求△AFP周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据平行线的性质可证明，再根据题意利用AAS证明三角形全等即可． （2）首先根据等腰三角形性质及平行线性质证明，求出FG的长，再利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）证明点F与点C关于直线PD对称，推出当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值=△ADF的周长． 【详解】（1）证明：如图1中，∵，∴． 在△ABE和△GFE中， ∴． （2）解：如图1中，∵，∴． ∵，∴，∴． ∴． ∵，∴． ∵，∴． （3）解：如图2中，∵， ∴，∴． ∵，∴，即． ∵，， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点F与点C关于直线PD对称， ∴当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值为的周长为： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 16．（22-23八年级上·四川达州·期末）已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点． (1)求直线l的函数表达式； (2)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标； (3)如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标为（0，4）或（2，2）或或 (3) 【分析】（1）由题意易得A，C两点坐标，设出一次函数解析式，待定系数法求函数解析式即可； （2）设出点坐标，分别表示出，，的长，然后根据等腰三角形两腰相等分三种情况列方程求解即可； （3）由题意可知点O与点B关于直线l对称，连接BD，与l的交点即为点E，求出DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标． 【详解】（1）解：设直线l的函数表达式为，将A（4，0）和C（0，4）代入得， 解得， ∴直线l的函数表达式； （2）解：设点坐标为，则，，， ①当，则，解得，（舍去）， ∴点坐标为； ②当，则，解得，， ∴点坐标为或； ③当，则，解得， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或或或； （3）解：由题意知O与B关于直线l对称，如图连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值， 设DB所在直线为，将点D（0，2）、B（4，4）代入得， 解得 ， ∴直线DB为， 联立方程组：， 解得， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用；解题的关键在于对等腰三角形腰的不同情况的讨论，考查了学生对一次函数与几何图形的综合运用的能力，要求学生能对平面图形中的最短距离求解时巧妙地运用线段之间的转化． 17．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 18．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】(1)，原因见解析 (2)，原因见解析 (3)最小值为15 【分析】（1）利用等角的补角相等即可证得； （2）过点作，，分别交于，，通过证得，即可得到结论； （3）易证得为等边三角形，则，求最小值即为求的最小最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，求得的长即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形， 平分， ，， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， 为等边三角形， ， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值， 最小值为的长度， 则最小值为的长度， 由对称的性质可得． ，，， 为等腰三角形，， ， ， 为等边三角形， 由等边三角形对称性可得， 是线段的中点， ， ， ，， ， 最小值为15． 【点睛】本题考查了邻补角定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称最短路线问题，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键． 19．（23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$