专题06 函数应用（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题06 函数应用 求函数的零点和零点个数 1．（23-24高一上·四川达州·期末）“”是“函数只有一个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·四川广元·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（21-22高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 5．（23-24高二下·四川达州·期末）（多选）若函数的图像关于直线对称，则的零点可以是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·重庆北碚·期末）函数的零点的乘积为 . 7．（22-23高一下·四川广安·期末）函数的零点为 ． 8．（21-22高三上·四川遂宁·期末）函数的零点为 . 求零点所在区间 9．（23-24高一上·四川德阳·期末）方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川凉山·期末）方程的实数根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川南充·期末）函数的零点所在的一个区间为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ） 0 1 2 3 1.40 6.07 18.77 0.67 7.67 26.67 A． B． C． D． 13．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·四川成都·期末）函数的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二下·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（22-23高一上·四川眉山·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高一上·四川广安·期末）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数零点所在大致区间是（    ） A． B． C． D． 二分法及应用 19．（23-24高一上·四川成都·期末）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 20．（20-21高一上·四川成都·期末）下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ） A．B．C．D． 21．（23-24高一上·四川资阳·期末）已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示： 则方程的近似解可取为（精确度） A． B． C． D． 22．（21-22高一上·四川南充·阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21高一上·四川成都·阶段练习）下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 24．（22-23高一上·四川成都·期末）用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为 次． 25．（20-21高一上·四川绵阳·期中）给出下列命题： ①函数与互为反函数，其图象关于直线对称； ②已知函数，则； ③当且时，函数的图象必过定点（2，－2）； ④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1； ⑤函数的零点有2个． 其中所有正确命题的序号是 ． 已知函数零点求参数范围 26．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三上·四川·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（21-22高二下·四川成都·期末）已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（21-22高一上·四川广安·期末）设函数，若关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（21-22高一上·四川雅安·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（20-21高一上·四川资阳·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一上·四川宜宾·期末）若函数恰有四个零点，则的取值范围是 . 33．（20-21高一上·四川南充·期末）若函数（且）有两个不同零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·四川乐山·期末）已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 35．（22-23高一上·四川成都·期末）（多选）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ） A． B． C．1 D．0 36．（21-22高一下·四川巴中·期末）已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 37．（23-24高二下·四川雅安·期末）已知有四个零点，则m的取值范围 . 已知函数零点个数求范围问题 38．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（20-21高一上·四川泸州·期末）已知函数，（，且），若在上至少有5个不相同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（21-22高一上·四川成都·期中）函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 41．（21-22高一上·四川达州·期末）已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·四川宜宾·期末）（多选）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．对于，， C．若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为 D．函数有6个不同的零点 43．（23-24高一上·四川南充·期末）（多选）已知函数，若方程有四个不等的实根，，，且，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．取值范围为 44．（22-23高一上·四川眉山·期末）（多选）已知函数，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若函数有两个零点，则 45．（22-23高一上·四川眉山·期末）（多选）已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．的最大值为1 46．（22-23高一上·四川南充·期末）（多选）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A．实数的取值范围为 B．的最大值为 C． D．取值范围为 47．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 48．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 49．（19-20高一上·四川内江·期末）函数，若方程恰有3个不同的实数解，记为，，，则的取值范围是 . 函数实际应用题 50．（23-24高一上·四川绵阳·期末）火箭必须达到第一宇宙速度，才可以绕地球轨道飞行．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：）和火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（e为自然对数的底）．当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（，结果精确到0.1）．（    ） A．48.5 B．51.2 C．53.8 D．58.4 51．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 52．（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？ (2)根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 53．（23-24高一上·四川泸州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 54．（23-24高一上·四川凉山·期末）2023年7月到8月，世界大学生运动会在四川成都举行，四川某文创公司制作了一款大熊猫主题纪念品即将投放市场，根据市场调研情况，预计每个纪念品的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表． 上市时间x（单位：天） 1 5 9 市场价y（单位：元） 35 11 19 (1)根据上表数据从下列函数中选取一个恰当的函数，描述该大熊猫主题纪念品的市场价y与上市时间x的变化关系，并说明理由； ①（且）； ②（）； ③（且）． (2)利用你选取的函数，求该大熊猫主题纪念品的市场价最低时的上市天数及最低的价格． 55．（23-24高一上·四川内江·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14 12 10.8 10.38 (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 56．（23-24高一上·四川绵阳·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）． (1)求单株利润关于施用肥料的关系式； (2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 嵌套式函数零点问题 57．（21-22高一上·四川资阳·期末）已知函数 若函数（其中）有6个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（21-22高一上·四川凉山·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 59．（20-21高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高一上·四川凉山·期末）设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 61．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 62．（22-23高二下·四川成都·期末）已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是 ． 63．（22-23高一上·四川·期末）已知函数，若恰有两个整数解，则实数的取值范围是 64．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最小值是 ． 65．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知函数若关于的方程有5个互不相同的实数根，则实数的取值范围为 . 函数的综合应用 66．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 67．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（23-24高一下·四川成都·期末）（多选）已知函数在区间上有且仅有个最小值点，下列结论正确的有（   ） A． B．在上最少个零点，最多 个零点 C．在上有个最大值点 D．在上单调递减 69．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 70．（23-24高一上·四川凉山·期末）（多选）已知函数，存在两个不同的实数a，b满足（），则（    ） A．是偶函数 B．的取值范围为 C． D． 71．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点 72．（23-24高一上·四川凉山·期末）（多选）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A．的图象的一条对称轴是直线 B．的图象的一条对称轴是直线 C．方程有3个解 D． 73．（21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，若函数有三个零点，则 C．若函数恰有2个零点，则 D．若存在实数m使得函数有3个零点，则 74．（22-23高一上·四川遂宁·期末）（多选）是定义在R上的函数，，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（  ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．的值域为 D．的实数根个数为6 75．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知 (1)当是奇函数时，解决以下两个问题： ①求k的值； ②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围； (2)当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点． 76．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数，记． (1)求函数的定义域； (2)是否存在实数，使得当时，的值域为?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由． 函数新定义题 77．（22-23高一上·四川成都·期末）（多选）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，设，，，则．下列关于函数的描述正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形； B．的图象是中心对称图形； C．方程无实数解； D．函数的值域为． 78．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 79．（23-24高一上·四川宜宾·期末）对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点． (1)判断函数是否为不动点函数，并说明理由； (2)若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 80．（21-22高一上·四川遂宁·期末）设（为实常数），与的图像关于原点对称. (1)若函数为奇函数，求值； (2)当，若关于x的方程有两个不等实根，求的范围； (3)当，求方程的实数根的个数，并加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数应用 求函数的零点和零点个数 1．（23-24高一上·四川达州·期中）“”是“函数只有一个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】在时，求函数的零点，判断充分性，由函数只有一个零点求，判断必要性，由此可得结论. 【详解】当时，函数只有一个零点； 当时，函数只有一个零点1； 若函数只有一个零点，则或． 所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件． 故选：C. 2．（23-24高一上·四川广元·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】画出函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象，通过判断两个函数图象的交点个数可得函数的零点的个数. 【详解】函数＝lgx﹣sinx的零点的个数， 即函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数， 如图所示： 显然，函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数为3， 所以，函数＝lgx﹣sinx的零点的个数为3,. 故选B． 【点睛】本题主要考查函数图象交点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题． 3．（21-22高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】函数的零点个数，即为的方程根，也就是函数和的图象交点个数，分别画出函数图象可得答案． 【详解】函数的零点个数，即为的方程根，化简可得，分别画出函数和的图象，如图所示： 由图可知，函数和有两个交点，所以函数有两个零点， 故选：B 4．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【答案】D 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 5．（23-24高二下·四川达州·期中）若函数的图像关于直线对称，则的零点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的对称性，求出的取值，由的解析式判断零点. 【详解】函数的图像关于直线对称， 则有，解得， ， ， 令，有，即的零点为. 故选：AC. 6．（22-23高一上·重庆北碚·期末）函数的零点的乘积为 . 【答案】 【分析】结合根与系数关系求得正确答案. 【详解】由于，所以有两个不相等的零点，设为， 由根与系数关系得. 故答案为： 7．（22-23高一下·四川广安·期末）函数的零点为 ． 【答案】 【分析】解方程，求出答案. 【详解】令，故，解得， 故的零点为2. 故答案为：2 8．（21-22高三上·四川遂宁·期末）函数的零点为 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出方程的根即可. 【详解】函数的定义域为 (-1，+∞)，则由，即，解得， 所以函数的零点为1. 故答案为：1 求零点所在区间 9．（23-24高一上·四川德阳·期末）方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据零点存在定理即可判定. 【详解】令，当时，，所以， 当时，易知严格增， 又，， 根据零点存在定理得方程的解所在的区间为， 故选：B. 10．（23-24高一上·四川凉山·期末）方程的实数根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨当时，函数取值情况，再借助零点存在性定理判断即得. 【详解】令函数， 当时，， 因此函数在上不存在零点，而， 由零点存在性定理，得函数在上有零点， 当时，，函数在上递减， 于是，则当时，，即函数在上无零点， 从而函数的零点只能在上，所以方程的实数根所在的区间是. 故选：D 11．（23-24高一上·四川南充·期末）函数的零点所在的一个区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间. 【详解】由解析式知在上单调递增， 又，，， 所以零点所在的一个区间为. 故选：C 12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ） 0 1 2 3 1.40 6.07 18.77 0.67 7.67 26.67 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，转化为函数零点的问题，根据函数零点存在定理求解即可. 【详解】令， 由均为上连续不断的曲线，得为在上连续不断的曲线， ，， ，， ， 显然，则函数有零点的区间为， 所以方程有实数解的区间是. 故选：C 13．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案. 【详解】在上单调递增， ， ，所以零点所在大致区间为. 故选：D 14．（23-24高一上·四川成都·期末）函数的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点的存在性定理判断零点所在区间. 【详解】因为为单调递增函数， 满足， 由零点的存在性定理可知，，使得. 故选：C. 15．（22-23高二下·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先对函数化简得，然后分和两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可. 【详解】， ①当时，，则， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以在上的最小值为， 因为， ， 所以在和上各有一个零点， ②当时，，则， 所以在上递增， 因为，， 所以在上有一个零点， 综上，共有3个零点， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 16．（22-23高一上·四川眉山·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理可得出结论. 【详解】函数在上单调递增， 因为，，，则， 所以函数的零点所在区间是， 故选：. 17．（22-23高一上·四川广安·期末）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数单调性，再利用零点存在定理确定零点所在的一个区间. 【详解】明显函数为上的单调递增函数，且为连续函数， 又，， 由零点存在定理可得函数的零点所在的一个区间是. 故选：A. 18．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数零点所在大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合函数单调性，分析判断即可得到结论． 【详解】∵函数在上为增函数， 函数在上为增函数， ∴函数在上为增函数， 又∵， ， ∴零点所在大致区间为， 故选：C． 二分法及应用 19．（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断. 【详解】显然函数在上是连续不断的曲线， 由于，所以， 由零点存在性定理可得：的零点所在区间为， 所以方程在区间内一定有根. 故选：C. 20．（20-21高一上·四川成都·期末）下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二分法求函数零点近似值的特点，即先观察图像有零点，再根据零点左右两侧函数值符号不同，依次分析选项，可得到答案. 【详解】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反， 即图像穿过轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知， A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值； B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值； C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值； D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值. 故选:A 21．（16-17高一上·四川资阳·期末）已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示： 则方程的近似解可取为（精确度） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】【解析】由表知函数零点在区间 ,所以近似解可取为,选B. 22．（21-22高一上·四川南充·阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法求函数零点的条件，结合即可判断和选择. 【详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个； 又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是. 故选：B. 23．（20-21高一上·四川成都·阶段练习）下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】根据二分法求函数零点的前题条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过轴，并且在零点附近函数图象连续不间断，分析选项可得出结果. 【详解】由题意可知，若能利用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过轴，且该函数在零点附近的函数图象连续， 因此，②④中的函数能用二分法求零点，①③中的函数不能用二分法求零点. 故选：C. 24．（22-23高一上·四川成都·期末）用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为 次． 【答案】7 【分析】二分法的特点：每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后区间长度为，从而列出不等式，求出，得到答案. 【详解】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度为， 因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为0.01， 所以，解得：，所以所需二分区间次数最少为7次. 故答案为：7 25．（20-21高一上·四川绵阳·期中）给出下列命题： ①函数与互为反函数，其图象关于直线对称； ②已知函数，则； ③当且时，函数的图象必过定点（2，－2）； ④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1； ⑤函数的零点有2个． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】由反函数的概念可判断①，代入运算可判断②，由指数函数的性质可判断③，由二分法的概念可判断④，由零点存在性定理可判断⑤. 【详解】对于①，由反函数的定义可得函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故①正确； 对于②，由可得，故②错误； 对于③，因为，所以函数的图象必过定点， 故③正确； 对于④，用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1，故④错误； 对于⑤，由，，所以函数在上存在零点， 且，，所以2，4也是函数的零点，故⑤错误. 故答案为：①③. 已知函数零点求参数范围 26．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 27．（23-24高三上·四川·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件及函数性质，作出的大致图象，利用图象即可求出结果. 【详解】依题意作出的大致图象，如图所示，    令，得， 当时，， 又时，，易知在区间上单调递增， 又，所以时，，又为奇函数， 所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点， 故选：D. 28．（21-22高二下·四川成都·期末）已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，令可求得一个零点，则当时，采用分离变量法可知与有且仅有一个交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】当时，由得：，此时函数有一个零点； 当时，有且仅有一个零点， 即在上有唯一解， 即与有且仅有一个交点， 由二次函数图象可得图象如下图所示， 由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点， 实数的取值范围为. 故选：D. 29．（21-22高一上·四川广安·期末）设函数，若关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式画出在区间上的图象，关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，就是函数与函数恰有5个不同的交点，由图象可列关于的不等式，即可求出答案. 【详解】函数在区间上的图象如下图所示： 关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，即恰有五个不同的根，即函数与函数恰有5个不同的交点，由下面图象可得 . 故选：D. 30．（21-22高一上·四川雅安·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解. 【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点， 由可知，当时，函数是周期为1的函数， 如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象， 数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点， 故函数有两个不同的零点. 故选：A. 31．（20-21高一上·四川资阳·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别解方程、，作出函数和的图象，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】解方程，得；解方程，得或， 作出函数的图象如下图中的实线部分所示： 由于函数有两个零点，则或. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 32．（22-23高一上·四川宜宾·期末）若函数恰有四个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，函数在、上各有两个零点，利用数形结合思想以及方程思想可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上最多有个零点， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，函数在上至多有两个零点， 因为函数恰有四个零点， 所以，函数在上有两个零点，则，解得； 函数在上有两个零点，由可得， 作出函数、在上的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 综上所述，. 故答案为：. 33．（20-21高一上·四川南充·期末）若函数（且）有两个不同零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论，根据函数单调性，判定不满足题意；再讨论，结合图形，即可判定出结果. 【详解】当时，在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意； 当时，根据函数有两个不同零点，可得方程有两个不等实根， 即函数与直线有两不同零点，指数函数恒过点；直线过点，作出函数与的大致图象如下：    因为，所以点在的上方，因此时，与必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意； 综上. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 34．（19-20高一上·四川乐山·期末）已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解. 【详解】函数， 当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点； 当时，，有且仅有一个零点符合题意； 当时，，一定有且仅有一个根， 所以，必有在无解，下面进行讨论： 当时，满足题意，即， 当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去， 当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去， 综上所述：或. 故选：B 【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围. 35．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】ABC 【分析】作出的图象，由题意可得函数与函数有两个交点，然后结合图象可得答案. 【详解】作出函数图象如下： 函数有两个零点， 即方程有两个实数根，即， 即函数与函数有两个交点， 由函数图像可得或， 故选：ABC． 36．（21-22高一下·四川巴中·期末）已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决. 【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标， 当时，是增函数，函数的值域为， 当时，是减函数，当时，，， 当时，是增函数，当时，， 在坐标平面内作出函数的图象，如图，    观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 37．（19-20高二下·四川雅安·期末）已知有四个零点，则m的取值范围 . 【答案】 【解析】根据有四个零点，转化为函数有四个交点，在同一坐标系中作函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为有四个零点， 所以有四个零点， 在同一坐标系中作函数的图象如图所示： 由图象知：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 已知函数零点个数求范围问题 38．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的实根，，，，满足， 则， 即：，所以， ，所以，根据二次函数的对称性可得：， ， 考虑函数单调递增， ， 所以时的取值范围为. 故选：A 【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围. 39．（20-21高一上·四川泸州·期末）已知函数，（，且），若在上至少有5个不相同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将问题转化为“的图象在上至少有个交点”，由此作出的图象，根据交点数分析出的取值范围. 【详解】由题意可知：的图象在上至少有个交点； 因为时，，所以， 所以为周期函数且一个周期为， 当时，图象如下图所示： 由图象可知：的图象没有交点，故不符合题意； 当时，图象如下图所示： 因为的图象至少有个交点，所以由图象可得：即可， 所以，所以，即， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解函数零点个数的问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 40．（21-22高一上·四川成都·期中）函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出函数图象，再求出，再结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的图象如下图所示： 若，且互不相等， 不妨设， 则，即， 所以， 又，， 所以， 又由变形得，解得， 所以， 故选：C. 41．（21-22高一上·四川达州·期末）已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，根据图象求得及的范围求解. 【详解】函数即为，其图象如图所示： 因为方程有四个不相等的实数根，且， 由图象知：，且， 则， 所以， 因为在上递增， 所以 故选：C 42．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．对于，， C．若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为 D．函数有6个不同的零点 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，根据函数单调性和对称性以及零点分布情况一一代入选项分析即可. 【详解】作出函数图象如下图所示： 对A，当时，， 时，， 当，时，， ，故A正确； 对B，取，，则，故B错误； 对C，根据函数图象可知当时，有四个不同的实根， ，由得， 由得，则， 则，故C正确； 对D，令，则，令，则， 当时，则，解得或， 当时，，解得， 观察图象知，当或时，直线与函数图象各有一个交点， 当时，直线与函数图象有四个交点， 则函数有6个不同的零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是利用函数的局部对称性得到，再根据分段函数关系式得到，最后减少变量即可判断整体和的范围. 43．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数，若方程有四个不等的实根，，，且，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得，且，结合对数函数、正弦型函数性质可得、，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误. 【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下， 由上图，要使方程有四个不等的实根，，，且， 则，且，， 由，则，A、B对； 所以，又，即等号取不到， 又, 所以，C错； 由图知：在区间、上单调性相同，且， 所以随变化同增减，故取值范围为，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定，且为关键. 44．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若函数有两个零点，则 【答案】AD 【分析】根据分段函数性质及指数函数，对数函数性质分别判断各个选项即可. 【详解】,故A正确； 若,则或,解得或,故B错误； 若，则或,则或,故C错误； 若函数有两个零点, 则当时，,则函数必有1个零点,当, ,也有1个零点，则，故D正确 故选:AD. 45．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．的最大值为1 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，数形结合，可判断A,B,C；结合基本不等式可判断D. 【详解】由函数解析式作出函数图象，如图， 由题意结合图象可知，且，故C正确； 则，，则， 当且仅当时等号成立， 但，故等号取不到，即，D错误； 由于存在，使得， 结合图象可知，A错误； 当时，，直线与的图象只有两个交点， 此时不存在，使得，故B错误， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：诸如此类分段函数的综合性题目，由于解析式中的函数比较简单，故可作出函数图象，数形结合，比如结合图象的对称轴，图像的交点个数等来解决问题. 46．（22-23高一上·四川南充·期末）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A．实数的取值范围为 B．的最大值为 C． D．取值范围为 【答案】AC 【分析】作出函数的图象，利用和的图象有4个交点解出的范围判断A，根据是方程的两根判断B，根据是方程的两个根结合对数的运算性质判断C，利用及对勾函数的单调性判断D. 【详解】根据题意作出的图象如下： 由图象可知当时函数的图象与有4个交点， 即存在，使得， 且，，，，选项A正确； 因为是方程，即的两根， 所以根据韦达定理得，结合可得不存在最大值，B错误； 因为是方程的两个根，且，， 所以，即， 所以，解得，C正确； 由是方程的两根可得， 因为，，所以， 令，,由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 所以，D错误； 故选：AC 47．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数可计算规则可计算出时两个零点的乘积，根据韦达定理可以解出时两个零点的乘积，根据零点个数可确定m与a的关系，最后根据即可求出的取值范围. 【详解】不妨假设 时，； 当时，，因为有4个零点，所以，此时，，且根据韦达定理可知 ，故 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 48．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数可计算规则可计算出时两个零点的乘积，根据韦达定理可以解出时两个零点的乘积，根据零点个数可确定m与a的关系，最后根据即可求出的取值范围. 【详解】不妨假设 时，； 当时，，因为有4个零点，所以，此时，，且根据韦达定理可知 ，故 综上所述：的取值范围为 故答案为： 49．（19-20高一上·四川内江·期末）函数，若方程恰有3个不同的实数解，记为，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图像，要使方程恰有3个不同的实数解，利用图像可得，设，根据函数的对称性即可求解. 【详解】作出函数的图像，如图： 根据题意以及图像可知，要使方程恰有3个不同的实数解， 则，不妨设，根据对称性可知 ，而，则， 则 ， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查了根据零点个数求出零点范围以及正弦函数的图像与性质，考查了数形结合的思想，属于中档题. 函数实际应用题 50．（23-24高一上·四川绵阳·期末）火箭必须达到第一宇宙速度，才可以绕地球轨道飞行．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：）和火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足（e为自然对数的底）．当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（，结果精确到0.1）．（    ） A．48.5 B．51.2 C．53.8 D．58.4 【答案】C 【分析】根据给定的关系模型，结合已知条件代入求即可. 【详解】由题设，则. 故选：C 51．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【答案】(1)模型①，模型② (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 52．（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？ (2)根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 【答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可； （2）由，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增， 且对任意恒有且. ①对于函数在上单调递增， 当时，不符合要求； ②对于函数在上单调递减，不符合要求； ③对于函数，在上单调递增， 且当时， ， 因为 而所以当时，恒成立， 因此为符合公司要求的函数模型. （2）由得， 所以, 所以公司的投资收益至少为万元. 53．（23-24高一上·四川泸州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为： x 2 3 6 9 12 15 y 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个． 【答案】(1),理由见解析； (2)81 【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合. （2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【详解】（1）最符合实际的函数模型为①， 根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足， 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. （2）可选取表格中的两组数据为：， 代入得， 则， 当时，， 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 54．（23-24高一上·四川凉山·期末）2023年7月到8月，世界大学生运动会在四川成都举行，四川某文创公司制作了一款大熊猫主题纪念品即将投放市场，根据市场调研情况，预计每个纪念品的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表． 上市时间x（单位：天） 1 5 9 市场价y（单位：元） 35 11 19 (1)根据上表数据从下列函数中选取一个恰当的函数，描述该大熊猫主题纪念品的市场价y与上市时间x的变化关系，并说明理由； ①（且）； ②（）； ③（且）． (2)利用你选取的函数，求该大熊猫主题纪念品的市场价最低时的上市天数及最低的价格． 【答案】(1)函数②； (2)上市6天，最低价为10元. 【分析】（1）根据所给的3个函数的单调性，结合表中数据所表示的变化特征进行选择即可. （2）根据表中数据代入所选函数的解析式，用待定系数法求出解析式，最后利用函数的单调性求出纪念品的市场价最低时的上市天数及最低的价格. 【详解】（1）通过表中数据所知纪念品的市场价与上市时间的变化先是递减而后递增， 而函数①（且）是单调递减的，不符合题意， 函数③（且）是单调函数，不符合题意， 函数②（）可以先递减，再递增，所以选择函数②. （2）由（1）知，选择的函数解析式为：，， 显然函数的图象经过点， 于是，解得，则有， 因此当时，函数取得最小值10， 所以该纪念品上市6天时的市场价最低，最低的价格10元. 55．（23-24高一上·四川内江·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 1 2 5 10 （万件） 14 12 10.8 10.38 (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2)当时函数取得最小值万元 【分析】（1）分别代入点，求出模型对应解析式，再结合点，判断拟合效果即可； （2）先根据题意得到，分别利用基本不等式和函数的单调性求最值即可. 【详解】（1）若选择函数模型①，代入点，得， 得，无解，故函数模型①不符合题意； 若选择函数模型②，代入点，得， 解得，此时， ，， 故点在函数上，点近似在函数上， 故拟合效果较好，符合题意， 故函数模型②最为适合，，， （2）由题意可知（单位：万元）， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 可判断此时函数单调递减，故当时取得最小值， 综上可知，当时函数取得最小值万元 56．（23-24高一上·四川绵阳·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）． (1)求单株利润关于施用肥料的关系式； (2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元 【分析】（1）根据已知可知，代入表达式，即可得出答案； （2）根据二次函数的性质，得出时的最大值；根据基本不等式得出时的最大值，比较即可得出答案. 【详解】（1）依题意可得， ， 所以，． （2）当时，， 根据二次函数的性质，可知在单调递减，单调递增， 且，， 所以； 当时，. 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，，. 所以，当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元． 嵌套式函数零点问题 57．（21-22高一上·四川资阳·期末）已知函数 若函数（其中）有6个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数图像，分析出二次函数零点的分布，列不等式组可得解. 【详解】函数的图像如下：    设，则 当，方程有一个根， 当，方程有两个根， 当，方程有三个根， 当，方程有四个根， 当，方程有三个根， 当，方程有两个根， 所以 若，为方程两根时，原函数有6个零点， 得方程组，无解； 若，为方程两根时，原函数有6个零点， 得不等式组，解得， 故选:D. 58．（21-22高一上·四川凉山·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由可得或， 由题意可知，关于的方程、共有五个根， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则. 故选：B. 59．（20-21高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的解析式作出函数的图象，然后利用换元法将关于的方程恰有3个不同的实数根，转化为有两个不同的实数根，且，，或，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：因为函数，作出函数图象如图所示， 因为关于的方程恰有3个不同的实数根， 所以令，根据图象可得，有两个不同的实数根，且，，，或，， 当，时，即，所以，所以，解得或，不符题意； 当，时，则，解得，则，解得或，符合题意； 当，时， 记，则有， 解得， 综上实数的取值范围为． 故选：． 【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数图象的作法、二次方程根的分布、方程的根与函数图象之间关系的应用，解题的关键是利用换元法将原方程进行转化，解决方程根的个数问题或是函数零点个数问题一般会选用数形结合的方法． 60．（23-24高一上·四川凉山·期末）设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 61．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先画出的图象，再令，将嵌套型方程的根转化为两简单方程与的总根，再转化为分别与与交点的横坐标，再数形结合求解． 【详解】画出的图象，如图， 令，要使的方程有5个不同的实根， 所以由图象可知关于的方程必须有2个不等实根，， 所以关于的两个简单方程与总共有5个不同实根， 即如图分别与与一共有5个交点，交点的横坐标即为根， 所以，或或， ①当时，代入方程，得，，，； ②当时，代入方程，得，，，； ③当，时，令， 则，即，解得， 综上，． 故选：AC． 62．（22-23高二下·四川成都·期末）已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知方程有两个根，则有3个根，然后作出分段函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】因为， 根据题意和函数图象可知， 有两个根，则有3个根， 的图象如图所示，    结合图象可知，要使方程有3个根，则有，所以. 故答案为：． 63．（22-23高一上·四川·期末）已知函数，若恰有两个整数解，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用根与系数的关系求出的范围，对分类讨论确定整数，代入即可求解. 【详解】因为函数 令，则不等式， 等价于方程． 如图是函数的图象， 若，则，， 根据图象可得只需满足：， 解得 若，无解 若，则，， 根据图象可得只需满足：，， 有 故答案为：． 64．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最小值是 ． 【答案】 【分析】数形结合，分讨论，根据韦达定理结合的图象找到满足恰有一个整数解时的取值范围，进而可求解. 【详解】作出的图象如图， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，或者， 若，则，若，则， 所以，则才能取到最小值， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最小值为， 故答案为: . 65．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知函数若关于的方程有5个互不相同的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出的图象，令，分析可知关于的方程在内有一根，在内有一根，或在内有一根，一根为2，或在内有一根，一根为1，根据一元二次方程根的分步可得关于的不等式组，解之即可. 【详解】函数的图象如图所示， 令，则方程有5个互不相同的实数根，可化为方程在内有一根，在内有一根，或在内有一根，一根为2，或在内有一根，一根为1， 当在内有一根，在内有一根时，，解得. 当有一根为2时，，此时方程的另一根为，不符合题意； 当有一根为1时，，此时方程的只有一根为，不符合题意； 故答案为：. 函数的综合应用 66．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理得到，得到，得到其单调性，从而得到值域. 【详解】由题意得，解得， 故， 由于与在上单调递增， 故在上单调递增， 故，， 故在上的值域为. 故选：B 67．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先画出函数的图象，并求两个分段函数的最值，根据数形结合分析，得出结果. 【详解】如图，当时，， 当时，有最小值，此时； 当时，单调递增， 若方程的实数解有3个，则与有3个不同的交点， 则,即. 故选：D. 68．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上有且仅有个最小值点，下列结论正确的有（   ） A． B．在上最少个零点，最多 个零点 C．在上有个最大值点 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】由的取值范围，求出的范围，根据在区间上有且仅有个最小值点，求出的范围，即可判断A；利用特殊值判断B、C，根据的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质判断D. 【详解】因为，当，则， 因为在区间上有且仅有个最小值点，设函数的最小正周期为， 则，即，则，所以， ，解得，故A正确； 当时，，因为的零点为， 所以此时在上有零点，故B错误； 当时，，因为在处取得最大值， 所以此时在上只有个最大值，故C错误； 因为，当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：AD 69．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 【答案】AC 【分析】对A，B，根据奇函数的性质可求解判断；对C，根据函数的单调性，以及零点的位置，确定或的解集，再求解不等式的解集；对D，转化为与的图象有4个不同交点，数形结合可求解. 【详解】对于A，当时，则， ，又， ，故A正确； 对于B，因为是定义在R上的奇函数，所以，， 解得，故B错误； 对于C，当时，在上单调递增，， 可得当时，，当时，，由奇函数图象的对称性， 当时，，当时，， 不等式，等价于或，解得. 故C正确； 对于D，题意转化为与的图象有4个不同交点，如下图， 由图可得，，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：D选项，关键是问题转化为与的图象有4个不同交点，数形结合求解. 70．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，存在两个不同的实数a，b满足（），则（    ） A．是偶函数 B．的取值范围为 C． D． 【答案】BCD 【分析】由偶函数的定义可判断A；由且，结合指数函数的单调性可判断B、C；借助基本不等式可判断D. 【详解】，故不是偶函数，故A错误； 由，即，即有或， 即或，又，故，故C正确； 由随增大而增大，故，故， 当时，， 当时，， 故的取值范围为，故B正确； 由，故， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 71．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点 【答案】ACD 【分析】对A：直接计算即可；对B：先求得或，再求值；对CD：先由求得，，再依次求的解. 【详解】对A：，，故A正确； 图1 对B：若，则或， 当时，或， 当时，由图1可知或，故B错误； 对C：若，由图1可知则或， 当时，由知只有一解， 当时，由图可知有两解， 故有3个零点，故C正确； 对D：若，，由图2知或或， 当时，只有一根， 当时，只有两根， 当时，只有两根， 所以共有5根，故D正确.          图2 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求解个数方法：先得，再进一步由分别求出的个数，所有x的个数总和为方程解个数. 72．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A．的图象的一条对称轴是直线 B．的图象的一条对称轴是直线 C．方程有3个解 D． 【答案】AC 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确. 由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误. 则，所以，即有， 所以是周期为的周期函数. 当时，， 画出、的大致图象如下图所示， 由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点， 则有3个解，C选项正确. ， ，所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC    【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，由关于点对称，可以考虑函数具有周期性. 73．（21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，若函数有三个零点，则 C．若函数恰有2个零点，则 D．若存在实数m使得函数有3个零点，则 【答案】ABD 【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出与的图象，得到要想有三个零点，则，进而得到，，求出的范围即可；C选项，求出当时，函数零点的个数，即可判断；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，从而求出的范围. 【详解】对于A，当时，， 当时，令，解得， 当时，令，解得或， 综上，当时，函数有3个零点，故A正确； 对于B，当时，， 令，则， 如图，画出与的图象如下： 要想有三个零点，则， 不妨设，则，， 故，则， 则，故B正确； 对于C，因为时，，或4时，， 当时，不存在零点，而有两个零点， 此时函数恰有2个零点， 则当时，函数也恰有2个零点，故C错误； 对于D，画出与的图象如下： 要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 74．（22-23高一上·四川遂宁·期末）是定义在R上的函数，，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（  ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．的值域为 D．的实数根个数为6 【答案】BC 【分析】利用可判断A;根据函数满足的性质推得和皆为的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D. 【详解】由题意可知当时，， 故，则， 即的图象不关于点对称，A错误； 将代入中的x可得，故4为函数的周期； 函数为偶函数，可得，则的图象关于直线对称，即有， 则，故的图象也关于直线对称， 由于4为函数的周期，故和皆为的图象的对称轴， 当时，，故B正确； 因为，所以由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为，C正确； 方程的根即与的图象的交点的横坐标， 因为当时，， 当时，，当时，， 所以与的图象共有7个交点， 即方程的实数根个数为7，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题. 75．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知 (1)当是奇函数时，解决以下两个问题： ①求k的值； ②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围； (2)当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点． 【答案】(1)①；②； (2)当或时，函数有零点. 【分析】（1）①根据函数的奇偶性列方程，由此求得；②化简已知不等式，利用换元法、分离常数法，结合对勾函数的知识求得的取值范围. （2）根据函数的奇偶性求得，转化，利用构造函数法，结合二次函数的知识进行分类讨论，从而求得的范围. 【详解】（1）①当是奇函数时，， ，解得. ②由得，则不等式， 可化为， 令，因为为增函数，所以也为增函数， ， ， ， 由对勾函数的性质知，当的最小值为， ，即实数m的取值范围为. （2）当是偶函数时，， ，解得， ， 所以，即， 令，则， 则函数有零点， 转化为关于t的方程在时有实数根， 即是在时有实数根， 令为开口向下的二次函数， 当方程在有两相等实数根时，函数在上有一个零点， ，即，解得或， 若时，的零点为，符合题意， 若， 此时的零点为，符合题意， 所以或. 当方程有—负—非负实数根时，函数在上有一个零点， 则，解得或， 若时，，此时的零点为或， 与有—负—非负实数根矛盾，所以或. 当方程有两不等非负实数根时，函数在上有两个零点， 所以，解得， 综上所述：n的取值范围为或， 所以当或时，函数有零点. 【点睛】方法点睛：1.根据函数的奇偶性求参数，关键是利用函数奇偶性的定义，由或列方程来求参数； 2.一元二次方程根的分布问题，可以考虑判别式、根与系数关系等知识来进行求解. 76．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数，记． (1)求函数的定义域； (2)是否存在实数，使得当时，的值域为?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据真数大于0，分别求和定义域，为这两个定义域的交集； （2）先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题. 【详解】（1）由题意知 要使有意义，则有 ，得， 所以函数的定义域为：. （2）， 假设存在这样的实数，则由 可知， ， 令，则在上递减，在上递减， ， 是方程，即有两个在上的实数解， 问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解， 令，则有 ， 解得，又，∴， 故这样的实数不存在. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用换元法将问题转化为关于的方程在上有两个不同的实数解，最后结合二次函数函数零点分布即可得到不等式，解出即可. 函数新定义题 77．（22-23高一上·四川成都·期末）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，设，，，则．下列关于函数的描述正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形； B．的图象是中心对称图形； C．方程无实数解； D．函数的值域为． 【答案】ACD 【分析】利用函数对称性的定义可以判断A；利用两点之间线段最短判断选项D；利用函数的值域进行判断选项BC. 【详解】 ， 对于A， ， ， ， 的对称轴为，故A正确； 对于D，由题知，， ，， 故函数的值域为，故D正确. 对于B，根据选项D，函数的值域为， 则的图像不可能是中心对称图形，故B错误； 根据选项D，对于C，设，方程 等价于，即 ，解得 或，， 当或时，不成立，即方程无解， 故C正确； 故选：ACD 78．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围；②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）①因为 ， 又，所以当时，当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且，，，，的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，，则， 所以，， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键. 79．（23-24高一上·四川宜宾·期末）对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点． (1)判断函数是否为不动点函数，并说明理由； (2)若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】(1)为不动点函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据“不动点”函数的概念，结合函数零点的存在性判定方法，判断函数是否为不动点函数. （2）利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的函数值的问题，结合函数的图象和单调性，判断解的个数. 【详解】（1）假设为不动点函数，则，使得， 令， 易知函数在定义域内为增函数， 且，， 根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在唯一的零点， 所以为不动点函数． （2）函数在区间上有且仅有两个不同的不动点， 所以方程在区间上有两个不同的解， 则， 令，因为在区间上单调递增，所以， 所以. 要使与在上有两个交点，则． 又函数在区间上有且仅有1个次不动点， 所以方程在区间上有唯一解， 则，， 令，在单调递增 要使，与在上有1个交点，则． 所以 经检验满足在区间上恒成立， 所以实数b的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第（1）问中，根据“不动点”函数的概念，问题转化为函数有零点的问题是关键，再利用零点的存在性定理进行判断； 第（2）问中，利用换元的思想，把问题转化为二次函数在给定的区间上一个函数值可以有两个和一个自变量与之对应的问题，是解决问题的关键. 80．（21-22高一上·四川遂宁·期末）设（为实常数），与的图像关于原点对称. (1)若函数为奇函数，求值； (2)当，若关于x的方程有两个不等实根，求的范围； (3)当，求方程的实数根的个数，并加以证明. 【答案】(1) (2) (3)有唯一实数根，证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质列方程即可求得的值； （2）把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （3）先构建一个新函数，再去判定函数的零点情况即可解决. 【详解】（1）设点为图象上任意一点，关于原点的对称点为， 由题意可知在上，则有，，故 由 为奇函数，则有 故，（经检验，时是奇函数） （2）时， 由可得，，即 令，则有两个不等正根 则有，，解之得， （3）令     由，可知， 则时，与均单调递增，故上单调递增， 又时，， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$