专题06 轴对称综合题专项训练-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题06 轴对称综合题专项训练 一、解答题 1．（22-23八年级上·四川南充·期末）已知，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，，其中． (1)如图1，点在线段上，若， ①请直接写出点E的坐标（用含m的式子表示）； ②过点E作交y轴于点C，交x轴于点D，求的值； (2)如图2，，且，点D是x轴上一动点，点E是线段的中点，连接，若点F在第二象限，满足，且，连接，，，随着点D在x轴上运动，判断的度数是否为定值，若为定值，求其值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的度数是定值，为 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①连接，作于，于，由面积法求出，即可得解；②证明得出，证明得出，即可求解； （2）延长至，使得，连接，，，证明，得出，，证明，得出，，推出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①如图，连接，作于，于， ， ∵点A，点B的坐标分别为，，， ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的度数是定值， 如图，延长至，使得，连接，，， ， ∵点是线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）如图1，在中，，是的中线，证明：； （2）如图2，在中，，，分别是的高线和角平分线，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长，分别交和的延长线于点，．当时，恰好有，求此时的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）延长至，使得，证明得出，，证明得出，从而得到，即可得证； （2）连接．由（1）可得，推出．连接，证明得出．证明得出，推出．设，则．再由角平分线的定义得出，求出．即可得解． 【详解】（1）证明：延长至，使得， 是的中线， ． 在与中， ， ，． ， ， ，即． 在与中， ， ． ， （2）解：连接． 由（1）可得， ． 连接， 在与中， ， ， ． 在与中， ， ， ， ． 设，则． 是的角平分线， ， ∴． ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（21-22八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据AC= BC， E为AB中点，得出CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°，∠AEC= 90°，∠A=∠ACE= 45°，AE= CE，再根据DF= EF，∠DFE= 90°， 得出∠FED= 45°，∠FED=∠AEC，即可得出AM = MC； （2）先在AM截取AH，使得AH = CN，连接EH，根据AE= CE，∠A=∠BCE = 45°证出， HE= NE，∠ AEH = ∠CEN，∠HEM =∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-MEC=∠AEC-∠MEF= 90°- 45°= 45，∠HEM=∠NEM=45°然后证出 ， HM = MN，最后根据AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案； （3）先在CB_上截取CH = AM，根据SAS证得，得出EM = EH，∠AEM=∠CEH，AM=CH，再根据∠M EN和∠AEC的度数，得出∠CEH +∠CEN =∠HEN=45°，再在△EMN和△EHN中，根据SAS证得，得出MN = HN，可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，E为AB中点 ∴CE⊥AB， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴． （2）解：，理由如下： 如图2，在AM截取AH，使得，连接EH， 由（1）知， 在与中： ∴ ∴， ∴ ∴ 在与中： ∵，， ∴ ∴ ∴ 即．   （3）解：猜得∶ MN = AM + CN，理由如下∶ 如图3，在CB_上截取CH = AM，连接EH， ∵在△AEM和△CEH中， ∴ (SAS)， ∴EM=EH，∠AEM=∠CEH， ∵AM = CH，∠MEN=45°，∠AEC=90° ∴∠AEM+∠CEN=45 ∴∠CEH + ∠CEN =∠HEN = 45° ∴∠MEN =∠HEN，   在△EM N和△EHN中， ∴ (SAS)， ∴MN = HN， ∴MN=CH+CN， ∴MN=AM+CN． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 4．（22-23八年级上·四川南充·期末）如图1，为等腰直角三角形，即，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，即，，且于． (1)求证：； (2)连接交于，若，求的值； (3)如图2，过作交的延长线于点，过点作交于，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），式子的值会变化吗?若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)的值不会变化，其值为1 【分析】（1）根据题中条件可以得到与之间的关系，与之间的关系，从而根据两个三角形全等的判定定理即可得到； （2）由（1）中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题中条件根据两个三角形全等的判定定理即可得到，进而找到，从而可以解答本题； （3）由题意作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等及可以找到所求问题需要的各边之间的关系，从而代值即可解答本题． 【详解】（1）证明：为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，于， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ； （3）解：式子的值不会变化． 理由如下：作交于点，如下图2所示： ，，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系． 5．（22-23八年级上·四川乐山·期末）如图1，中，于，，，过点作于，交于．回答下列问题：    (1)求线段的长； (2)连结，求证：； (3)如图2，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，过点作，交线段延长线于点，则的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 (3)不发生变化，4 【分析】（1）证，即可得出； （2）过分别作于点，作于点，证，得出．得出平分，即可得出结论； （3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）过分别作于点，作于点，如图1所示：    在四边形中，， ． 在与中，， ， ． ，， 平分， ； （3）的值不发生改变，等于4．理由如下： 连接，如图2所示：    ，，为的中点， ，， ，， ． ， 即， ． 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 6．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)如图2，点为边上点，连接，且． ①证明：； ②若，点为线段上动点，若，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质得到，推出，求证可得，根据等腰三角形底边三线合一即可证明； （2）①设，根据三角形的外角的性质得出，，根据三角形呢几何定理得出； ②作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，根据最大，证明是等边三角形，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 和为等边三角形， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①设 由（1）可得，则 又 ∴, ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ 即， ∴， ② ∴ ∵ ∴ ∴， 作点关于的对称点，如图所示， 连接并延长交于点，连接 此时最大， 由①可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ 即的最大值为 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知线段于点，点在直线上（点与不重合），分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点． (1)如果点在线段上，如图①，证明：； (2)如果点在线段的延长线上，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如果点在直线上，且，，请直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】（1）如图①中，由，都是等边三角形，得，，，从而有，进而即可证明结论成立； （2）．由（）得，，从而得，，根据垂线性质及四边形的性质得，从而根据角的和差得，进而得，于是即可得； （3）分类图①，图③两种情形，分别求解即可． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ； （2）解：． ∵， ∴， 由（）得，， ，， ∴ ， ， ， ， ∵， ， ， ． （3）解：①如图①中，   ， 设， ，， ， ， ． ②如图③中，    设，则， ，， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，，分别为边，上的点，且．连接，，点为的中点，连接． (1)当时，求证：； (2)若点为中点，，求线段的长（用含的代数式表示）； (3)若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用三角形的外角的性质，结合角的和差关系可得结论； （2）过点D作交于点M，连接，证明，，可得，从而可得答案； （3）过点D作交于点F，连接，证明是等边三角形，，可得，是等边三角形，可得，证明，可得，再证明，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， 即， 又∵， ∴； （2）过点D作交于点M，连接， ∵D为中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，，． ∴， ∴ ∴； （3）．证明如下： 过点D作交于点F，连接， ∴，， ∵是等腰三角形，且， ∴是等边三角形，，， ∴是等边三角形，， 又∵， ∴， 又∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，P，F共线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，，，，三点共线，点在上，，，分别交于，两点． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②探究，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】（1）本题根据三角形内角和得到，证明，根据全等三角形性质即可解题． （2）①本题根据为等腰直角三角形，，推出，根据为等腰直角三角形，结合，推出，即可解题． ②本题在上，取，连接，过点作交于点，证明，推出为等腰直角三角形，有，推出，由题意得到，利用平行线性质和等腰三角形性质证明，得到，最后根据进行等量代换，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）①证明：由（1）知，为等腰直角三角形， ， ， ，即， ，， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； ②，证明如下： 在上，取，连接，过点作交于点， 在与中， ， ，，， ，，三点共线， ， ， 为等腰直角三角形，即有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并熟练运用即可解题． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 【答案】(1)①；②；理由见解析 (2)4 【分析】（1）①由题意得是等边三角形，继而得，再得； ②在线段上截取，证明，再利用角平分线定义得，继而得到，即可得到本题答案； （2）过作，且使，所以点是定点，的长度是定长，证明，继而得到当最长时，，，三点在同一条直线上，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， ， ， 由题意，得， ， ， ， ②；理由如下： 在线段上截取，如图2，   ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：如图3，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长．   ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图4，   ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 轴对称综合题专项训练 一、解答题 1．（22-23八年级上·四川南充·期末）已知，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，，其中． (1)如图1，点在线段上，若， ①请直接写出点E的坐标（用含m的式子表示）； ②过点E作交y轴于点C，交x轴于点D，求的值； (2)如图2，，且，点D是x轴上一动点，点E是线段的中点，连接，若点F在第二象限，满足，且，连接，，，随着点D在x轴上运动，判断的度数是否为定值，若为定值，求其值；若不为定值，请说明理由． 2．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）（1）如图1，在中，，是的中线，证明：； （2）如图2，在中，，，分别是的高线和角平分线，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长，分别交和的延长线于点，．当时，恰好有，求此时的度数． 3．（21-22八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 4．（22-23八年级上·四川南充·期末）如图1，为等腰直角三角形，即，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，即，，且于． (1)求证：； (2)连接交于，若，求的值； (3)如图2，过作交的延长线于点，过点作交于，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），式子的值会变化吗?若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 5．（22-23八年级上·四川乐山·期末）如图1，中，于，，，过点作于，交于．回答下列问题：    (1)求线段的长； (2)连结，求证：； (3)如图2，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，过点作，交线段延长线于点，则的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 6．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)如图2，点为边上点，连接，且． ①证明：； ②若，点为线段上动点，若，求的最大值． 7．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知线段于点，点在直线上（点与不重合），分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点． (1)如果点在线段上，如图①，证明：； (2)如果点在线段的延长线上，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如果点在直线上，且，，请直接写出的值． 8．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，在等腰中，，，分别为边，上的点，且．连接，，点为的中点，连接． (1)当时，求证：； (2)若点为中点，，求线段的长（用含的代数式表示）； (3)若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 9．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，，，，三点共线，点在上，，，分别交于，两点． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②探究，与的数量关系，并证明． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 11．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$