专题07 函数综合压轴大题归类（5大基础题+8大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题07 函数综合压轴大题归类 经典基础题 题型1 集合与简易逻辑型 1．（2024·安徽黄山屯溪一中）设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意，即可直接写出； （2）由可得，结合可得，即可证明； （3）若且则，进而，由（2）可知，分类讨论、时与的大小关系，即可证明. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 当时，， 所以，即，， 又因为，所以， 所以， 所以； （3）对任意，令， 若且，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 对，因为， 由（2）可知，令，则. 若，因为， 所以，即， 又因为，所以. 若，则， 所以. 综上，即. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识.. 2．（22-23安徽芜湖无为中学·期中）已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 【答案】(1)； (2)2； (3)13. 【分析】（1）根据子集的定义， 即可容易求得； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可； （3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【详解】（1）当时，，的所有子集为. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时； 若，设且， 根据题意，，其中； 因为，所以，所以； 又因为，所以； 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以，与矛盾. 综上所述，. （3）设 ， 设的元素个数为， 若不是的子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素； 令，易验证不是的子集， 当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集， 所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则； 当时，存在，使得中必有两个元素属于， 同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂， 所以是的子集； 所以，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知为正整数，集合 对于 中任意两个元素 和 定义： (1)当 时，设 ，写出 并计算； (2)若集合满足 且 求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明； (3)若， ，任取，证明：   【答案】(1)， (2)最大值是2，或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义，结合反证法进行求解即可； （3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可． 【详解】（1），； （2）若，由可得，， 若，由可得，， 若，则，矛盾， 所以集合中元素个数的最大值是， 此时或； （3）设， 所以， 从而， 又， 当时，； 当时，． 所以． 【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键. 题型2对构型 1．（2021高一上·安徽六安·期中）已知函数具有以下性质：在上是减函数，在上是增函数. （1）若在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若，，求的值域和单调区间. 【答案】（1）（2）值域,上递增；上递减 【分析】（1）观察当时，明显是增函数，考虑当，找到的单调增区间和题目提供的增区间之间的包含关系，列不等式求解； （2）令，则，由最内层的函数的单调性开始分析，直到最外层函数，利用同增异减确定复合函数的单调性，同时根据单调性求出值域即可. 【详解】解：（1）当时，明显在上是增函数， 当时，， 由题目条件可得在上是增函数， ， ，解得：， 综合得：； （2） 令，则， 在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，且， 在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，且， 综上所述：的值域为，在上单调递增，在上单调递减 【点睛】本题考查复合函数的单调性，关键是确定每层函数的单调性及值域，利用同增异减，将内层函数的值域作为外层函数的定义域，求出外层的单调性及值域，本题难度较大. 3．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），（2）实数的取值范围是 【解析】（1）根据函数奇偶性求解析式； （2）将恒成立转化为令， 恒成立，讨论二次函数系数，结合根的分布. 【详解】解：（1）因为函数是定义在实数集上的奇函数， 所以， 当时，则 所以当时 所以 （2）因为时， 在上恒成立 等价于即在上恒成立 令，则 ①当时，不恒成立，故舍去 ②当时必有，此时对称轴 若即或时，恒成立 因为，所以 若即时，要使恒成立 则有与矛盾，故舍去 综上，实数的取值范围是 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 （1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； （2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式； （3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 3．（22-23高一安徽颍上县耿棚中学·期末）已知函数（，且），对，． (1)求a的值； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据题意代入运算求解； （2）利用换元法结合基本不等式可得，题意转化为当时恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析运算. 【详解】（1）由题意可得：，， ∵，即， 得，则， 且不恒为0，则，解得， 故实数a的值为或1． （2）因为，所以， 则，， 令，则，当且仅当，即时，等号成立， ∵恒成立，等价于当时恒成立，等价于当时恒成立， 令， 对，且， 因为一次函数与反比例函数在上都是增函数， 则，可得， 即，所以在上单调递增， 则，即当时，取最小值1， 所以，即实数m的取值范围为． 【点睛】结论点睛： 1.恒成立问题： ，，等价于； ，，等价于. 2．存在性问题： ，，等价于； ，，等价于. 题型3 双曲型 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知定义在R上的函数，． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若对，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值． （参考公式：如果a、b、c是正实数，那么，当且仅当时，等号成立．） 【答案】(1)奇函数，证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得是奇函数. （2）由分离常数，利用换元法法，结合指数函数以及函数的单调性等知识求得的取值范围. （3）先求得，根据已知条件列方程，求得关于的表达式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 的定义域是，， 所以是奇函数. （2）依题意，对，恒成立， 即对，恒成立， 即对，恒成立， 令， 在上单调递增，所以，即， 令，则， 所以，根据对钩函数的性质可知， 函数在区间上单调递增，， 所以. （3）， 依题意，，即， 将代入得， 整理得， 当且仅当时等号成立， 由两边取以为底的对数得， 所以的最小值是. 【点睛】判断函数的奇偶性，主要根据奇偶性的定义，由或来进行求解，求解过程中要注意函数的定义域关于原点对称.求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解. 2．（24-25高二上·安徽·开学考试）设函数，． (1)判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； (2)求证：； (3)若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】(1)奇函数，上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性，利用单调性的性质判断的单调性； （2）求和即可证明； （3）令，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，在上单调递增； （2）因为， ， 所以可得； （3）由， 令，由，则， 又，则令， 对称轴， 当，即时，， 解得； 当，即时，， 解得，又，因此不符合题意，舍去； 当，即时，， 解得， 综上知，. 【点睛】方法点睛： 1.函数最值与值域的求法：单调性法；不等式法；配方法；换元法；数形结合法；分离常数法；导数法. 2.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 3．（2023高一上·安徽六安舒城）设函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由奇函数的性质可知，得出； （2）由（1）得又，求出，由函数的单调性不等式整理为对一切恒成立，利用判别式法求解即可； （3）把点代入求出，假设存在正数，构造函数设则，对底数进行分类讨论，判断的值． 【详解】（1）是定义域为的奇函数 ∴， ∴； （2）由（1）得， 由得又， ∴ 由得， ∴为奇函数∴∴， ∴为上的增函数， ∴对一切恒成立， 即对一切恒成立， 故，解得； （3）假设存在正数符合题意，由得 ， 设，则， ，∴， 记， 函数在上的最大值为0， (ⅰ)若，则函数在有最小值为1， 对称轴，∴﹐不合题意； (ⅱ)若，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①， 又此时， 又，故无意义， 所以应舍去； ②无解， 故不存在正数，使函数在上的最大值为0. 【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题，属于难题． 题型4 一元二次型 1．（24-25高一上·安徽省名校联盟·阶段练习）已知，函数． (1)当时，函数的图象与x轴交于，两点，求； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意结合根与系数的关系可得，然后利用完全平方公式与立方和公式可求得结果； （2）分，，，和五种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为的图象与x轴交于，两点， 所以， 所以， 所以； （2）由，得， 即， 当时，，解得， 当时，由，得， 解得或， 当时，，则由得或， 当时，当，即时， 由，得， 当，即， 由，得，解得， 当，即时，由，得， 综上，当时，解集为，当时，解集为或， 当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为. 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是通过分类讨论方程根的大小，结合一元二次不等式的解法求解，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 2．（24-25高一上·安徽合肥一六八中学·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解不等式可得参数范围； （2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况； （3）分离参数可得，结合基本不等式求最值可得参数范围. 【详解】（1）当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得， 综上所述，即； （2），即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又是，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 3．（23-24高一上·安徽舒城中学阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. (3) 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. （2）由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3）由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式。考查学生分析问题的能力，分类讨论的能力，具有很强的综合性. 题型5 反比例型函数 1．（22-23高三上·安徽滁州·阶段练习）设（a为实常数），与的图像关于y轴对称. (1)若函数为奇函数，求a的取值； (2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围； (3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明. 【答案】(1) (2) (3)有唯一实数根，证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质列方程即可求得的值； （2）把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （3）先构建一个新函数，再去判定函数的零点情况即可解决. 【详解】（1）设点为图像上任意一点，关于y轴的对称点为， 由题意可知在上，则有，，故 由 为奇函数，则有 故，（经检验，时是奇函数） （2）时， 由可得，，即 令，则有两个不等正根 则有，，解之得， （3）令     由，可知， 则时，与均单调递增，故上单调递增， 又时，， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 【点睛】思路点睛：求方程的实数根个数实际上就是令，求的零点个数问题，通过令把问题转化为求与的交点问题，属于难题. 2．（23-24高一安徽池州贵池区阶段练习）已知函数． (1)解不等式； (2)若，满足，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案； （2）作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论. 【详解】（1）由题意，， ①，不等式即， ， ②，不等式即，； 综上，. （2）函数大致图象如图，    当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ∴若，满足，则， 由图象知， ①若，则显然； ②若，要证明，则要证， 注意到，，且在递减， 则可证明， ∵，则可证明， 构造函数，，则， ，， ，∵，，，∴， ∴，∴在上单调递减， ∵，∴时，，即， ∴，从而得证． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明；解答时利用函数的图像确定的范围，再结合范围分类讨论。进而构造函数，利用函数的单调性解决问题. 3．（24-25高一上·安徽淮北阶段练习）给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】(1)不动点为－2和3 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【详解】（1）令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. （2）（i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 优选提升题 题型01 倍增函数型 1．（24-25高一上·安徽六安·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. (1)证明：函数在定义域里存在“完美区间”； (2)如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； (3)是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，. (3)存在， 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. 【详解】（1）在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”. （2）若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. （3） ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得,与a,b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 2．（21-22高一上·安徽黄山）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：① 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，；则称[m，n]是该函数的“美好区间”. (1)判断函数是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不存在，请说明理由； (2)已知函数有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出的最大值. 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）按函数的单调区间分类讨论在区间[m，n]上的值域，根据题目要求列方程解之即可； （2）由数有“美好区间”[m，n]，可推导出参数a需满足的条件，进而求出以参数a表示的的代数式的最大值. 【详解】（1）函数存在美好区间. 假设存在美好区间[m，n]，由函数f（x）的定义域为，∴  n>m>0 ∵∴ 由“美好区间”的定义可知： 1）当时，在（0，）上为减函数， 故有，即，此时实数m，n的值不存在 2）当时，在上为增函数. 故有，即由此可得m，n是方程的根. 解得，而，所以此时成立 综上所述，函数存在美好区间，其中 （2）设[m，n]是的美好区间， 则或，. 故函数在[m，n]上单调递增. 由[m，n]是函数的“美好区间”，则， 故m，n是方程，即的同号的相异实数根. 由，可知同号，只须， 即或时，函数有“美好区间”[m，n]. 此时 由或得 故当即时，有最大值 3．（23-24高一上安徽阜阳）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有. (1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”； (2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围； (3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”. 【答案】(1)是，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数，进行判定，即可求解； （2）若为的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解. 【详解】（1）函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“美好区间”. （2）记，，可得，故若为的“美好区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即； 由， 当时，在上单调递增，且， 即，所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意； 综上可知，，即实数的取值范围是. （3）对于任意区间，记， 由已知得在上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”，必满足性质②，这只需， 即只需或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得. 如，取，区间满足性质②； 如，取，区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则图象连续不断，下证明有零点： 因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记； 若，则是的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点，即， 因为的所有“美好区间”都满足性质②，故.（否则，与性质②不符）， 即不属于的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答. 题型02抽象函数型 1．（19-20高一上·安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； (4)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）令可求得；令可推导得到奇偶性； （2）设，结合奇偶性可得，根据可得，由此可得单调性； （3）利用奇偶性可将不等式化为，由单调性和函数定义域可构造不等式组求得结果； （4）变形可得，由已知关系式可得，累加可求得，根据可得结论. 【详解】（1）令，则，解得：； 令，则， 为定义在上的奇函数. （2）设，则，； ，，，； 又， ，又当，，， ，即，在上是减函数. （3）由得：； 定义域为且在上是减函数， ，解得：，不等式的解集为. （4）； ，， ， ； ，， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数奇偶性、单调性相关问题的求解；本题证明不等式的关键是能够将自变量化为与已知关系式相同的形式，从而利用已知的抽象函数关系式对不等式左侧进行化简得到. 2．（21-22高一上·安徽安庆桐城中学）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明. （2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明. （3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理. 【详解】（1）令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数． （2）设，则，所以． 因为，，，所以，即，所以． 又，所以，所以， 所以，即．所以在上是减函数． （3）由（2）知函数在上是减函数， 所以当时，函数的最大值为， 所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，是关于a的一次函数，， 要使对任意恒成立， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围是． 3．（22-23高一上安徽池州）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再证得时，，然后任取，则，，再根据已知条件变形可证得单调性； （3）由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 题型03 分数型 1．（20-21安徽淮北市树人高中阶段练习）已知函数，. （1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围. （2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）或或；（2）或. 【分析】（1）求出的最大值，可知恒成立，可得，，进而构造函数，只需，求解即可； （2）可求得在上的值域为，可知，且对任意，总存在唯一，使得成立，进而分，和三种情况分别讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，，故， 要使对任意，，不等式恒成立，只需， 所以，即. 记，因为，所以只需，即， 解得或或. 故的取值范围为或或. （2）当时，； 当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以， 所以函数在上的值域为. 因为对任意，总存在唯一，使得成立. 故，且对任意，总存在唯一，使得成立， 以下分三种情况讨论： ①当，即时，则，解得； ②当，即时，则，解得； ③当，即时，或， 所以， 综上，的取值范围为或. 【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查不等式恒成立问题，考查方程存在解问题，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 2．（2021高一安徽合肥一中、六中联考期末）设，已知函数. （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设，若实数满足，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得； （2）采用作差比较大小，整理化简得； （3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立. 【详解】解：（1）由题意，对任意，都有， 即，亦即，因此； （2）证明：因为，， . 所以，. （3）设，则， 当时，； 当时，； ，， 所以. 由得，即. ①当时，，，所以； ②当时，由（2）知， ，等号不能同时成立. 综上可知. 【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题. 3．（24-25高一安徽安庆·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值 (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是定义在上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解； （2）由（1）知，，再根据定义证明函数的单调性即可； （3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以满足，又，可得， 解得，经检验，，满足题意， 所以，. （2），在上单调递增，证明如下： 设任意，，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增； （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即， 则在上的值域为， 的对称轴为， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解. 题型04 指数函数型 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可； （2）对任意，存在，使得，则，即，在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】（1）当时，，， 令，因为，则， 所以，其中， 则时，，时，，即， 所以的值域为； （2）由，， 设，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故， 因为对任意，存在，使得，则， 所以，在上恒成立， 令，因为，则，即在上恒成立， 则在上恒成立，因为函数在上单调递增， 故，所以，即． 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是转化为，在上恒成立. 2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”. (1)已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由； (2)若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值. 【答案】(1)为“倒戈函数”；理由见解析 (2)答案见解析 【分析】 （1）直接解方程，方程有解即得； （2）由方程在上有解，令换元后转化为关于t的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值. 【详解】（1） 为“倒戈函数”. 等价于方程有解， 即有解，显然为方程的解， 所以为“倒戈函数”； （2） 若为定义在上的“倒戈函数”， 则在上有解，即在上有解. 令，当且仅当时，即时，取等号， 则， 从而关于的方程在上有解， 令， ①当时，在上有解， 由，即，解得； ②当时，在上有解等价于 ，此不等式组无解. 则所求实数的取值范围是. 令，因为，所以， 则， 令，对称轴为， 当时，在单调递增， 所以时，取得最小值，， 即时 当时，时，取得最小值，， 即时，即时，. 综上，当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“倒戈函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解. 3．（22-23高一上·安徽六安一中阶段练习）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解； （2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得对称轴为， 当时，在上为增函数，可得，即， 解得； 当时，在上为减函数，可得，即， 解得， 因为，所以. （2）由（1）可得，所以， 方程化为，所以， 令，则， 因为，可得，令， 当时，可得，所以，即实数的取值范围是. （3）方程，可化为， 可得且， 令，则方程化为， 方程有三个不同的实数解， 所以由的图象知， 方程有两个根且， 记，则或， 解得， 综上所述，实数的取值范围是.    题型05 反比例复合指数型 1．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数，其中是奇函数. (1)求a的值； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)在和上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）设和上的任意，，且，分析的正负证明即可； （3）根据函数是奇函数，结合单调性化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以， ，则，则， 故. （2）在和上为减函数，证明见解析 设上的任意，，且， 由； ， ，，则. 故，在上为减函数. 当时，，， 则，在上也为减函数. 综上有在和上为减函数. （3），由（2）可得在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去. 综上. 2．（2021高一上安徽合肥八中期末）已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点. （1）求实数n的值并写出的表达式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数t的范围； （3）若方程恰有4个互异的实数根，求实数a的范围. 【答案】（1），（2）（3） 【解析】（1）首先求得指数函数的解析式，再根据定义在上的奇函数，得到，由此求得的值并求得的表达式. （2）根据的单调性和奇偶性化简不等式，得到，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围. （3）根据函数为奇函数化简，根据是单调函数得到，利用换元法，构造函数，结合图像求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可设个，又过点得，   所以，又为奇函数，∴得 所以   （2）由，在上单调递减， 又为奇函数，由得 所以，即   令，由题意得， （3）由于为奇函数，所以由得，又在上递减， 显然，∴令，则   方程有4个互异实数根，画出的图象如下图所示，由图可得. 【点睛】本小题主要考查指数函数解析式的求法，考查根据函数的奇偶性求解析式，考查利用奇偶性和单调性解不等式，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 3．（22-23高一安徽合肥阶段练习）已知函数，函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围； (3)定义在I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数，其中M称为函数在I的上界．讨论函数在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）判定为上单调递增的奇函数，解不等式即可； （2）由题意可得和的值域需要存在交集，分类讨论a的范围求的值域即可； （3）化简得，分类讨论的取值范围，再由定义计算即可. 【详解】（1）因为，则，解得， 而，所以为奇函数， 且时递减，可得在递减，且的值域为， 不等式，即为，则， 即，即为，解得， 则原不等式的解集为． （2）函数， 若存在，使得成立， 当的值域为， 当时，在递减，可得的值域为， 由题意可得和的值域需要存在交集，即有，即； 若，则在递增，可得的值域为， 可得和的值域不存在交集，故不符合题意． 综上可得a的范围是． （3）， （ⅰ）当， 则在上单调递减， ∴， ①若，即时，存在上界， ②若，即时，存在上界； （ⅱ）当时， ①若时，在上单调递增，，存在上界； ②若时，在上单调递增，，故不存在上界； ③若时，在上单调递增，在上单调递增，，故不存在上界； ④若，在上单调递增，，故不存在上界； ⑤若在上单调递增，，而，故存在上界． 综上所述，当时，存在上界， 当时，不存在上界， 当时，存在上界， 当时，存在上界， 当时，存在上界． 【点睛】关键点睛：本题第一问解题关键在于确定的单调性与奇偶性，再利用性质解不等式；第二问关键在于将双变量的能成立问题转化为两个函数值域有交集，讨论计算的值域即可；第三问关键在于分类讨论的正负来确定在上的单调性，再比较两端的最值绝对值大小，讨论比较详细，容易遗漏而错，题目较难. 题型06 反比例复合对数型 1．（2021安徽安庆九一六中学）已知函数（且）. （1）求函数的定义域，并求出当时，常数的值； （2）在（1）的条件下，判断函数在的单调性，并用单调性定义证明； （3）设，若方程有实根，求的取值范围. 【答案】（1）定义域为或，（2）在的单调递增，见解析（3） 【分析】（1）解不等式得出该函数的定义域，由结合对数的运算性质得出； （2）利用定义以及不等式的性质证明单调性即可； （3）将方程转化为二次函数，通过讨论对称轴的位置，求出的取值范围. 【详解】解：（1）由且 知 ∴或 ∴定义域为或 由得 ∴ ∵ ∴ （2）由（1），判断在的单调递增 证明：设，则 ∴，即 ∴ ∴在的单调递增. （3）函数的定义域为，函数的定义域为， ∵有实根，在有实根 在有实根 化简整理得，方程在上有解 设  对称轴. ①即且 ∵且在为增函数，所以方程在无解. ②，即 则，即，解得 综上. 【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，利用定义证明单调性以及由方程有解求参数范围，属于较难题. 2．（23-24高一上·安徽宿州泗县·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)恒成立，理由见解析 【分析】（1）先求出的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为，由此得解； （2）将问题转化为和在上的值域的交集不为空集；分类讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解； （3）将问题转化为判断，再利用的单调性即可得解. 【详解】（1）因为， 由，可得，即的定义域为； 又，所以为奇函数， 当时，易得单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 不等式，可化为， 所以，即， 即，即，解得， 则原不等式的解为； （2）函数， 若存在，使得成立， 则和在上的值域的交集不为空集； 由（1）可知：时，单调递减， 所以的值域为； 若，则在上单调递减， 所以的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在上单调递增， 可得的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意； 综上，实数的范围是； （3）恒成立，理由如下： 因为， 所以 ， 因为在区间单调递减， 所以当时，，所以， 即，即， 所以，即. 【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内. 3．（23-24高一上安徽阜阳期末）已知函数，且. (1)解不等式； (2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出的定义域，然后根据求解出的值，结合对数函数的单调性求解出不等式的解集； （2）通过换元法令将变形为函数，然后将问题转化为“为时的值域的子集”，最后通过分类讨论求解出的取值范围. 【详解】（1）由条件可知，， 解得，故函数的定义域为， 由，可知，得到，即， 解不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）由（1）可知， 设，则当时，， 因为对勾函数时为增函数， 故， 则， 设，由题意知为时的值域的子集， 当，即时，在上单调递增， 故，解得； 当，即时，在上的最大值为中的较大者， 令，与矛盾， 令，与矛盾， 故此时； 当，即时，在上单调递减，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 专题07指对超越型 1．（21-22高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若方程有解，求实数的取值范围； (3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，-1 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数运算，可求得答案； （2）根据（1）的结果，写出函数的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得实数的取值范围； （3）整理化简，采用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解,讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，可求得最值,判断是否存在问题. 【详解】（1）函数是偶函数， ，即, ,即， . （2）由（1）可知： ， 方程有解，即有解， 即有解，而，当且仅当时取等号， 故， 实数a的取值范围是 （3）假设存在满足条件的实数m， 由题意，可得 令，则， 令， 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时， ，解得； 当，即时     ，解得（舍去）； 当，即时， ，解得（舍去）. 综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为-1. 2．（20-21高一安徽部分高中示范高中）已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数；（2） 【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可； （2）易知是定义域内的减函数，由，可知且，进而可将原问题转化为不等式在有解，求取值范围，由，令，可得在上有解，进而分离参数得在有解，求出的取值范围，进而可得到的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴，解得， ∴的定义域为，其定义域关于原点对称， 又， ∴， 故为定义域内的奇函数. （2）∵函数都是上的减函数， ∴是定义域内的减函数， ∵，且为定义在的奇函数， ∴且， ∴原问题等价于不等式在有解，求取值范围. 而， 令，，则， 令，可知，则， 构造函数，， 根据对数函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增， 由，可得，所以， 所以在上有解， 注意到当时，，因此在有解. 取，则，，从而. 因此在上有解. 根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增， 所以， 所以，即. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3．（24-25高一上·安徽淮北阶段练习）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)若关于的方程有两根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，从而求得的值. （2）利用换元法化简的解析式，根据最小值列不等式来求得的值. （3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知的定义域为R， ， 整理得， 而 ， ∴； （2）， ∴， 依题意，函数的最小值为， 令，，当且仅当时等号成立.， 故的最小值为﹣3， 则，或，解得； （3）由， 函数在区间上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 故当时，函数单调递增， 由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为， 令，有， 方程①， 可化为， 整理为②， ， （ⅰ）当时，或， 时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； （ⅱ）当时，可得或， 令， 则有一正一负两根，, 或. 综上所述或或. 【点睛】易错点睛：奇偶性判断的准确性：在判断函数的奇偶性时，需要明确函数形式在和的相等关系. 若判断不准确，后续的推导过程会出现偏差. 最小值条件的应用：在应用最小值条件求解参数时，需要注意不等式的建立和换元过程，容易因为漏掉某些条件而导致错误. 分类讨论的完整性：对于方程根的讨论，确保分类情况的完整性是关键，否则会遗漏部分解，导致最终结果不正确. 专题08 不等式型 1．（2021高一上安徽合肥 庐江县阶段练习）已知均为正实数，且满足证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意得到，，，三式相加即可证明； （2）由题意得到，，，结合，，即可证明结论． 【详解】（1）均为正实数，则当且仅当时取“”， 同理可得：，当且仅当，时等号成立， 故当且仅当时取“”， 又， 故. （2） 当且仅当时取“”， 同理当且仅当时取“”， 当且仅当时取“”． 又由， 可知． 当且仅当时取“”． 所以， 故． 当且仅当时取“”． 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，其中第二问中的配凑是解决问题的关键，属困难题. 2．（19-20高二上·安徽芜湖·开学考试）已知 （1）当不等式的解集为时，求实数a，b的值； （2）若对任意实数a，恒成立，求实数b的取值范围 （3）设b为常数，解关于a的不等式 【答案】（1）或 ，（2）（3）见解析 【分析】（1）将不等式转化为对应方程，利用韦达定理得到答案. （2）讨论和两种情况，综合判别式得到答案. （3）将不等式因式分解，得到，讨论的范围得到答案. 【详解】（1） 解集为 两根为 根据韦达定理：； （2）对任意实数a，恒成立 即 当时，验证知成立 当时， 综上得： （3） 即 当时： 当时：1、，解为或            2、，解为            3、，解为或 当时：解为 综上所述：当时：解为           当时：解为           当时，解为           当时，解为           当时，解为 【点睛】本题考查了二次不等式的解，解不等式，恒成立问题，其中将不等式因式分解是解题的关键，意在考查学生对于函数，不等式，方程关系性质的灵活运用. 3．（24-25高一上·安徽池州·阶段练习）已知方程． (1)若对任意实数m，方程恒有两个不相等的实数解，求实数n的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数解，且．求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根的判别式大于0得到，求出，从而得到； （2）由韦达定理得到，代入中得到，结合立方和公式化简得到，令，由单调性得到，结合基本不等式求出的最小值，得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 故，所以， 其中，当且仅当时，等号成立， 故，所以的取值范围为； （2）有两个不相等的实数解， ， 由韦达定理得， 故，所以，此时， 所以 ，因为， 所以， 令，其在上单调递增，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】关键点点睛：变形得到，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值. 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数综合压轴大题归类 经典基础题 题型1 集合与简易逻辑型 1．（2024·安徽黄山屯溪一中）设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 2．（22-23安徽芜湖无为中学·期中）已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知为正整数，集合 对于 中任意两个元素 和 定义： (1)当 时，设 ，写出 并计算； (2)若集合满足 且 求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明； (3)若， ，任取，证明：   题型2对构型 1．（2021高一上·安徽六安·期中）已知函数具有以下性质：在上是减函数，在上是增函数. （1）若在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若，，求的值域和单调区间. 3．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 3．（22-23高一安徽颍上县耿棚中学·期末）已知函数（，且），对，． (1)求a的值； (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型3 双曲型 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知定义在R上的函数，． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若对，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数，实数a、b、c满足，，求c的最小值． （参考公式：如果a、b、c是正实数，那么，当且仅当时，等号成立．） 2．（24-25高二上·安徽·开学考试）设函数，． (1)判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； (2)求证：； (3)若在区间上的最小值为，求的值． 3．（2023高一上·安徽六安舒城）设函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围； （3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型4 一元二次型 1．（24-25高一上·安徽省名校联盟·阶段练习）已知，函数． (1)当时，函数的图象与x轴交于，两点，求； (2)求关于x的不等式的解集． 2．（24-25高一上·安徽合肥一六八中学·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·安徽舒城中学阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 题型5 反比例型函数 1．（22-23高三上·安徽滁州·阶段练习）设（a为实常数），与的图像关于y轴对称. (1)若函数为奇函数，求a的取值； (2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围； (3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明. 2．（23-24高一安徽池州贵池区阶段练习）已知函数． (1)解不等式； (2)若，满足，且，求证：． 3．（24-25高一上·安徽淮北阶段练习）给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 优选提升题 题型01 倍增函数型 1．（24-25高一上·安徽六安·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. (1)证明：函数在定义域里存在“完美区间”； (2)如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； (3)是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．（21-22高一上·安徽黄山）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：① 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，；则称[m，n]是该函数的“美好区间”. (1)判断函数是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不存在，请说明理由； (2)已知函数有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出的最大值. 3．（23-24高一上安徽阜阳）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有. (1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”； (2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围； (3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”. 题型02抽象函数型 1．（19-20高一上·安徽黄山·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； (4)求证：． 2．（21-22高一上·安徽安庆桐城中学）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围． 3．（22-23高一上安徽池州）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 题型03 分数型 1．（20-21安徽淮北市树人高中阶段练习）已知函数，. （1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围. （2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围. 2．（2021高一安徽合肥一中、六中联考期末）设，已知函数. （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设，若实数满足，证明：. 3．（24-25高一安徽安庆·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值 (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型04 指数函数型 1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”. (1)已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由； (2)若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值. 3．（22-23高一上·安徽六安一中阶段练习）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设． （1）求的值； （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围 题型05 反比例复合指数型 1．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数，其中是奇函数. (1)求a的值； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围. 2．（2021高一上安徽合肥八中期末）已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点. （1）求实数n的值并写出的表达式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数t的范围； （3）若方程恰有4个互异的实数根，求实数a的范围. 3．（22-23高一安徽合肥阶段练习）已知函数，函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围； (3)定义在I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数，其中M称为函数在I的上界．讨论函数在上是否存在上界？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型06 反比例复合对数型 1．（2021安徽安庆九一六中学）已知函数（且）. （1）求函数的定义域，并求出当时，常数的值； （2）在（1）的条件下，判断函数在的单调性，并用单调性定义证明； （3）设，若方程有实根，求的取值范围. 2．（23-24高一上·安徽宿州泗县·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由. 3．（23-24高一上安徽阜阳期末）已知函数，且. (1)解不等式； (2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 专题07指对超越型 1．（21-22高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若方程有解，求实数的取值范围； (3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 2．（20-21高一安徽部分高中示范高中）已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·安徽淮北阶段练习）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值； (3)若关于的方程有两根，求实数的取值范围． 专题08 不等式型 1．（2021高一上安徽合肥 庐江县阶段练习）已知均为正实数，且满足证明： (1)； (2)． 2．（19-20高二上·安徽芜湖·开学考试）已知 （1）当不等式的解集为时，求实数a，b的值； （2）若对任意实数a，恒成立，求实数b的取值范围 （3）设b为常数，解关于a的不等式 3．（24-25高一上·安徽池州·阶段练习）已知方程． (1)若对任意实数m，方程恒有两个不相等的实数解，求实数n的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数解，且．求的最小值． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$