第01讲 等腰三角形（第1课时）（3大知识点+9大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第01讲 等腰三角形（第1课时） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握AAS证明三角形全等； 2．学会等腰三角形的性质及证明； 3.掌握等腰三角形中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质。 知识点1 知识回顾（七年级下册） 一、定 理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (AAS) 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E, ∴∠C=∠F. 又BC=EF,∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF(ASA). 七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”,“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它.因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用. 二、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 三、等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称 “三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. 3.等腰三角形的两个底角相等. 知识点 2 等边对等角、“三线合一” 定 理 等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角 ） 已知：如图1-1,在△ABC中 ，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅 助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. 证明：如图1-3,取BC的中点D, 连接AD. ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴ △ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 交流与讨论：你还有其他证明方法吗?与同伴交流. 想一想：在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论? 推 论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(也称 “三线合一”), 知识点 3 等腰三角形中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质 引入：在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗? 例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图1-4,在△ABC中 ，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD=CE. 证明：∵ AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB (等边对等角) . ∵BD,CE 分别平分∠ABC和∠ACB, ∴ ∠1=，∠2=. ∴ ∠1=∠2. 在 △BDC和△CEB 中 ， ∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2, ∴△BDC≌△CEB(ASA). ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等). 交流与讨论：等腰三角形两腰上的中线相等吗?高呢?还有其他的结论吗?请你证明它们，并与同伴交流. 议一议：如图1 - 5 , 在△ABC 中 ，AB=AC, 点 D,E边AC 和AB上 . ( 1 ) 如果少 事 那么BD=CE吗? 如果 2 呢?由此你能得到一个什么结论? 结论：在 △ABC 中 ，AB=AC，∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE ( 2 ) 如 果 事 , 那么 BD=CE吗 ? 如 果 事 呢?由此你能得到一个什么结论? 结论：在 △ABC 中 ，AB=AC，∠AD=AC,AE=AB,那么BD=CE 考点一：等腰三角形的定义 例1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系和等腰三角形的定义求解即可．三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【解析】解：解：∵一个三角形的两边长分别是2和4，设第三边长为， ∴， 即 又∵这个三角形是等腰三角形， ∴第三边的长可能是2和4， ∴第三边的长只可能是4， 故选：B． 【变式1-1】．等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ． 【答案】/55度 【分析】此题考查了是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解题的关键． 【解析】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的底角为， 故答案为：． 【变式1-2】．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论． 分是底边与腰长两种情况讨论求解． 【解析】解：当是底边时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 当是腰长时，此时三角形的三边分别为、、，能组成三角形，它的周长是； 故选：C． 【变式1-3】．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是熟知相关概念； 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于；要注意分情况讨论； 【解析】解：本题可分两种情况：①为顶角；②为底角，则顶角为：； 故选：D 考点二：等边对等角 例2．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．根据等腰三角形的性质可得到即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】．如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 由三角形的内角和得到，根据对顶角性质得到，从而，再由等边对等角即可解答． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式2-2】．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【解析】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2-3】．如图，在中，点D在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 考点三：根据等边对等角证明 例3．如图，，，连接交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角求得，再利用等角的余角相等即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【变式3-1】．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    【答案】见详解 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【变式3-2】．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，先证明，得到，再由等边对等角可得． 【解析】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【变式3-3】．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边对等角，平行线的性质， 根据平行线的性质得到，然后由等边对等角得到，，然后等量代换求解即可． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点四：根据等边对等角求边长或角度 例4．如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先延长到G使，连接，再证明得出再由等边对等角得，则最后由等角对等边得出即可作答． 【解析】证明：延长到G使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【变式4-1】．如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）先根据角平分线的定义求得的度数，据此求解即可； （2）先根据角平分线的定义和平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，，从而可得，最后根据三角形的周长公式即可得． 【解析】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 的周长是． 【变式4-2】．如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得出，再由三角形的内角和定理和平角定义即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式4-3】．证明体验 (1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． (2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证； （2）证明即可得出结论． 【解析】（1）证明：， ，， ，， ； （2）解：， ， ，， ，， ， ， 在与中，， ， ； 考点五：等腰三角形的“三线合一” 例5．．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【解析】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 【变式5-1】．等腰三角形的“三线合一”指的是（    ） A．中线，高线，角平分线互相重合 B．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合 C．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解． 【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合． 故选：D 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握“三线合一”是解题的关键． 【变式5-2】．对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【解析】解：是等腰三角形，平分， ，． 证明如下： 在等腰中，，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 【变式5-3】．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键； 连接，由，点E为的中点，根据等腰三角形的性质得到，并且，在中利用勾股定理可计算出，然后根据三角形面积公式得，即可得到的长． 【解析】解：如图，连接，   ，，，点E为BC的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 故选：D． 考点六：根据等腰三角形的“三线合一”求解或证明 例6．．如图，在中，，点D在上． (1)若，则_______________． (2)若，则_______________． (3)若，则 _______________． 【答案】(1)垂直，且平分 (2)平分，且平分 (3)垂直，且平分 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解； （2）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解； （3）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴垂直，且平分； 故答案为：垂直，且平分； （2）解：∵，， ∴平分，且平分； 故答案为：平分，且平分； （3）解：∵，， ∴垂直，且平分． 故答案为：垂直，且平分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质是解题的关键． 【变式6-1】．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．   求证：∠DBC= ∠A． 【答案】见解析. 【分析】作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形性质：等角对等边得AB=AC，再由三角形三线合一有的性质得∠CAE= ∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°，由垂直定义和同角的余角相等即可得证. 【解析】证明：作AE⊥BC于点E，如图： ∵∠ABC=∠C， ∴AB=AC， 又∵AE⊥BC， ∴∠CAE=∠BAC，∠CAE+∠BCD=90°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC+∠BCD=90°， ∴∠DBC=∠CAE=∠BAC. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质及同角的余角相等． 【变式6-2】．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）根据等腰三角形“三线合一”推得后即可用“边角边”证明全等； （2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解． 【解析】（1）证明：，是的中线， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，是的中线， ， 即， ． 【变式6-3】．如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）先由等腰直角三角形的性质得到，进而根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则； （2）先由三线合一定理得到，再证明，得到，即可证明． 【解析】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 考点七：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角问题 例7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 ． 【答案】或 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解． 【解析】解：①当高在三角形内部时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当高在三角形外部时，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴综上所述，底角是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键． 【变式7-1】．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【解析】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 【变式7-2】．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【解析】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 【变式7-3】．如果等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】首先对该等腰三角形进行分类，当时，底角为，在中，，底角减去即可得解；当时，底角为，，即为所求． 【解析】当时，作于点D， 如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，作于点H，为所求． 如图 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，熟悉等腰三角形的性质并分类讨论是解题的关键． 考点八：等腰三角中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质 例8．．求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在中，，分别是腰上的中线．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据中线的定义可得，，则，根据证明即可． 【解析】∵分别是上的中线（已知）， ∴，（三角形中线的定义）． ∵（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，中线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两腰相等；全等三角形的判定定理有，全等三角形对应边相等，对应角相等． 【变式8-1】．下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【答案】；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的等边对顶角及全等三角形的性质与判定可进行求解 【解析】已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：． 证明：， （等边对等角）． ∵，分别是，的角平分线， ，（角平分线的定义）． 即． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）； 故答案为；等边对等角；角平分线的定义；全等三角形的对应边相等． 【变式8-2】．求证：等腰三角形两腰上的高线长相等． 【答案】见解析 【分析】画出图形，通过证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等从而得出结论． 【解析】解：如图：已知，求证：． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴等腰三角形两腰上的高线长相等． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，写出已知和求证，掌握三角形全等是判定方法和全等三角形对应边相等的性质． 【变式8-3】．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论． 【答案】相等，相等，相等，见解析 【分析】根据题意，作出图像，根据等腰三角形的性质，以及已知条件结合三角形全等的性质与判定证明即可 【解析】①等腰三角形两底角的平分线相等，证明如下， 如图， 中，，分别为两底角的角平分线 分别为两底角的角平分线 在与中 等腰三角形两底角的平分线相等； ②等腰三角形两腰上的中线相等，证明如下， 如图，中，，分别为的中点 在与中 等腰三角形两腰上的中线相等； ③等腰三角形两腰上的高相等 如图，中，，分别为两腰上的高线， ， 在与中， ， ， 等腰三角形两腰上的高相等． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的性质三角形的高，中线，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 考点九：等边对等角与“三线合一”综合 例9．．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，，计算即可． 【解析】解：，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 【变式9-1】．如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求 (1)求的度数 (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到； （2）由等腰三角形的性质得，由三线合一得，根据即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， （2）解：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【变式9-2】．如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F． （1）求证：； （2）若，，则______度． 【答案】（1）见解析，（2）46 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线得到∠B＝∠ACB＝∠BCF，由AD是角平分线，得到BD＝CD，证△BDE≌△CDF即可； （2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF＝DA，根据求得∠DAB，进而求出∠B的度数即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴∠B＝∠ACB， ∵CB是的平分线， ∴∠ACB＝∠BCF， ∴∠B＝∠BCF， ∵AD是角平分线，AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵∠BDE＝∠CDF， ∴△BDE≌△CDF（AAS）； ∴； （2）∵△BDE≌△CDF； ∴ED＝FD， ∵, ∴ED＝AD， ∵， ∴， ∴， ∴∠B＝∠ACB＝∠BCF＝23°， ∴， 故答案为：46． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算． 【变式9-3】．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰，可得，由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）如图，作于，则，证明，则，进而可得． 【解析】（1）解：∵以为底边向上作等腰， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【解析】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 2．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的性质：等边对等角． 根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图所示，分别是的中线和角平分线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据三线合一定理和等边对等角求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可求出答案． 【解析】解：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 5．如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握等腰三角形性质是关键；由及，得；由可求得，再由即可求解． 【解析】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 6．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【解析】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 7．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【解析】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 8．如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（   ）   ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．证明，再根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质进行推导即可． 【解析】解：，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ∵ ∴，故②正确，符合题意； ， ， ， 与 互为对顶角， ， ， ，故③正确，符合题意； 从题目现有条件无法证出，故④错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 9．如图，在中，，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理计算． 【解析】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质，再根据三角形的内角和定理求得，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求解即可． 【解析】解：∵，E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，则的度数为 度． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，代入数据计算即可求出的度数．本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角，熟练掌握性质是解题的关键． 【解析】解：如图，，， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，两点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理．过点A作于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出点D的横坐标，然后利用勾股定理列式求出的长度，再写出点A的坐标即可． 【解析】解：如图，过点A作于D， ∵，，两点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴点D的横坐标为， 在中，， 所以，点A的坐标为． 故答案为：． 13．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，依据图中阴影部分的面积等于等腰三角形的面积的一半，即可得到结果． 【解析】解：∵等腰三角形中，是边上的高， ∴，且. ∵且， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴图中阴影部分的面积是. 故答案为：2． 14．如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，第一步利用三角形内角和定理先证明，同理可证明：，再根据折叠有，，再根据“三线合一”的性质有，，最后根据勾股定理有，，，问题随之得解． 【解析】延长交于点F，如图， ∵为中线，， ∴，点E为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，同理可证明：， 根据折叠可知：，， ∴在等腰中，，， ∵，点E为中点， ∴在等腰中， ， ∵，， ∴根据勾股定理有：，，， ∵，，，， ∴，，， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 15．在中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直的性质，三角形内角和定理，由，得，，由得，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）利用“”证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得结论． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角： （1）先证明，再利用即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，据此根据平角的定义可得答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，求的面积． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质．过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解析】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 19．如图，在中，，点在上，且． (1)求证：； (2)若为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． （1）根据等边对等角可得、，再根据三角形内角和定理可得、，进而证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质结合可得，然后运用三角形外角的性质可得，即；最后利用三角形外角的性质即可解答． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 20．如图①所示，点D，E在的边上，． (1)若，求证：． (2)如图②所示，若，F为的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合． （1）过作于，根据等腰三角形的性质得出，，即可求出答案； （2）证明，根据等腰三角形的性质得出即可． 【解析】（1）证明：如图，过作于， ，， ，， ， ； （2）解：，为的中点， ， ， ， ， ，， ． 21．问题情境：如图1，△中，，，点为△外一点，，过作，垂足分别为、．求证：． 实践探究：如图2，△中，，，点是上一点，， 于，求证：． 问题解决：如图3，△中，，，点为上一点，，过点作，且，连接．若，请直接写出的值为________． 【答案】问题情境：证明见解析；实践探究：证明见解析；问题解决：1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理： （1）由同角的余角相等，即可得出，即可证得，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过作，由（1）可知，即可得出，再由等腰三角形三线合一可得出：，即可的得出结论； （3）过作，由（1）可知，，即可得出，，再证得，得出，即可得出结论． 【解析】解：问题情境：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 实践探究：如图所示，过作于F， 由（1）可知 ∴， ∵，， ∴， ∴； 问题解决：如图所示，过作于F， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．已知和都为等腰三角形，，，，点E在线段AB上，点F在射线AC上，连接AD． (1)如图1，当点F与点C重合时，若，且，试说明； (2)如图2，当点F在边AC的延长线上时，在AF上取点M，使得FM=AE，连接DM，若，DE与AC的交点为O． ①试说明 ②判断AF、AE与BC之间的数量关系是否满足？若是，请说明理由；若不是，请求出AF、AE与BC之间的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；②AF、AE与BC之间的数量关系满足，详见解析 【分析】（1）根据，，，证明，再证明，根据全等三角形的判定即可说明； （2）①根据，，利用三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定证明； ②根据，可得，，可证明，即可证明，，根据，可证明． 【解析】（1）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都为等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴． （2）解：①∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． ②AF、AE与BC之间的数量关系满足． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等腰三角形（第1课时） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握AAS证明三角形全等； 2．学会等腰三角形的性质及证明； 3.掌握等腰三角形中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质。 知识点1 知识回顾（七年级下册） 一、定 理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (AAS) 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E, ∴∠C=∠F. 又BC=EF,∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF(ASA). 七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”,“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它.因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用. 二、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 三、等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称 “三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. 3.等腰三角形的两个底角相等. 知识点 2 等边对等角、“三线合一” 定 理 等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角 ） 已知：如图1-1,在△ABC中 ，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅 助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. 证明：如图1-3,取BC的中点D, 连接AD. ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴ △ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 交流与讨论：你还有其他证明方法吗?与同伴交流. 想一想：在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论? 推 论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(也称 “三线合一”), 知识点 3 等腰三角形中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质 引入：在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗? 例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图1-4,在△ABC中 ，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线. 求证：BD=CE. 证明：∵ AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB (等边对等角) . ∵BD,CE 分别平分∠ABC和∠ACB, ∴ ∠1=，∠2=. ∴ ∠1=∠2. 在 △BDC和△CEB 中 ， ∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2, ∴△BDC≌△CEB(ASA). ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等). 交流与讨论：等腰三角形两腰上的中线相等吗?高呢?还有其他的结论吗?请你证明它们，并与同伴交流. 议一议：如图1 - 5 , 在△ABC 中 ，AB=AC, 点 D,E边AC 和AB上 . ( 1 ) 如果少 事 那么BD=CE吗? 如果 2 呢?由此你能得到一个什么结论? 结论：在 △ABC 中 ，AB=AC，∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE ( 2 ) 如 果 事 , 那么 BD=CE吗 ? 如 果 事 呢?由此你能得到一个什么结论? 结论：在 △ABC 中 ，AB=AC，∠AD=AC,AE=AB,那么BD=CE 考点一：等腰三角形的定义 例1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【变式1-1】．等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ． 【变式1-2】．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（  ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 考点二：等边对等角 例2．在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，在中，点D在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点三：根据等边对等角证明 例3．如图，，，连接交于点O，．求证：． 【变式3-1】．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    【变式3-2】．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【变式3-3】．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 考点四：根据等边对等角求边长或角度 例4．如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：． 【变式4-1】．如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 【变式4-2】．如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-3】．证明体验 (1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． (2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 考点五：等腰三角形的“三线合一” 例5．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-1】．等腰三角形的“三线合一”指的是（    ） A．中线，高线，角平分线互相重合 B．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合 C．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合 【变式5-2】．对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【变式5-3】．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（    ）    A．5 B．10 C．16 D． 考点六：根据等腰三角形的“三线合一”求解或证明 例6．如图，在中，，点D在上． (1)若，则_______________． (2)若，则_______________． (3)若，则 _______________． 【变式6-1】．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．   求证：∠DBC= ∠A． 【变式6-2】．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式6-3】．如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．    (1)求的度数； (2)求证：． 考点七：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角问题 例7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 ． 【变式7-1】．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【变式7-2】．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 【变式7-3】．如果等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为 ． 考点八：等腰三角中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质 例8．求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在中，，分别是腰上的中线．求证：． 【变式8-1】．下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线． 求证：（ 1 ）． 证明：， （ 2 ）． ∵，分别是，的角平分线， ，（ 3 ）． 即． 在和中， ． （ 4 ）． 【变式8-2】．求证：等腰三角形两腰上的高线长相等． 【变式8-3】．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论． 考点九：等边对等角与“三线合一”综合 例9．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．    【变式9-1】．如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求 (1)求的度数 (2)的度数． 【变式9-2】．如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F． （1）求证：； （2）若，，则______度． 【变式9-3】．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 一、单选题 1．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，分别是的中线和角平分线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 5．如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 8．如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（   ）   ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，在中，，平分，，，则 ． 10．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则 ． 11．如图，在中，，，，则的度数为 度． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，两点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 13．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则 ． 三、解答题 15．在中，，，，，求的度数． 16．如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 17．如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 18．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，求的面积． 19．如图，在中，，点在上，且． (1)求证：； (2)若为中点，，求的度数． 20．如图①所示，点D，E在的边上，． (1)若，求证：． (2)如图②所示，若，F为的中点，，求的度数． 21．问题情境：如图1，△中，，，点为△外一点，，过作，垂足分别为、．求证：． 实践探究：如图2，△中，，，点是上一点，， 于，求证：． 问题解决：如图3，△中，，，点为上一点，，过点作，且，连接．若，请直接写出的值为________． 22．已知和都为等腰三角形，，，，点E在线段AB上，点F在射线AC上，连接AD． (1)如图1，当点F与点C重合时，若，且，试说明； (2)如图2，当点F在边AC的延长线上时，在AF上取点M，使得FM=AE，连接DM，若，DE与AC的交点为O． ①试说明 ②判断AF、AE与BC之间的数量关系是否满足？若是，请说明理由；若不是，请求出AF、AE与BC之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$